NOTIONS PRÉLIMINAIRES

attendu que

cm = mn = ne = ^ ab.

En menant la ligne m’n' qui rencontre dd' en o, on a

do = nn') ;

d’où 2{»MJ«'-}-n»') = 4.</o.

L’aire totale de ces trois trapèzes a donc pour valeur

\ab{cc'-\-A.do-\-ee^).

Or, dans le cas où la courbe est concave vers l’axe des abscisses, ectte aire est plus petito que l’aire curviligne è mesurer, cl si l’on substitue à do l’ordonnée dd' un peu plus grande , et qui est donnée , on établira une compensation approximative. L’inverse ayant lieu dans le cas où la courbe est convexe vers l’axe des abscisses, on aurait une compensation analogue. Donc on obtiendra une valeur plus approchée de l’aire curviligne cc'd'e'e par l’expression

On aurait de même pour l’aire aa'c'c ^ab(aa'-^4bb'-{-cc').

Donc, en faisant la somme de toutes ces aires partielles, on aura pour la valeur approchée de la surface totale

iaé[ao'4- 4(6ô'+dtZ'4-/f + 2(cc'-|- ce') -f gg'] ,

Ce qui est la formule de Simpson *.

* M. Sonnet a donné une déniouslralioii élégante du théorème de Th. Simpson, et Tondée sur les propriétés de la parabole, dans ses Salions de mécanique, n* 83.

NOTIOr» PRËLIMINAIKES. 5

Il peut arriver que dans quelques cas certaines ordonnées soient nulles, ce qui n’empêche pas la fornHile d’être employée.

^On devra choisir la ligne AB des abscisses de façon que les ordonnées ne coupent pas la courbe sous des angles trop petits, çe qui laisserait de l’incertitude sur le point d’intersection.

11 conviendra de multiplier d’autant plus les divisions que la courbure sera plus prononcée et plus accidentée, et qu’on voudra obtenir plus d’approximation.

Quand la surface à carrer est liinilée d'avance à une ligne d’abscisses AB et à deux ordonnées extrêmes, on opère de même.

■ Cette méthode connue sous le nom du géomètre Simpson, auquel elle est duc, est plus exacte et plus approximative que celle qui consiste à prendre la somme des aires des trapèzes inscrits. .

Nous en donnerons de nombreuses applications.

Les cubatures des solides , des déblais et remblais irréguliers, le déplacement des bâtiments, en offrent aussi souvent ' l’emploi.

Lorsqu’il s'agit de solides terminés par des surfaces courbes irrégulières et dont la loi n’est pas connue, on procède d’une manière analogue. Nous prendrons pour exemple le déplaccmenl des bâtiments. On fait, ou l’on a ordinairement d’avance, le tracé des profils transversaux on gabarits du bîlliment à des distances égales , depuis l’avant jusqu’à l’arrière, cl limité supérieurement à la ligne de flottaison. On commence par faire la quadrature partielle de chacun do cespronis, que l’on prend en nombre impair, comprenant par conséquent un nombre pair d’intervalles égaux. On porte sur une ligne d’abscisses ces intervalles égaux. En chaque point de division on élève une perpendiculaire ou ordonnée, qu’à une échelle convenue on prend pour représenter la surface du profil correspondant. Par les extrémités de toutes ces ordonnées on fait passer une courbe, et l’aire

NOTIO>S PRÉLIMINAIRES.

comprise entre la courbe et les ordonnées extérieures de la ligne des abscisses, calculée par la formule de Sittipson, donne le volume du déplacement du navire.

On résout , comme nous le verrons plus tard , par la méthode des quadratures beaucoup d’autres questions pour lesquelles le calcul offrirait quelquefois des difficultés insurmontables.

S. Divisibilité des quantités en éléments infiniment petits. — Avant d’aller plus loin il est utile de remarquer dès à présent que, toutes les qiumtités étant susceptibles d'accroissement ou de diminution, elles peuvent être considérées comme composées de parties, d’éléments dont le nombre est d’autant plus grand que les parties sont moindres; et, comme au-dessous de toute partie finie on peut en concevoir une plus petite, on voit qu’en définitive les quantités ou les corps peuvent être regardés comme composés d’éléments infiniment petits, ou plus petits que toute quantité donnée, dont la réunion, la somme, produit une quantité finie,

Si l’on se reporte à l’accroissement progressif des objets que nous offre la nature, on concevra plus facilement cet accroissement ou cette diminution graduelle des quantités, par l’addition ou la soustraction continue de quantités infiniment petites.

