Résultante de trois mouvements ou de trois vitesses

simultanés dans l'espace.

’ — Si le corps est animé de trois mouvements ou vitesses simultanés AB, ■' AD, AF, dans l'espace , suivant trois directions quelconques , il est évident que , si l’on compose d'abord AB et AD, puis leur r^ultantc AC avec AF, ou AB et AF, et leur résultante AE avec AD, ou AD et AF, et leur résultante AG avec AB, on trouvera dans tous les cas pour résultante finale la diagonale AH du parallélipipède construit sur les mouvements ou vitesses donnés.

■ Ki«-

COVPOSITIOir DES MOUVEMENTS,

Dune , la rémltanle de trois mouvements ou de trois vitesses simultanés dans l’espace est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélipipède construit sur ces trois tnouvements.

110. Réciproquement 7tn mouvement ou une vitesse quelconque peut être décomposé en trois mouvements ou en trois vitesses suivant trois directions données. — Soient en effet AH ce chemin parcouru ou cotte vitesse , on peut le décomposer on deux autres , l’un dirigé suivant Tune des directions données, l’autre suivant AC dans le plan des deux autres directions , et regarder le corps comme animé de ces deux mouvements ou Vitesses simultanés. Puis on peut décomposer le mouvement on la vitesse AC en deux autres AB et AD dirigés suivant les deux autres directions données.

Le mouvement ou la vitesse AH sera donc ainsi remplacé par les trois moûvements ou vitesses AF, AB et AD selon les trois directions données.

Cas où les composantes sont à angles droits. — Dans le cas particulier et le plus ordinaire où les trois directions sont à angles droits , en posant

AB = V;, AD=V", AF = V*' et AH = V, on a V = V”

et V' = V cosBAH , ' V" = V cosDAH , V'" = V cosFAH.

111. Résultante d’un nombre quelconque de mouvements ou de vitesses simultanés. — Si , au lieu d’étre animé de trois mouvements ou vitesses simultanés AB, AD , AF, te corps en possédait en outre un pu une quatrième, il est facile de voir que le mouvement final ou la vitesse finule résultant serait représenté en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur la résultante des trois premiers mouvements, et sur le quatrième comme côté. Or cette ligne est le dernier côté du contour polyédrique que l'on formerait en supposant (|ue le cor])s reçût successivement ces mouvements ou vitesses simultanés. . t .

DE» VITESSES ET DES FORCES

• ' Donc en général le mouvement ou la vitesse résultant d’un nombre quelconque de mouvements ou de vitesses simultanés dirigés aussi d’une manière quelconque dans l’espace est représenté en grandeur et en direction par le dernier côté du polygone polyédrique qui peut être formé en supposant le corps successivement animé de ces mouvements simultanés.

Mais on arrive plus simplement à la détermination du mbuvoincnt ou de la vitesse résultant en remarquant que , d’après ce qui précède , un mouvement de translation quelconque peut toujours être décomposé en trois autres mouvements simultanés, dirigés selon trois directions données quelconques, qui sont les trois côtés d’un parallélipipède dont le mouvement donné est la diagonale, et qui sont dirigés suivant les directions données.

„ Cela posé, si l'on conçoit chacun des mouvements ou chacune des vitesses simultai>és dont le corps est animé ainsi décomposé , le mouvement ou la vitesse finale n’eti sera pas altéré. Mais comme tous les mouvements ou vitesses dirigés selon les mômes axes ont, comme on le verra plus loin , des résultantes partielles égales à la somme des composantes, suivant ces directions, il s’ensuit en définitive que le mouvement ou la vitesse résultant sera représenté en grandeur et en direction pàr la diagonale du parallélipipède construit sur les sommes des composantes des mouvements partiels suivant trois direetions quelconques.

