Ceci ne s'applique qu'à la géométrie de Lobalclieswkj

On tomberait alors suc la géométrie de Riemann où les droites d'uu plan sont analogues aux grands cercles d'une sphère.

Cette géométrie a eu commun avec les géométries d'Euclide et de Lobatcbcwsky la définition de la droite : comme ensemble des points d'un solide invariable qui demeurent immobiles lorsque deux points du corps sont fixes.

Ce résultat est conforme à celui obtenu par Lobatchewsky car la formule (4) donne r,. — Çi [J = ^, puis elle donne p =

pour Sin a = 'J;(P).

On sait d'ailleurs que dans la géométrie de Lobalcliewsiîy lorsque I s'éloigne indéfinimenl, p tend vers zéro quand a. tend vers n(p) ; or, nous avons dit plus haut <[ue Lobatcbcwsky avait trouvé

la formule [k] donnerait alors

~ sin n (p)

■ll(\-^ 11»

MU lUp)-

1 + tf Zy lî(î')

ce qui est conforme au résultat do l'équation de Poisson.

Ainsi, quand on admet l'existence logique de groupes de

vecteurs équivalents, on retombe sur les formules de

travail virtuel.

Lobatchewsky ou sur celles de Riemann suivant que ^ (p) <1 ou fjue T (p) >1. D'autre part, l'existence de tels groupes est assurée; car on sait que les vitesses de rotations possibles sont, des vecteurs pour lesquels if existe des modes d'équivalence ou que la composition de ces vecteurs est indépendante des poslulatums d'Euclide.

[.orsqu'un corps rigide reçoit un certain déplacement infiniment pelil (lequel peut toujours résulter de rotations infiniment petites), on appelle travail virtuel d'une force F le produit

I'5^cos(f,s.î)

Ss étant le déplacenienl du point d'application de la force.

Avant d'étudier les propriétés de cette expression achevons l'élude de la composition des forces perpendiculaires à une même droite et agissant d'un même côté de cette droite.

Les résultats déjà obtenus nous montrent que si sur les éléments d'une droite 2 a agissent perpendiculairement des forces proportionnelles aux longueurs des éléments !a résultante passera par le milieu de la droite et sera proportionnelle à

Shj

de là on conclut que la résultante R de deux forces P el Q perpendiculaires de môme sens sur une même droite MM' en ses extrémités partage le segment MM' en deux parties x et y telles que l'on aura

et par conscqucut aussi :

puisque sh [a -|- Ij) — sh a eh h -j- sh b ch a.

Remarque. — Si un déplacement ds est la résultante de plusieurs déplacements ds, ds^ émanant de M, et envisagés isolément, le travail virtuel d'une force P relatif au déplacement ds est la somme des travaux virtuels relatifs aux déplacements dsy, ds^

Or, la géométrie de Lobatehewsky se confondant avec la géométrie d'Euclide dans un domaine infiniment petit, comme on i!a expliqué plus haut, les vitesses virtuelles autour d'un point se composeront comme dans la cinématique usuelle. Il résulte aussi de la composition des forces concourantes que le travail de la résultante de plusieurs forces relatif à un déplacement donné est la somme des travaux des composantes relatifs au même déplacement.

Quand un corps rigide reçoit un déplacement infiniment petit, la somme des travaux virtuels d'une paire de forces équivalente à zéro l'est aussi.

En clTct, on peut réaliser ie déplacement du solide en déplaçant une droite du corps (sans spécification des points de cette droite), puis en donnant au corps une rotation et un glissement le long de cette droite.

Considérons donc une paire de forces égales et contraires appliquées suivant une droite aux pointa A et B de cette droite.

Y\ Soient A'B' la nouvelle position de AB,

1 I IJ la plus courte distance de AB et de

On peut amener la droite IX à la position infiniment voisine JY en donnant au corps 1° une translation non euclidienne d'axe IJ, puis 2° une rotation autour de IJ.

Aucun des deux déplacements correspondants de A et de B ne donne de travail dn l"' ordre aux forces F^, et Fb qui sont normales aux trajectoires des points A et B dans les deux déplacements correspondants.

Les forces Fa et Fu ne travailleront chacune que dans le glissement axial de la droite JY, mais la somme de leurs travaux ici sera nulle; la remarque faite plus haut achève la démonstration.