Les végétaux dans leur croissance si variée et parfois si rapide ne poussent cependant que par degrés insensibles, par développements infiniment petits , qui , ajoutés les uns aux autres pendant un mois, une année, forment la pousse de cette période.

Un enfant grandit rapidement vers 10 à 12 ans quand il croît de 0™,10 par an ou en

ou de

ou 3 millionièmes de millimètre en l"; et comme on peut

XOTIONS PRÉLIMINAIRES. 7

fracüonnef la'scconde en quelque sorte indéfinimcnl , ou voit que l’accroisseincnt peut l'ôtre de même.

C’est encore ainsi que le passage des piétons, qui en quelques années useni les dalles en lave d’un trottoir, ta chute d’uHC cascade qui depuis des siècles ronge le rocher de granit sur lequel elle tombe , le passage de la vapeur à travers le tiroir distributeur qu’elle use en 20 ou 30 ans, enlèvent et détruisent à chaque instant des quantités infiniment petites qui, ajoutées les unes aux autres, produisent une destruction finie.

4. Observations sur ces exemples. — Ces exemples n’ont pour but que de faire sentir que toutes les quantités croissent et diminuent graduellement par cléments infiniment petits qui, ajoutés les uns aux autres pendant des temps finis, forment des quantités finies.

Ces notions nous seront nécessaires pour l’étude des effets mécaniques, qui ne s’accomplissent jamais brusquement et dans des temps mils, mais par degrés quelquefois lents et parfois si rapides , que nos sens et nos moyens d’observation ne peuvent en saisir la durée, sans que pour cela cette durée puisse jamais être supposée nulle. Elles nous permettent de regarder les corps comme un assemblage de points matériels aussi petits que l’on voudra, mais ayant toutes les propriétés de la matière telles que la pondérabilité , l’impénétrabilité, etc., etc.

tt. Inertie de la matière. — « Tout corps persévère dans l’état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque cause étrangère n’agisse sur lui et ne le contraigne à changer d’état. • (Newton, loi du mouvement.) De cette loi fondamentale il résulte , comme nous l’avons déji'i vu , que , dans le mouvement varié, si la cause qui produit la variation cesse son action, le mouvement. devient uniforme; et que, dans le mouvement curviligne , si la cause qui oblige le corps à changer à chaque instant de direction cesse d’agir, le mouvement SC continue dans la direction du dernier élément curviligne décrit, et par conséquent suivant la tangente.

6. Définition des forces. — Ces causes étrangères qui produisent, modifient, ou tendent à produire ou à modifier le mouvement, sont ce qu’on nomme des forces. Telles sont : l’attraction, la pesanteur, l’action des animaux, de l’eau, de l’air, de la vapeur, la résistance de l’air, le frottement, etc.

Puisque une action extérieure est toujours nécessaire pour changer l’état de mouvement d’un corps, cela lient donc fi ce que le corps oppose une certaine résistance provenant de sou inertie. Voici comment New ton l’a définie : « La force qui réside dans la matière {vis insita) est le pouvoir qu’elle a de résister. Le corps exerce cette force toutes les fois qu’il s'agit de changer son état actuel de mouvement , et on peut alors la considérer sous deux différents aspects : ou comme résistante, en tant que le corps s’oppose à la force qui tend à lui faire changer d’état ; ou comme impulsive, en tant que

le môme corps fait effort pour changer l’étal de l'obstacle qui lui résiste. Ainsi on peut donner h la force qui réside dans les corps le nom trés-expressif de force d’inertie. » (Newton , Principes, etc., vot. l, p. 2.)

On peut rendre éTÎdent par des exemples que Yineriie est une force don! l’action se manifeste dans tons les change-

. ments de mouvement. Ainsi supposez un corps AB posé sur un corps AD , et déterminez par expérience le poids P qu’il faut suspendre à l’extrémité d’un til CE ® attaché en un point C et ' ^ ^ passant sur une poulie de

Fjg. 4 . renvoi pour renverser ce

corps AB ; il est clair que toute cause qui produira le renversement du corps, supposé symétrique, soit en avant, soit en arrière, équivaudra au poids P, et sera une force.