' Raisonnant encore comme au n' i08, et supposant qu’après avoir composé en un seul tous les mouvements simultanés qui animent un même point matériel , on projette ces mouvements et le mouvement résultant ou les vitesses correspondantes sur un axe quelconque par autant- de pians perpendiculaires à cet axe , on verra avec évidence, (ÿie la projection du mouvement résultant ou de la vitesse résultante , qui n’est autre chose que la diagonale du polygone polyédrique dont nous avons parlé , est égale à la somme algébrique des projections des mouvements ou vitesses corn posants.

J 26 CUUPO&iTlUN 1>KS UOL'VEMËNTS, ‘

1 13. Cas où la résultante est nulle. — l.orsquo la ligne qui joint les «xlrémilés «Ixi premier et du dernier côté du polygone plan oif polyédrique formé sui’ Icü directions des chemins ou vitesses composants est nul, ce qui arrive quand ce polygone se referme sur lui-méme, le mouvement ou la vitesse résultant est nul.

' 1 15. Théorème des moments de Varignon . — Si d’un point ü quelconque pris dans le plan du parallélogramme ABCD des vitesses, et en dehors de l'angle BÂO, on mène (es droiles OA,

01) et OC, on remarquera d’abord que, le quadrilatère OAÜC étant la somme des triangles OAD et ODC, on aura

OAC = OAD -f ODC — ADC.

Si de plus on abaisse du point 0 les perpendiculaires O» on Oc, Ob et Od, sur les côlés AB, AC et AD, on aura pour les surfaces des triangles

OAC = iACxOè, OAD = iADxOd,

ODC = iDCxOc, AÜC = iDCXcc.

DES VITESSES ET DES KOUCËS. 127

Par coubéqueiit la relalion ci-dcssus dcvionl AC X 06 = AD X Orf + AB X Oa.

Les produits AC X 06, AD X Od, AB X Oa, des cùlés AC, AD, AB, par les perpendiculaires 06, Od, Oa, abaissées du point 0 sur leurs directions respectives, s'appellent les moments, et la relalion ci-dessus montre que si l’on applique ce qui précède aux mouvements composants et résultants d’un point A, on peut énoncer le théorème en disant que le moment de la diagonale ou de la résultante est égal à la somme des moments des côtés ou des composantes.

Dans le eus de la figure précédente, le corps, en vertu de ses deux mouvements ou vitesses, était sollicité à tour-

ncr dans le même sens autour du point O, placé en dehors de l’angle BAD.

Si le point O se trouvait dans l’intérieur de cet angle, il est facile de voir que l’on aurait encore

OAC = OAD -1- ODC — ADC ,

puis 0AC = ^ACX06, OAD = iADxOd, . .*

ODC = iDCxOc, ADC = iDCXoc, et par suite

AC X 06 = AD X Od — AB X Oa.

El cuinnie dans ce cas le cur|>s, en vertu de ses deux iiiuu-

tiH CUMPOSmON UES MOUVEMENTS, '

vcmciiis, Icnd h tourner dans des sens contraires autour du |>oint O, le théorème de Varignon peut s’énoncer en général, et en l’étendant de suite ii un nombre quelconque de mouveraents ou de vitesses simultanés, en disant que ie moment de la résultante est égal à la somme des moments des composantes qui tendent à faire tourner le corps dans un sens moins la somme des moments des composantes qui tendent à le faire tourner en sens contraire^ ou plus généralement en disant que le moment de la résultante est égal à la somme des moments des composantes, pourvu que, prenant positivement les moments relatifs à un certain sens du mouvement, ôn convienne de prendre négativement ceux qui se rapportent au sens contraire.

114. Extension de ces théorèmes aux corps ou systèmes matérieh animés d'un mouvement commun de translation. — Tout ce que l’on a dit plus haut pour un point matériel s’étend immédiatement aux corps ou systèmes matériels animés d’un mouvement de translation commun, puisque, quand on aura déterminé la vitesse ou le mouvement résultant de l’un des points, on en déduira celui des autres, qui est le môme. Car si tous ces points sont animés simultanément d’un ou plusieurs mouvements communs, d’une ou de plusieurs vitesses communes dans des directions données, le mouvement résultant ou la vitesse résultante sera le même pour tous.