La condition nécessaire et suflisante pour que plusieurs forces se fassent équilibre sur un corps rigide est que

1. IJ est la perpendiculaire commune de AB el A'B'; dons la géomôtrio de Biemanu co serait la plm grande distance des droites AB et A'B'. Le texte et la figure se rapportent à la géométrie de Lobatchewaky.

pour tout déplacement infiniment petit du solide, la somme des travaux virtuels des forces données soit égale à zéro. 1° La condition est nécessaire d'après le théorème précédent.

2" Pour démontrer quela condiUon est suffisante, je vais appliquer, avec les variantes convenables, la méthode de réduction de Poinsot, à la statique non euclidienne.

Je prendrai pour point de départ la composition et la décomposition des forces perpendiculaires à une même droite.

Toute force F perpendiculaire à AB peut être décomposée en deux F' et F" de même espèce appliqués en des points donnés, et si x et y sont les distances de ces points au point c, on a comme on l'a vu, en désignant toujours par k le mètre de Lobatchcwsky '

ir F" F

sh, T

sh.-

tÉ

x<o correspond au cas où les deux points A et B sont d'un même côté de C.

Voici encore une remarque qui nous sera utile.

Deux forces P et Q perpendiculaires *

à ÂB et de sens contraire peuvent ton- \

jour,s se remplacer par une force passant -r] j

par le milieu de la distance de leurs points d'application et par un couple de centre 0; en effet, appliquons en deux forces R et — R perpendiculaires àAB. ^

i. Daua la géomôlrie de Eiemiinn le mâoiG raisonnement serait valable, sauf à remplacer la l'oncUon sh ^ par la fonction sin ^ p, K clant le mèlre de Riemami.

Nous décomposerons la force — R en deux forces

perpendiculaires à AB et appliquées aux points A et B, ces dernières forces formeront avec P et Q un couple de centre si l'on a

c'est-à-dire

Si les forces P et Q étaient de môme sens on aurait trouvé

Ceci posé, soit F une des forces du système et un point

, iixe, traçons une ' splière ayant par

contre le point et un rayon arbi-

3 traire. Dans le plan (P, 0) abaissons

de une perpendiculaire 01 sur la

ligne d'action de la force P, soient A

et B les points où 01 coupe la sphère

considérée, nous remplacerons la force

P par une force passant par et par

un couple de centre et de bras de levier ÂB,

Tous les couples de même centre se composent par leurs axes comme en slalique euclidienne, le lecteur s'en assu-

rera liien facilemenl ; on voit donc qno lo système des forces est é'^uivalent à nn couple de centre et à une force unique passant par 0.

C'est-à-dire qu'on passe du système proposé au nouveau par des adjonctions ou suppressions de paires de forces équivalentes à zéro et par des décompositions ou recompositions de forces concotirantes, toutes opérations qui, nous le savons, n'altèrent pas la somme des travaux virtuels.

Or si on donne comme déplacement une rotation ayant pour axe, l'axe du couple résultant, on voit immédiatement que la somme des travaux virtuels ne peut être nulle que si ce couple est nul, en donnant ensuiie au corps rigide une translation axiale dirigée suivant la direction de la résullanle présumée qui passe par 0, on voit que si la somme des travaux virtuels est égale à zéro pour ce déplacement la résultante présumée doit être nulle. C. Q. P. D.

Corollaire important. — Voici un théorème général de statique qui résulte du théorème précédent.

Si une pression uniforme se répartit normalement sur les divers éléments d'une surface fermée, rigide, les diverses forces élémentaires constituent un groupe de forces en éçidlibre.

Le travail de la pression pdc exercée sur l'élément da s. pour partie principale lo produit :

E désignant le volume décrit par lo déplacement de l'élément de surface rigide df:.

La somme de ces travaux sera donc (puisque p — constante)

— pdv

dv désignant Faccroissemetil. de \olume du corps, mais le corps étant rigide ou aura dv — o, donc les forces considérées sont en équilibre.

Remarque. — - La proposition précédente s'applique évidemment aux pressions uniformément réparties sur le périmètre d'une courbe fermée plane.

ReYcnons à la réduction de Poinsot et d'abord considérons un couple Pa, Pc de centre 0, la décomposition des t:. q forces perpendicu-

: laires à une même droite montre que

'jj ■ ce couple peut être

équi-valent à un antre couple : Oa • , Q F Qb, : et si a^ et a:'

sont les deux demi-bras de levier de ces couples, de même centre : l'on aura :

p s7t T = Qsh Y = une quantité proportionnelle au moment du couple.

