git

A la première et à la deasième expérience de ce tableau li vitesse de la roue était uD pea trop graode, et il rejaiUissail de l'eau au deliors de la roue.

50J. Roue de l'aigniserie de FleurmouHn. — Trois séries d'eiipériences exécutées sur cette roue ont conduit à. des conséquences analogues aux précédentes et ont donné pour le coel&cientde correction du premier terme delaformule théorique le? valeurs suivantes:

Numéros des séries l", i; 3*.

Valem-sdu coefficient 0,790 0,745 0,760

Moyenne générale 0,762

Le rapport des vitesses :^de la circonférence de la rooe i

celle de l'eau afQuente a varié entre 0,45 et 0,80 sans que l'eSU utile cbang;eAI notablement.

ROUBS A AUGETS. 379

Le travail disponible a été trouvé moyennement égal à 0,69 da travail absolu du moteur, ce qui s'accorde encore avec les résultats des expériences de Smeaton et de Bossut.

302. Roue de la Renardière à Framont. — Les expériences exé* cotées sur cette roue, d*un très-petit diamètre, ont montré que

quand le rapport -^ de la vitesse de la circonférence à celle de

l'eau affluente n'excède pas 0,70, lorsque toute l'eau dépensée est admise sur la roue et que les augets ne sont remplis qu'à moitié de leur capacité , les résultats sont encore représentés par la formule théorique ordinaire , en appliquant au premier terme lOÛOQA du second membre un coefficient de correction égal à 0,78.

La vitesse s'étant élevée à â*" et plus par seconde à la circonférence, saos que l'elHet utile ait été altéré par un plus grand déversement de l'eau, il s'ensuit que l'on pourra atteindre cette ntesse de la circonférence sans inconvénients , même pour les petites roues, pourvu que les augets ne soient pas remplis au delà de la moitié de leur capacité.

On remarquera que, dans les expériences faites sur cette roue , la charge sur le seuil de l'orifice s'est élevée jusqu'à près de l'»,40 et qu'il en est résulté des vitesses d'affluence de l'eau sur la roue de h^^^bb environ, ce qui montre que, même pour de si grandes vitesses , le second terme de la formule représente bien les effets de la variation de force vive de l'eau à son entrée dans lé roue , quand elle y est toute admise. Hais il ne faut pas perdre de vue que cette charge considérable sur le seuil est trop grande à proportion de la chute totale, et qu'il en résulte une perte considérable sur l'effet utile, conune on pourra le voir plus loin.

805, Cùfisiquences généraks. — En résumé. Ton voit que ces expériences, exécutées sm* des roues dont les diamètres ont varié depuis 9", 10 jusqu'à 2",28, ont montré :

1* Que toutes les fois que les augets ne sont remplis qu'à moitié de leur capacité et que la vitesse de la circonférence extérieure de ces roues n'excède pas celle de l'eau aCQuente et ne dépasse pas S^OO en 1'^ pour les plus petites et i^^fiO pour les

plus grandes, l'effet utile est représenté à — près par la formule pratique.

2'' Que le rapport du travail disponible transmis par ces roues au travail absolu du moteur s'élève à 0,65 et même à 0,70;

3"" Que le rapport de la vitesse v de la circonférence extérieure à la vitesse V de l'eau aCQuente peut varier depuis 0,30 jusqu'à 0,80, sansque l'effet utile change notablement : propriété avantageuse pour les cas où, par la nature du travail, la vitesse doit être variable ;

4*' Que l'on peut, sans crainte de diminuer sensiblement l'effet utile, laisser sur le seuil de l'orifice une certaine charge d'eau proportionnée au diamètre de la roue, comme on Tindi*^ quera plus tard.

On voit que les expériences en grand ont conduit à des résultats tout à fait d'accord avec ceux des expériences en petit de Smeaton et de Bossut.