Or, si l’on fait marcher le plan AD d’un mouvement accéléré, on observera que, si l’accélcralion se fait avec une certaine rapidité, le corps AB se renversera en sens contraire du mouvement. Son inertie aura donc agi, dans ce cas, comme une résistance à l’accélération avec une intensité égale ou supérieure au poids P. — Si au contraire le mouvement, parvenu ?! une vitesse notable, uniforme ou accélérée , est retardé brusquement, le corps se renverse dans le sens du mouvement. L’inertie du corps a donc alors agi comme une puissance qui s’opposait au changement du mouvement avec une intensité égale ou supérieure îiii poids P. . L’inertie ayant dans l’im et l’autre cas produit le môme effet que la force, le poids P, on est donc autorisé à la regarder aussi comme une force.

Dans la communication rapide du mouvement que des chevaux ardents tendent îi imprimer îi une voiture, c’est Yinertie de la voilure qui, par sa résistanœ, fait casser les traits, les palonniers, etc. C’est la môme cause qui fait ver-

DES FORCES

ser une voilure lorsque, animée d’un mouvemenl rapide, elle éprouve en tournant un ralenlisscinent brusque. C’est elle qui projclle dans l’espace les voyageurs placés sur l’impériale d’un convoi de wagons arrêté dans sa marche ; qui fait rompre les cordages à l'aide desquels on veut retenir quelquefois trop rapidement des bateaux emportés par uil courant , les ancres ou les câbles en fer des bâtiments auxquels les flots et les vents ont communiqué une grande vitesse, les boulets qui pénètrent dans les maçonneries, dans les terres , dans les sables , bien moins durs que la fonte, les dents des engrenages, quand on embraie brusquement des macliines pesantes, comme des canons à forer, des meules de moulins à poudre , etc., etc.

On ne saurait trop engager les élèves â rechercher par euxmènies des exemples de ces efîcts de l’inertie comme force motrice ou résistante , pour se bien pénétrer de son existence et de son influence dans les mouvements variés.

7. Mode d'action des forces. — Les forces agissent toujours graduellement d’une manière qui peut être constante ou variable, mais toujours continue ou progressive, pendant des temps d’une certaine durée. Celte action se manifeste tiintôt par dos degrés insensibles et avec lenteur, tantôt avec rapidité, mais jamais dans des temps nuis. Si les phénomènes s’accomplissent parfois dans des intervalles de temps inappréciables à nos sens et à nos moyens d’observation, cela tient uniquement à l’imperfection de ceux-ci; et, ce qui le prouve, c’est que plus on rend ces moyens sensibles , et mieux on peut apprécier la durée de phénomènes qu’on regardait auparavant comme instantanés.

Tons les corps étant plus ou moins compressibles, flexibles, mous ou élastiques, ils se déforment dans leur réaction réciproque en exerçant les uns contre les autres des efforts qui varient d’un instant à l’autre, et ces déformations, ces flexions plus ou moins grandes ne peuvent s’accomplir que dans des temps d’une certaine durée. Dans

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ET DE LA MESUnE DE LEUR TRAVAIL. , H

les phénomènes si rapides de transmission du mouvement par le choc, les efforls développés et les vitesses transmises ou perdues ne le sont que graduellement et avec continuité. Il est facile de montrer des exemples de ce que nous venons de dire dans le choc des projectiles , le jeu de paume, le jeu de ballon , etc.

C’est donc faire abstraction d’une manière trop grave des effets naturels et partir d’une hypothèse trop contraire aux faits que de supposer, comme on se le permet quelquefois, que des chocs, des transmissions de mouvement aient tien instantanément. Il en résulte toujours des notions et parfois des conséquences tout à fait fausses, et il importe au contraire de ne pas perdre de vue que toutes les forces qui agissent dans la nature sont analogues et comparables à des tensions, à des pressions, qui agissent graduellement cl avec continuité.

8. Mesure des forces. — Pour parvenir à la mesure des forces nous admettrons comme un axiome que deux forces sont égales quand, subslituées l'une à l'autre, elles produisent le. même effet dans les mêmes circonstances ou en détruisent une troisième qui leur est directement opposée.