Conséquences Un arc de corcle de rayon x et d'angle au centre « peut géamélriques. , , - , ■

être représente par

K<f(ii;)

yGoosle

NOTiîs. 385

Le Uiéorèmo du travail virtuel délermine la fonction ï. (3:). Car pour une même rotation infiuiment petite fh décrite autour de les travaux virtuels des deux couples sont

'2V(ha 'x] et 2 ï-'d^'^(x') comme ces produits sont égaux on conclut de ià

<^ix]--

■■ l sh '--

l étant une longueur constante.

Soit I la projection d'un point sur la ligne d'action d'une force [■' ; soit A un point quelconque de cette ,X^~~.

ligne.

Considérons une rotation infiniment petite 4 exécutée autour d'un axe mené par perpendiculairement au plan de la figure.

Les deux travaux virtuels de la force 1' envisagée comme appliquée soit en I soit en A serait :

et FKOXsmÂxÀsW'?^^);

En les égalant on obtiendra la relation fondamentale des triangles rectangles de Lobatch.ewsky '^

La détermination de la consLante À définie plus haut va résulter de l'application du théorème de l'équilibre des pressions ëur une courbe fermée, nous prendrons comme courbe fermée un demi-cercle et son diamètre de fermeLure.

La résultante des pressions sur demi-cercle est

et la résultante des pressions sur le diamètre est

2 p fh I /,■

en les égalant on trouve ), = /..

Soit F une force appliquée en A et XX un axe; soit 9 la composante de F estimée dans le plan mené de A perpendiculairement à XX et soit T la tangente à la circonférence que A //^ m décrit quand le corps rigide tourne ^'^''^ autour de XX, soit T la composante de

!f ou de F suivant T, le travail virtuel de F pour une rotation infiniment petite autour de XX, aura pour mesure

KTQshj r désignant la distance du point A à XX; le produit kT s/iTse nomme le moment do la force F par rapport

à l'axe XX.

Si on effectue la réduction de Poinsot dont il a été ques-

tion plus haut, relativement à un point de l'axe XX., le couple résultant relatif à cette décomposition, peut être décomposée en un couple d'axe XX et un couple perpendiculaire, le moment du premier couple est précisément le moment de F par rapport à XX.

Les moments jouent donc un rôle identique dans les trois géométries.

Enfin pour terminer ces aperçus j'indiquerai encore deux démonstrations statiques de formules importantes pour la géométrie de Lobatchewsky.

1° Soient dans un plan P, AX et BV deux droites perpendiculaires à AB et soit BM — ti, , x

soit M' le point symétrique de M par ^^ j

rapport à AB, aux points M et M', appli- \ ^ 1 quons deux forces égales à 1 perpendicu- m\^ i ^ laires au plan P d'un même côté et égales, ces deux forces auront pour résultante la force 2 ch y appliquée en B. \

Prenons les moments de ces forces par j j.,

rapport à AX et soient p, la distance BÂ ;

et p la distance MI du point M à AX, la somme des moments des composantes sera :

et le moment de la résultante est :

on aura donc :

2" Considérons le tronc de cône engendré par la droite

RM tournant untoiir de AX; la résultante des pressions

; jt / exercées uniformément sur la

surface latérale de ce tronc

/ de cône sera une force dirigée

suivant AX et dont la valeur,

en désignant par * l'angle

avec AX de la normale à cette

surface au point M variable,

i et par c la distance Ml de M à A^, sera l'intégrale

\]i = pression par «niLé de surfaci;)

D'après un théorème précédent, cette force doit être égale à la difl'érence des pressions aisément calculables exercées sur les deux bases du tronc :

ji Xit/i-slr J^ , c[;)X~A^sli = ^

exercées sur les bases du tronc de cône, on aura donc :

ou, sous forme diflcrentielle :

fiOTES. 389

d'ailleurs, en différenliainlarelalionprécédenimeiitoblenue :

sli -r = sli T «Il 1"

on obtient :

du sli ^ sli f = di [■ df

En divisant membre à membre les relations différentielles obtenues, on obtient la relation très simple ;

Ces exemples suffisent à monU'cr l'importance de la théorie statique des Yecteurs pour l'étude des relations métriques dans la géométrie d'Euclide ou dans les géométries de Lobatcbewsky et de Hiemann.

JII. — Différentes formes mécaniqiies du poslulalum d'Euclide.

Voici d'abord deux formes du poslulatum d'Eviclide qui résultent immédiatement de la statique non enclidieune.

