OTE I

Sur la méthode de M. MOHIN, relative à la composition des forces concourantes.

Oii sait que la composition des forces concouraiiL(?s se ramène à la composition des forces égales. Deux forces F égales, faisant entre elles l'angle 2 x ont nne résullanle égale à 2 F (p [x). Il s'agit de déterminer ^ {x).

Nous avons indiqué (page 64) pour la détermination de la fonction ^ la mélliode de Poisson fondée sur la considération de l'équation fonctionnelle ;

M. Morin altéuue ce détour et. parvient élégamment à la détevmiuation de la fonction ç de la manière suivante :

Soient A et B deux forces égales faisant l'angle 2 x; faisons tourner le système des deux forces d'un angle 2 y autour de la bissectrice de l'angle extérieur des deux forces

A el B; par coite rotalion les deux forces viennent occupor ies positions A' et B'; désignons par 2 z les deux angles

égaux (B,A') el (A,B') et exprimons que les compositions

des quatre forces envisagées dans les deux modes de groupement :

1° (A,B} et (A',B').

2° (B, A') cl {A, B').

conduisent au même résultai.

Nous aurons immédialemcnl rcquation :

0) ? Cï) ? (y) = ? (0

les variables x, y, z sont d'ailleurs les trois côtés d'un triangle sphérique rectangle dont s est l'hypoténuse, on a donc :

(2) cos X wiy — cos s

Nous devrons alors exprimer que les équations (1) et (2) sont équivalentes.

Or L désignant un logarithme népérien et â (u) une fonction inconnue do ti posons :

L '^ {x) = \ ([, tos X)

l'équivalence des équations (1) et (2) espriiiie que les relations

sont équivalentes,

Or d'après une propriélé bien connue des grandeurs propoiLioiinelles, eeUe dernière équivalence exprime que Ton a

Il désign;v!it une eoustauLe; en renionfant à o ou trouve :

o {x) = (cos x)"

la fonction a doit d'ailleurs satisfaire à l'équation de Poisson, en sorte que l'on devrait avoir

[cos (x + y)]" + [f,os (x — y)]" = 2 [cos a?]" [cos î/]"

d'ailleurs on sait que :

cos {x-\-y) -\- cos {x — y) = 2 cos a? cos y

or ces deux formules, on &'en assure bien aisément, ne peuvent coexister que si 11 = 1, auquel cas elles se confondent.

Remarque. — L'un des caractères intéressants de cette démoustralion, est son indépendance à l'égard du postulatnm d'Euclide au môme litre que la trigonométrie spliérique et la théorie analytique des fonctions circulaires.

La seconde démonstration donnée dans cet ouvrage a d'ailleurs le même caractère. La composition des forces concourantes est donc en réalité indépendante du postulatnm d'Euclide.

Dans la note suiva,nteje généraliserai celte remarque et je ferai voir que le théorème d'Euler sur les rotations iinies permet de fonder une théorie de l'équivalence des vecteurs qui est la clef des propriétés métriques dans les trois géométriea d'Euclide, de LobatcUewsky et de Riemann.