Cela posé , si nous prenons un ressort , un peson , un dynamomètre, dont les flexions sous l’action de poids connus aient été mesurées cl olwervées sur une étendue suftisante, et si nous soumettons ensuite ce peson à l’action d’une force quelconque, lorsque cette force aura produit dans le ressort une flexion égale à celle qui était due à un certain poids, il est clair que, si dans les deux cas le ressort a conservé son élasticité, la force et le poids ayant produit le même effet, surmonté la même résistance à la flexion, ces deux forces seront égales. Le poids pourra donc servir de mesure è la force.

Ce que l’on vient de dire poim le cas Irès-simple où il s’agissait seulement de mesurer la force, l'effort développé par des moteurs animés ou inanimés exerçant des

DES FORCES

efforts de traction, tels que des chevaux, des locomotives, des remorqueurs, peut aussi se réaliser dans lu pratique par des 'moyens simples, que nous ferons connaître plus lard.

Nous admettrons donc à l'avenir que toutes les forces qui agissent dans les machines sont comparables d des poids,

9. Unité de mesure des forces. — Les forces étant comparables à des poids , nous adopterons l’unité de poids pour unité de mesure des forces, et nous les exprimerons en kilogrammes, ce qui signifiera simplement pour nous qu’elles produisent dans les mêmes circonstances le même effet que le nombre correspondant de kilogrammes agissant de la même manière.

10. Dénominations diverses des forces. — On distingue quelquefois les forces par différents noms selon les circonstances dans lesquelles elles agissent. Ainsi on nomme forces motrices ou mouvantes celles qui produisent le mouvement ou l’entretiennent, forces résistantes celles qui tendent à l’empéclicr ou à le retarder , forces accélératrices ou -re/arda/ness celles qui l’accélèrent ou le retardent, forces attractives ou répulsives celles qui sont relatives aux attractions ou répulsions. Enfin on emploie les mots de puissances et résistances pour distinguer les forces qui favorisent le mouvement et celles qui s’y opposent.

i 1 . Constitution des corps. — Nous avons déjè dit que tous les corps de la nature devaient être considérés comme composés d’éléments, de molécules infiniment petites. Ces molécules sont rapprochées les unes des autres par des forces attractives et tenues en même tcuips à de certaines distances par d’autres forces appelées répulsives. Ce sont ces forces, qii’on nomme forces moléculaires, qui maintiennent le corps, ou les parties qui le composent, dans sa forme tant que quelque cause ne vient pas l’altérer.

Lorsque les forces répulsives el altractives ont une grande intensité, les corps résistctit avec énergie à toute cause, à toute force qui tend à les déformer , à les comprimer ou à les étendre, et l’on dit qu’ils sont solides. Mais cette dénomination est relative plutôt qu’absolue et les corps qu’on nomme liquides ou gazeux sont constitués comme ceux dont nous venons de parler el qu’on appel solides. Toute la différence consiste, comme nous l’avons indiqué, en ce que dans les corps solides les forces moléculaires attractives sont prépondérantes, qu’elles maintiennent les molécules à un plus grand état de rapprochement et qu’elles s’opposent avec plus d’énergie à . Ictir- écartement, à leur sépariilion, que dans les liquides où la' facilité avec laquelle. les molécules se séparent, se meuvent el se disjoignent sous l’action du plus faible effort, semble indiquer qu’il y a presque égalité enire les forces attractives et répulsives. Enfin, dans' le gaz les forces répulsives l’emportent sin* les forces attractives el ces corps tendent d’eux -mômes à occuper des volumes de plus en plus grands ù mesure que les obstacles, les enveloppes qui s’y opposent, deviennent plus faibles.

Il suit de ces considérations qu’à proprement parler il . n’y a pas de limite tranchée entre les solides , les liquides el les gaz, qu’ils sont constitués d’une manière analogue, qu’ils jouissent de propriétés communes, qu’il ne faut jamais perdre de vue que les molécules, les points matériels qui les composent sont susceptibles de se rapprocher ou de s’éloigner sous l’action de forces extérieures. Ces notions conformes à la nature même des corps excluent l’idée absolue de corps durs ou inflexibles cl celle de corps mous dénués de toute faculté de retour partiel ou complet vers leur forme primitive ou de toute élasticité.