504. Roues à grande vitesse. — Mais toutes ces conséquences ne sont relatives qu'aux cas où les roues ont été assez bien proportionnées pour que leurs augets ne fussent remplis qu'à moitié de leur capacité et leur vitesse renfermée dans des limites convenables ; de sorte que le versement de l'eau commençait assez bas' pour qu'elle eût à peu près parcouru les 0,78 de la hauteur h avant de quitter la roue. Lorsqu'au contraire les augets reçoivent trop d'eau ou que les roues marchent trop vite, les effets de la force centrifuge commencent à exercer une influence considérable et dont on peut tenir compte par une méthode indiquée par M. Poncelet\

505. Effet de la force centriftige. — - Pour comprendre ce qui se

* Cours lithographie de PËcole de Hetz.

ROUES k AUGETS. 381

passe quand l'eau est soumise à l'action de la force centrifuge, examinons d'abbrd comment cette force se dévebppe dans les mouvements en ligne courbe.

liorsqu'un point matériel ou une masse élémentaire m a parcouru un élément ab d'une courbe, il tend en vertu de son inertie à continuer de se mouvoir dans le sens du prolongement de cet élément ou de la tangente bd h la courbe; et si cette masse prend la direction de l'élément suivant , c'est qu'elle est retenue vers le centre par une cause, une force, qu'on nomme force ceniripèie, et qui est égale et contraire à la réaction qu'exerce, qu'oppose Tinertie du corps à ce changement de direction, et qu'on nomme par opposition force centrifuge. Ces forces centripète et centrifuge sont dirigées dans le sens du rayon; et,

^^ y? si Ton nomme V la vitesse dont la masse

m est animée dans la direction de a&, et qu'on prenne la longueur bd pour la représenter, il est clair que. la vitesse com- / 1/ \ muniquée par la force centripète sera

|. '^ j représentée par le côté de du parallélo-

\ I grampie bcdf^ parallèle au rayon ob ,

\ y selon lequel s'exerce cette force. Or, l'in-

'''^ spection de la âgure montre d'abord que les angles abo et bdc sont égaux comme interne et externe, et les angles (fc& et c&o comme alterne et interne; et comme d'ailleurs les angles cbo et abo sont égaux comme formés de part et d'autre du rayon , par deux éléments égaux et consécutifs du cercle ou du polygone d'un nombre infini de côtés qui le remplace , il s'ensuit que les angles bdc et dcb sont égaux, et le triangle bdc isocèle. Donc enfin la vitesse bc avec laquelle la masse m se meut dans le sens de l'élément suivant bt est la même que celle qu'elle avait dans le sens de rélément précédent. Ainsi dans le mouvement circulaire^ la force centrifuge n'altère pas la vitesse de rotation , ce qui est d'ailleurs conforme aux principes que nous avons exposés, puisque cette force, dirigée dans le sens du rayon , ou normalement au cheoiin décrit, ne produit pas de travail dans le sens du mouvement, attendu qu'il n'y a pas de chemin parcouru dans sa direction propre et par son action.

Gela posé, la vitesse communiquée dans l'élément de temps t par la force centripète a, d'après la figure de pour mesure,

et les forces centripète et centrifuge ont pour mesure commune *

m. de

Or les triangles bdc et obt sont semUaUes comme ajant les angles égaux» Ton a

bozbtiibdzdey d'où

, bd>:bt y. s

^=—br=T^^

en appelant R le rayon du cercle décrit, et s Taxe élémentaire parcouru dans l'élément de temps t; et comme on a y=-) d'où s=yt, il s'ensuit que

, YXYt Y^t acz=z — g — s»-ir»

et enfin que la force centrifuge a pour mesure

Si d'ailleurs on appelle ¥« la vitesse angulaire ou à l'unité de distance» on a» comme on sait» VsYiR» et l'expression de la force centrifuge devient

