NOTIONS PRÉLIMINAIRES

soûl Icnninécs par des ligues et des conlours qui ne sont soumis à aucune loi géométrique connue, et alors il est nécessaire de recourir à des modes de quadrature approximatifs ou à des moyens mécaniques. L'emploi de ces méthodes SC reproduisant sans cesse dans les relèvements et dans la discussion des résultats d’expériences, nous en parlerons avec quelques détails pour n’avoir plus besoin d’y revenir.

L'une des méthodes les plus simples et les plus exactes de déterminer approximativement par le calcul la surface limitée par un contour quelconque cuniligne ou composé de parties courbes et de droites est la suivante. Menez à travers

la surface une ligne AB, et g. l'urlagcz la dislancc de ses ' ' ' ** ^deux points d’intersections

■ avec le contour en un nombre pair de parties égales, numérotées 1, 2, 3, 4...., 7, 8, 9, par exemple. Aux points de divisions élevez des perpendiculaires A la ligne AB, appelée axe des abscisses. Vous aurez les longueurs des ordonnées l'I", 2'2", 3'3",..., 8'8", Q'O". Cela fait, la surface S terminée par la ligne courbe aura pour valeur approchée

c’est-à-dire le tiers de l’intervalle de deux ordonnées consécutives, équidistantes, multiplié par la somme des ordonnées extrêmes, plus quatre fois la somme des ordonnées de rang pair, plus deux fois la somme des ordonnées de rang impair,

M. Poncelet a donné la démonstration suivante de cette règle, page 187 de V introduction à la mécanique industrielle, 2* édition.

2. Démonstration de la formule de Simpson. — F..’airc à mesurer étant limitée par le contour aa'b'c'd'...g'g...l>a, si l’on partage la ligue ag en six parties égales, on aura d’abord une première approximation en prenant la somme des

Fig. 1. '

• * f^OTlUNS PRÉLlMUfAIliES. 3*

aires des trapèzes rectilignes aa'è'6, bb'bb, etc., ce qui donnera

^a6(oa'-)- 66') -f l6c(66'-|- cc') ■\-^cd{ce’-\-dd') -f etc., ce qui revient à

la6(oa'-f- 266'-f 2cc'-f 2dd'-|- 2ee'-f 2/T-f gg').

Cette méthode est la plus ordinairement suivie. Hais U est clair que, pour des courbes dont la concavité est toujours

tournée vers la ligne ag des abscisses, cette formule donnera un résultat trop faible; qu’au conü'aire elle le donnera trop

grand pour des courbes convexes vers la ligne ag. Il n’y aura compensation approximative que pour les courbes alternativement concaves et convexes.

Mais si l’on considère l’intervalle compris entre deux ordonnées impaires consécutives cb et ce' et qu’on partage ce en trois parties égales, cm = mn — ne, on aura d abord une valeur plus approchée de l’aire mixliligne cc'd'e'e, en substituant les trois trapèzes redilignes cc'm'wi, mm'n'n, nn'e'e, aux deux trapèzes cc’rTd et dd'e'e. La somme des aires de ces trois trapèzes est

2;/tw'-f 2«ii'-|- ee') = |a6(cc'-(- 2mm'-|- 2«n’-|-e<;’;,

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