115. Indépendance de l’action simultanée de plusieurs forces sur un même point. — Des observations qui montrent qu’un point matériel peut être animé de. plusieurs mouvements ou vitesses simultanés et indépendants, il suit aussi naturellement que les causes ou les forces qui produisent ces mouvements ou impriment ces vitesses exercent des actions indépendantes les unes des autres. Aussi l’expérience inon- Irc-t-elle que , quand un corps est soumis ù l’action de plusieurs forces, chacune d’elles lui communique dans un élément de temps t, et dans sa direction propre, un petit

DES VITESSES ET DES FORCES. ISO

degré de vitesse v proportionnel ù son intensité, et qui est le même que si elle ngissnit seule, quel que soit d’uillcurs le mouvement que le corps possédait antérieurement.

1 IG. Cas où les forces agissent dans la même direclion. — Lorsque tontes les forces agissent dans la même direction, les vitesses qu'elles impriment étant aussi dans celle même direction, clics s’ajoutent, et le corps est animé d’une vitesse résultante égale à la somme algébrique des vitesses partielles composantes.

Or, les forces étant proportionnelles {vux vitesses qu’elles impriment dans un même temps à un même corps, il s’ensuit aussi que toutes les forces qui agissent sur le point matériel considéré ont une résultante égale à leur somme algébrique.

En effet, en appelant F, F', F', les forces qui agissent dans la même direclion sur le point matériel considéré, dont la masse est M ,

V, v', v", les vitesses finies ou élémentaires qu'elles lui communiquent dans le môme temps , on a

et comme la vitesse résultante est

V, = » 4 -, v' -j- -j- etc .

on a aussi en appelant R la résultante des forces

„ MVi Mr , Mt>' , Mw" t ~ t t t ’

ou R = F-l-F'-f-F + elc.,

ce qu'il fallait démontrer.

■ De plus, si l'on multiplie cette dernière rclalion par le ebemin e parcouru par le point matériel dans la direction commune des forces cl de leur résultante, on a

Re = F# -j” F’# -)- F*e -f- etc.

Ce qui exprime que le travail de la résultante est égal à la somme algébrique des travaux des composantes, lesquels peuvent d’ailleurs être des travaux moteurs ou des travaux résistants ( n* 95 }.

Enfin, pour que le mouvement du corps soit uniforme, il faut que la somme des forces qui tendent à lui imprimer de la vitesse dans un sens, soit égale à celle des forces qui tendent à lui en imprimer dons le sens contraire, ce qui conduit à la relation

R = F +F +F", etc.=o,

OU Re=Fe-fF'e-}-F"e, etc. = 0 , .

ce qui exprime que la résultante est nulle ou que le travail des forces motrices est égal à celui des forces résistantes.

L’équilibre n'étant que le cas particulier du mouvement uniforme où la vitesse est nulle, la condition précédente ' est aussi celle de l'équilibre.

117. Cas où les forces qui sollicitent le corps n’ont pas la même direction. — Nous avons vu par l’exemple du n* 100, relatif à In chute de.s graves animés en même temps d’un mouvement horizontal , que les vitesses communiquées dans des directions dillërentes étaient aussij complètement indépendantes les unes des autres.

En obéissant ainsi ù l’action simultanée de ces forces, le

corps recevra des vitesses Afr, Âd, proportionnelles à leurs intensités et dans la direction des forces, et CCS vitesses composantes auront une résultante qui sera la diagonale kc du parallélogramme kbed.

Si l’on prend AB et AD proportionnels aux degrés de vi-

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DES VITESSES ET UES FORCES. IJl

lessc Ab, Ad, pour représenter les forces P cl Q, qui produisent CCS petits degrés de vitesse , la résultante de ces forces, ù laquelle est duc la vitesse résultante, devra être proportionnelle au degré de vitesse communiqué dans le même temps et dans le sens de son action, ou à Ac; on aura donc