506. Application à la rechercha de la surface de niveau de feav dans les augets. — Gela posé» considérons une molécule fluide, de masse m, située dans un auget et soumise à la force centrifuge et à la gravité. — Nommant R sa distance aO h Taxe de rotation, et Vi la vitesse angulaire, la (brce centrifuge dirigée suivant Oa aura pour expression m Vi*R ; le poids de cette molécule est mg^ et agit selon la verticale ady si alors on prend ah = m Vi^ R et ad = mg^ et que l'on construise le parallélogramme abcdy la résultante de ces deux forces sera représentée par sa diagonale ac. Or» si l'on prolonge cette diagonale jus-

RÛOES A AUG£TS.

qu'an point h où elle rencontre la verticale da centre 0, on a par les triang^s seoiblables aOl et ahe.

d'où

àboum Vi*R : bc ou mg :: aO ou R : 01,

m.Vi*R'"Vi^

D'où il suit que la distance 01 ne dépend que de la valeur de

g et de celle de la vitesse angulaire de la roue, la mÊme pour tous l'es points de la masse ûuide et de la roue.

Si pour appliquer ceci à la surface du liquide, dont la forme dépend des forces auxquelles il est soumis, nous nous rappelons qu'il résulte d'un principe fondamental d'hydrostatique que la surface d'une masse fluide en équilibre est toujours normale aux forées qui en sollicitent les molécules, nous en concluerons qu'en chaque point de la surface de l'eau dans l'auget la ligne al sera normale à cette surface ; et comme toutes les lignes semblables, qui sont les directions des résultantes de la force centrifuge et de la gravité, passent par le même point I, lent la position ne dépend que de la vitesse angulaire, la même ^our tous ces points, il s'ensuit que la courbe du profil de la >nrface de niveau perpendiculaire à l'axe est un cercle dont le «ntre est I.

Ce centre sera d'ailleurs le même pour tous les augets, de orte que, pour une position quelconque de la roue, on aura la ^nrbe qui limite la surface de l'eau, ou la limite du volume [n'elle peut occuper dans chaque auget, en traçant des arcs de ercle du point I, comme centre, et avec des rayons égaux à la istance du bord de chaque auget à ce point.

807. Conséquence relative au versement de Veau, — Tant que le roduît de Faire mixtiligne comprise entre cet arc de cercle, la ice, le fond de Fauget et le tambour intérieur, multiplié par i largeur intérieure de la roue, sera supérieur au volume d'eau

introduit dans chaque augel, il n'y aura pas de versement. Hais dès que ce produit, qui donne le volume de liquide qai peot rester dans Target, sera inférieur au volume admis, le yersement commencera.

La distance 01 = ?^ étant d'autant plus courte que la vitesse

angulaire est plus grande, on voit que la surface de niveau da liquide s'éloigne d'autant plus de l'horizontale que la roue marchera plus vite ; et l'on conçoit facilement ainsi pourquoi les roues qui font un grand nombre de tours versent leur m beaucoup plus tôt que celles qui vont lentement. Si l'on nomme n le nombre de tours en T, on a

et alors la distance 01 a pour expression

m ^ 9,8088 X 60' 894'», 6 (6,2832)Sn« "" n,* *

Exemple : Quelle était la hauteur du centre de courbure de la surface de l'eau dans les augets de la roue de la Renardière, i Framont, au-dessus de l'axe de celte roue quand elle fiiisait Si 25 tours en T.

La formule ci-dessus donne

Oî=— — 2- — 1« *>9 "^ (24,25)* - ^ '^^•

Ce centre se trouve donc très-près de la circonférence extérieure de la roue, qui n'a que I",37 de rayon.

L'examen des courbes de la surface que l'eau peut prendre dans les différents augets montre que, dans des cas pareils Tean quitte la roue beaucoup au-dessus de sa partie inférieure, el que la théorie ordinaire devient complètement inexacte.

