HOTES
Ces équations différentielles linéaires auront, comme on sait, pour intégrales fondamentales des fonctions de t de la forme
ij, k, I- désignant des constantes ctl'équation caractéristique en r sera :
Et la stabilité exige que cette équation du second degré en r^ n'ait que des racines négatives.
Or iî est aisé de voir qu'on peut satisfaire à cette équation par des valeurs imaginaires de r' ; le discriminant i de cette équation est ici :
i = (a^-j- a' A — c{i — c\>:f + ^{b:i.^J}'\) (?î|34-^';'-1 Mainlenanf, que l'on fasse d'abord :
a-j.-^a'l — c;i + cV
puis, que l'on choisisse b et b' assez petits en valeur absolue pour satisfaire aux conditions :
b^ — ac < h'- ~ a'c' <
Eûiin, que l'on choisisse le rapport — intermédiaire entre
les nombres — ,- el — - et l'on aura A < o r donc iustabililé.
Remarque. — La composifion des stabilités qui est impossible en général, est au contraire assurée lorsque les forces dérivent d'une fonction des forces. C'est ce que montrent les théorèmes de Lagrange et de M. Liapounof.
Sur les mouvements relatifs à la surface de la terre et sur le système explosil de Poinsot.
On connaît les belles expériences de Foucault (Pendule du Panthéon et gyroscope) qui ont réalisé pour la première fois une preuve sensible de la rotation de la terre, ou plus exactement, qui ont montré que le système de coordonnées où se manifeste l'attraction de la terre coïncide sensiblement avec un système orienté sur les étoiles.
On sait que la déviation vers l'est des corps en chute libre est aussi une manifestation mécanique de la rotation de la terre.
A l'époque oii Foucault £it l'expérience du PanLhcon, Poinsot fit pour la première fois l'intéressante remarque : que l'on poiinmit par la suspension d'un système susceptible, sous l'action de forces intérieures, d'éprouver un brusque changement de configuration, obtenir une rotation autour de la verticale :
Cette rotation serait encore un reflet de la rotation du globe terrestre.
Dans sa note {Coniptes rendus de l'Académie des sciences pour 18Si), Poinsot indiquai!, comme expérience possible, l'expérience suivante :
Un ressort coudé suspendu, dont les deux brandies sont mainlenues rapprochées par un fil, se détend si l'on brûle le fil; son moment d'inertie autour de la verticale augmente, ce qui produit une rotation autour de la verticale due au mouvement de la terre. L'expérience me paraît impossible sous cette forme.
J'ai repris le calcul de Poinsot, j'ai modiiié Texpérience qu'il proposait el j'ai fait voir que dans l'ordre d'idées inauguré par le profond géomètre, on pouvait réaliser deux types d'expériences correspondant respectivement à l'expérience de Foucault au Panthéon, et à l'expérience de Freyberg, expérience qui mettent en jeu : l'une, la composante verticale; l'autre, la composaute horizontale de la rotation de la terre.
J'ai de plus réalisé une expérience du second type et je poursuis en ce moment l'étude d'un appareil propre à réaliser une expérience d'un type mixte.
Cette note est consacrée à l'exposé de l'idée de Poinsot et d'un résumé de mes recherches.
Considérons d'abord «n système qui, pouvant changer de configuration intérieure, repose cependant sur deux appuis fixes, situés sur une même verticale.
Le système est d'abord au repos ; la détente de ressorts intérieurs modifie brusquement ou rapidement la configuration du système, puis le système se solidilie.
Quelle vitesse de rotation va-t-il prendre autour de la verticale? — Appliquons le théorème des moments autour de la verticale.
Les forces de chaque particule du système sont, au lieu de l'observateur :
1° La pesanteur (rattraction combinée avec la force centrifuge sur le parallèle terrestre) ;
2" La force de Coriolis provenant de la rotation du globe et du mouvement relatif de la particule.
Prenons comme axes de coordonnées, en la station de l'observateur :
Axe des ; : la verticale; Axe des x : la direction sud du méridien; Axe des y : la direction qui va vers Vouest.
Si \ désigne la colatitude du lieu :
Les composantes de la rotation m do la terre, changée de signe, sont dans ce système d'axes
p = — tJ siii î.