1° Deux forces d'un plan perpendiculaire à une même droite et d'un même côlé de celle-ci ont une résultante égale à leur somme : celle proposition équivaut au postiilatum d'Euclide.

2° Si dans uu espace, d^s forces perpendiculaires aux côtés d'un triangle quelconque proportionnelles aux longueurs de ces côtés et appliquées aux milieux de ces côtés se font équilibre, l'espace considéré est Euclidien.

Voici une proposition plus inattendue t Dans l'espace de Lobatchewsky ou dans celui de Riemann ne saurait exister ia plus simple de nos maciiines simples, celle que l'on appelle un fil parfaitement flexible qui transmet sous la forme rectiligne une tension constante sans transmettre de moment.

En efft't i,once\on% 2 b mes AB et CD placées toutes deux perpendiculairement aune même droite SY, la barre AB porte deux poulies symétriques par rapport -T à XY, la barre CD porte quatre poulies deux à deux symétriques par rapport à XY.

"Un fil sans fin s'enroule sur les premières poulies puis sur les quatre autres I et sur une cinquième pou-

lie M dont le centre est sur l'axe XY; appliquons à la poulie M une force P agissant suivant la droite XY, le fS, va se tendre et le système considéré va prendre une certaine position d'équilibre; supposons pour un moment que le fil sans raideur, ait une tension constante T, et soit F la force qui soutiendrait tout le système à la parlie supérieure. On peut toujours régler les dimensions des pièces de manière que le fil arrive perpendiculairement sur la ligne des centres des deux poulies supérieures, laquelle ligne des centres a une longueur égale à 2jo; coupons les fils par un plan UV quelconque, l'équilibre de la barre AB s'exprimera par l'équation -.

En désignanL par 1q la plus courte dislance perpendiculaire des brins symétriques du fil, avant leur enroulement sur M, l'équilibre de la poulie inférieure s'exprime par l'équation :

Enfin l'équilibre du système total rigidifié s'exprimera par l'équation ;

On aurait donc :

résultat absurde, car on est évidemment maître de la petitesse de ?'.

Donc enfin les propriétés mécaniques attribuées aux fils flexibles rectilignes entraînent le poslulaluni d'Eueiide.

— Toute la géométrie de Lobatchewsky comme celle de Biemann pourrait être développée au point de vue statique d'oti je me sais placé, mais je crois avoir insisté suffisamment pour que les développements auxquels je fais allusion n'offrent plus de difficulté.

î. Un raisonnement analogue serait valable dans la géométrie de

Sur l'impossibilité d'une Composition des stabilités en l'absence d'une fonction des forces.

F ^ Y Pt F Y'

deux forces, fonctions de point qui, agissant séparément sur le mêmie corps, laissent celui-ci en une même position d'équilibre stable.

Si les forces F et F' viennent à agir simullanément. leur résultante laissera le même corps en la même position d'équilibre ; mais peut-on affirmer en général que cet équilibre résultant sera stable ?

Non, les stabilités ne sauraient se composer de la sorte, monlrons-le par un exemple simple.

J'envisage à cet eft'et deux formes quadratiques ^ et ^ des coordonnées cartésiennes x, y, z du mobile.

Je suppose de plus que chacune de ces formes est définie et négative; je désigne par

iix constantes positives dont les trois dernières ne soient

pas proportionnelles aux premières, et je considère les forces F et F' définies par leurs composantes

X'-ll* ^ -2* il'

L'équilibre du corps, à l'origine des coordonnées, sous l'action de la première force est stable, car eu faisant dans les équations du mouvement les changements de fonctions

X I x.fi'. y I î/v'> ' i sv'-;

on est ramené au cas d'une fonction des forces inaxima au

point [x=:Q, y — 0, z = 0}.

Pour une raison analogue le second équilibre est encore

stable- Or je dis qu'il est possible de particulariser les formes

/' et <f, conformément aux hypothèses déjà faites sur elles,

de manière à assurer Yinstahilité de l'équilibre résultant. Si, par exemple

o — — [ux'' -{-'thx\} -\-cif] — dz'^

[a, c, i y 0, b^ — ac 1:1^ o)

■| = — [«'37^ + 2 b'xij-\-c'y'''\ — i'z-

Les équations différentielles du mouvement o.AlÀmé dans le plan des x y sont :

je ferai ;

ô?x di' ~

dx^ dx

d'x di- '

' dy^'^dy