508. Cas où Veau ne peut être admise dans les augets supérieyffi — Si la vitesse devenait tellement grande que le centre I fût en dedans de la roue, il s'ensuivrait alors que la surface de niveau passerait en dehors de la face de l'auget supérieur, et peutêtre même du suivant, ce qui indiquerait que l'eau parv^oe

uIfS^ ^po (L-

ROUES A AU6ETS.

sur ces aagets n'y pourrait être admise ou en serait expulsée aussitôt. Ce cas se présente quelquefois sur d'anciennes roues de marteaux de forge ; et c'est pour éviter cette projection de Feau hors des augets supérieurs que les constructeurs de ces roues, éclairés non par la théorie mais par l'observation, avaient été conduits à diriger le coursier d'amenée de façon que la veine fluide passant au-dessus du premier et du deuxième auget, à partir de la verticale, n'arriv&t que dans le troisième. On la voyait ensuite sortir presque aussitôt, dès que l'auget avait un peu marché.

On voit par cette discussion, dans laquelle il était indispensable d'entrer pour faire sentir les effets qui se produisent quand les roues marchent trop vite, quelle influence énorme la force centrifuge peut exercer dans des cas pareils, et combien il est nécessaire d'en tenir compte. C'est ce que M. Poncelet a fait de la manière suivante ;

509. Théorie des roues à augets en tenant compte du versement

de Veau. — Connaissant le point de rencontre du filet moyen de la veine fluide avec la circonférence extérieure de la roue^ le prenant pour le point d'arrivée de Teau, et sachant d'ailleurs quel est le volume d'eau admis dans chaque auget, on déterminera d'abord à quelle hauteur le versement de l'eau peut commencer, c'està-dire la position où le volume limité par la surface de niveau est égal au volume d'eau admis.

A cet effet on tracera par premier aperçu un arc de cercle représentant cette surface pour une position quelconque ; et, par le point a où il coupe la circonférence extérieure, on construira le profil d'un auget ; puis par quadrature on calculera la surface du quadrilatère mixtiligne abcd. Si cette aire est supérieure au

quotient ^ du volume d'eau q admis dans chaque auget par la

largeur L de la roue, l'eau ne se déverse pas encore quand l'auget

386 ROUES À AUU78.

arrive à cette potitioD ; si au contraire eii« est plue petite, le défersement a commencé plus bant. On volt alors que, par quelques tUoaiienienCs préalables, on parviendra aumoyea #u& tra:eé à détemôner avec «ne exactitude soffisanle ht position du point « où le versemen t «oannenoe. Four déterminer ce point on peut 66 isenîr de la métiiode des cotirbes, en prenant ponr abscisses les hanieors h! àe% points analogues i a po«r lesquels on s liait le tracé et la quadrature du profil, et pour ordonnées les sor- &oes $ trouvées. En menant ensuite une pamilèie à la ligne des

abscisses à la distance ^ = r » ^^ coupera la

oourbeen on point, dont Tabscisse sera la ban-

teur fl' du ponart où le ▼ersement commence.

Cela posé, si Ton nomme H la hauteur du

, j I point a au-dessous du point d'introduction, le

// travail développé par le poids d'eau 1000

introduit dans un auget sur cette hauteur sera 1000 q, H.

Â partir de la position où le bord dQ l'auget est parvenu en a, le volume d'eau q quMl contient varie, et, quand Tauget s'abaisse d'une quantité infiniment petite h^ le travail développé par la gravité dans cet abaissement élémentaire est 1000 q. h, expression dans laquelle q ei fh ^varient ensemble, et la somme de toutes les qftantf tés semblables depuis le point a jusqu'au bas delà roue est le travail total développé par la pesanteur pendant la période du versement de Teau. Pour obtenir cette somme à l'aide d^i théorème de Shnson, il faut partager la hauteur totale R' du point a, où le versement commence, au-dessus du bas de la roue, en un nombre pair de parties égales, soit six, par exempte; par les points de division mener des horizontales, qui coupent la circonférence extérieure en des points 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ; puis en chacnn de ces points construire le profil intériear de Tauget et la courbe de niveau, et calculer les volumes d'eao correspondants q^9 q^j qtf Çht 95» ?6> Çit que l'aoget, supposé parvenu en ces positions, peut contenii*.