La seconde force apparente de Coriolis sur la pai'ticule de masse m est :
yGoosle
Le théorème des moments par rapport à la verticale donne à chaque instant î :
d / dv dx\
/ te di/\ dz
Multiplions par dt et intégrons de à ï ; le S3'slènie partant du repos, nous aurons :
Il et I, désignant aux denx époques les moments d'inertie du système par rapport à la verticale. Cette relation est générale; si nous supposons que le corps à l'époque t où il est rigidilié ne puisse que tourner autour do la verticale avec une vitesse p, on aura :
Si nous supposons au contraire que le syslèuie rigiditié i r^poquc / n'ait qu'un point fixe, désignons par :
les composanles de la rolalion du corps suivant les axes, on aura :
du et i:,. (.. I - y J) = ç ^-n,. (x^ + f) - (,-; Xm xz. - y Tm y:- L'équatiou (1) doit alors être remplacée par celle-ci ;
h-h ^ -"'fi'''- ..^
— Considérons d'abord le cas de doux appuis formant un axe vertical fixe. L'équation (1) indique deux types d'expériences distinctes :
Premier type. — Réaliser une explosion rigoureusement symétrique par rapport à la verticale, le terme en p disparaît et on aura :
c'est le cas de l'expérience proposée par Poinsot qui omettait le second appui.
KOTKS. 401
Second type. — Faire l] — I^ et le terme en p subsiste seul.
Dans le cas d'un seul appui, le mouvement pendulaire du sysième joue un rôle gênaul par les termes en w et ;( qui échappent à tout contrôle eflicaco; si l'on s'arrange toutefois de manière que l'oscillation pendulaire du système se fasse autour d'une position d'équilibre pour laquelle l'axe vertical, soit un axe principal d'inertie, on aurait en cette position
On conçoit ainsi qu'on puisse rendre négligeables les termes w ":£?, y ^?J^ devant l'un ou l'autre des termes
qui subsistent.
On peut ainsi avec quelques précautions assimiler le cas général au cas d'un ase complet.
Le type d'expérience proposé par Poinsot m'a paru difficilement réalisable; mais j'ai pu réaliser une expérience du second type.
Deux supports légers en bois, reliés par une longue et mince tige d'acier, axe matériel de l'appareil, supportaient chacun deux réservoirs en laiton.
Soient  et B les réservoirs portés par le support supérieur symétriques par rapport à Taxe, le support inférieur portait deux réservoirs : l'im A' en communication verticale avec A, l'autre B' en communication verticale avec B par un tube.
Le réservoir A et le réservoir B' de même forme et de
raômc capacilé. avaient été prcakblemcnl remplis d'un mélange d'eau et de glycérine.
L'appareil supporté par un iil métallique, supportait à la partie inférieure un fil assezlong, tendu lui-môrac par un poids.
Le flambage d'un fil ouvrait un robinet à ressort et faisait écouler le liquide de A en A'; la tige d'acier portait u» miroir visé par une lunette à réticule placée à distance, permettait do mesurer la rotation p de l'appareil pendant une quinzaine de secondes, à partir de l'ébranlement, et d'apprécier ainsi une vitesse moyenne de rotation.
■Lorsque le plan des deu:s tubes fut placé dans le méridien, je constatai une rotation très sensible, correspondant à une déviation vers l'est du tube à écoulement.
L'influence du mouvement oscillatoire, sans être entièrement négligeable, ne pouvait dépasser le g^^ del'cffet mesurable.
Bien que les dimensions transverses de l'appareil fussent assez réduites, l'écarleinent des tubes, par rapport à leur diamètre, était assez sensible pour que la gjration de la veine liquide ne pût pas produire une variation de plus d'un cinquième dans la rotation observée.
En allongeant un appareil de ce genre suffisamment, on amplifie l'effet de la composante p.
En somme, c'est le phénomène de la déviation vers Vest transformé en rotation.
Un troisième type d'expériences consisterait à mettre en évidence simultanément les deux composantes r et 'p et à les amplifier toutes deux; j'ai commencé de nouvelles recherches dans cette direction en m'astreignant de pins à né plus employer de liquides, mais ces recherches sont loin d'être terminées.
L'idée de Poinsot est certainement inléressanle, mais pour curieuses qu'elles soient, des expériences de ce genre qui mellent en jeu de peliles impulsions arrêlées par le frottement de pivots ou par la torsion des fils ne peuvent pas produire de rotations continues appréciables.
J'ajouterai que l'emploi d'un fil de suspension rend les expériences eslrêmement longues, et il m'est arrivé d'attendre, dans une salle tranquille, plus dô 4 heures avant d'obtenir l'équilibre préalable de l'appareil.
Bref, les expériences de Foucault restent toujours les plus belles et les plus simples qu'on puisse imaginer.
n m'a paru néanmoins que l'idco de Poinsot méritait d'être répandue.
Un plus habile expérimentateur pourra sans doute lui trouver une réalisation plus simple que la mienne.