Gela fait, on aura le travail développé par la gravité sur l'eaa admise dans un auget pendant la période du versement par la formule

1000.^" [g, + 4(9, + j7, + g0+2 to + îO+Î7]î

MUeS A AUGETS. 357

de Borte que le IravEtl total d&?elopp6 par la frarRé sur ce nème-veturae d'eafii, depms «on entrée jusqu'à sa wilie» «sera

On remarque d'ailleuns^ue Ton aura 4i =<f , iMikqne fi ^ la capacité de l'auget au moaien^ où le versexaenl tcomueoce ; et 4j = e, atiendu qu'il n'y a flus d'eau dans l'aogel parvenu an bas de la poue ; at âuâme Bouwent g« et<g, sereat auISi ce qui seca ÎAdiqué par la couiibe de la surface de ni¥eau« qoaod elle piissera au-dessous de la ùu^ de rouget

Cette expression nous donne le travail total développé par la gravité sur l'eau reçue -dans un anget; et^ si l'on appelle toujours e l'écartement des angets à la circonférence extérieure, et V la vitesse à cette circonférence, le nombre des augets qui

passeront dans une seconde devant l'oriGce sera - . Le travail développé par la pesanteur en 1'' sur l'eau dépensée sera donc

A ce travail il faut ajouter oelui qui coirespend h la variation de force vive éprouvée par l'eau depuis l'instant où elle atteint la roue jusqu'à sa sortie, et qui a, comme précédemment^ pour expression

Le travail total transmis Ji la cireonféreoca de ees roues ou leur effet utile a donc en résumé pour valeur

iH>===iooOj[gH+|f te+4{g,+q4+gt)+2te+a0j] + î^

Cette formule ne suppose qu'une chose, c'est que Feau dépensée est admise dans les première augets de la roue ; etlorsqi2e cette condition sera remplie, ce qui sera facile à reconnaître à «impie vue, l'effet utile total, y compris le travail coosommé par le frottement des tourillons, sera donné par eette formule, sans l'emploi d'aucun coefficient de correction.

810. Application et vérificcuion de cette théorie. — Gomme exemple et Yérification de cette formule, nous rapportons ici Tune des séries d'expériences exécutées sur la roue de Fusine de la Renardière, marchant à grande vitesse.

Ces expériences ont été exécutées en 1834 par mes soins et avec le concours de M. le colonel Virlet, alors élève à Técok d'application et chargé du lever de cette usine.

La quantité de travail mesurée par le frein, ou TelSet utile de la roue, est indiquée dans la 8* colonne. L'on a donné, dans h 9* colonne, le travail total transmis par l'eau à la roue, y compris celui du frottement de la roue sur les tourillons. L'on s'est servi, pour calculer cet effet utile .total, de la formule sni-

vante

j,fL+f(ti + ¥ + p)r

dans laquelle on représente par:

F la charge totale du frein,

L = S"* la distance horizontale de son point de suspension au plan vertical de l'axe de la roue,

/*= 0,10 le rapport du frottement à la pression pour les tourillons graissés et mouillés d'eau,

N = 5978"' le poids total de la roue, de son arbre, de ses ferrures, de l'anneau à cames, etc.,

p = 28"> la composante du poids du levier du frein qui agit sur l'axe de la roue,

r = 0",065 le rayon des lourillons,

R = i*,37 le rayon extérieur de la roue,

P l'effort que l'eau devait transmettre à sa circonférence de rayon R pour équilibrer la charge P du frein et le frottement des tourillons.

Puis, en multipliant l'effort P, ainsi calculé, par la vitesse » de la circonférence enl", l'on a obtenu la valeur cherchée du travail total transmis par l'eau à la roue.

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