Leçons de mecanique pratique notions fondamentales de mécanique et données d'experience

1. De fétetultte. — L'élcndue a trois dimensions : longueur, largeur, hauteur. Pour la mesurer on la distingue en ligne ou dimension linéaire, qui est une longueur sans largeur; en Surface, ayant longueur et largeur, et en solide an volume, qui réunit tes trois dimensions de l'étendue. (Lécendhb, définitions.) La mesure de l'étendu* constitue la science île la géomélric. Nous n'avons donc à nous en occuper qu'au point de vue de son emploi dans les applications à la mécanique.

Les longueurs se mesurent par leur comparaison avec une unité de convention adoptée dans chaque pays, et qui en France est le mïlre, subdivisé m décimetres, centimètres et millimètres. Pour apprécier des fractions plus petites que le millimètre on se sert du venter, et de divers appareils de précision, tels que les vis micromé triques, les compensateurs, ele , dont la description est du ressort de la géométrie industrielle.

Les surfaces se mesurent par les règles de la géométrie et s'expriment en mètres cariés. Mais il arrive souvent qu'elles

1 SOTIONS PRÉLIMINAIRES.

sont terminées par îles lignes cl des contours qui ne sont soumis îi iiiii'unr! loi jréuiiiélrirpie connue, et alors il csl nécessaire de recourir à des m illes de quadrature approximatifs ou à des moyens mécaniques. L'emploi lie ces méthodes se reproduisait sans cesse dans le* relèvements cl dans In discussion des résultais d'expériences, fious en parlerons avec quelques détails pour n'avoir plus besoin d'y revenir.

L'une des uiélluxlcs 1rs plus simples et les plus exactes do déterminer approximativement pur le calcul la surface limitée pai un contour quelconque cnrviBgBe ou composé de parties courbes et de droites est la suivante. Mené; à Ira» ers la surface une ligne AD, et parlagi z la distance de ses ! ~T -j B UI ' U1 poinls d'inlcrscclions avec le contour en un nombre pair lie parties égale»,.

" ' " ' " '" " niimémléts 1, 2,. 3, 4...., 7, '■ 8, 9, pur exemple. Aux points

de divisions élevez des perpendiculaires à lu ligne AB, appelée axe lies abscisses. Vous aurez les longueurs des ordonnées l't". 2'â", 3'3"-.., 8'8", 0'9". Cela fait, la surface S terminée par la ligne courbe aura pour valeur approchée

S=ii.ïf^l , +ï.^+Mï'-^+v/t : +...s'.s*),+:=(3 , :*TV.i'+-..7'.T^.

c'est ît-dirc le tiers de l'intervalle de deux ordonnés eùnsémtives, cquidistnntes, multiplié pur la somme des ordonnées eAh trémes, plus quatre fois la somme des ordonnées de rang pair, plus deux fuis ta somme des ordonnées de rang impair.

M. Poncelel a donné la démonstration suivante de celte régie, page 187 de l'introduction à la mécanique industrielle, 2' édition.

9. Démonstration de la formule de Simpson. — L'aire ù mesurer élan! limitée par le contour aa'l/'e'd'...g'g...ba, si l'on partage la ligne ag eu six parties égales, on aura d'abord une première approximation en prcnunl la somme des

MUTIONS PUSLlMliUIBES. 3

aires des trapèzes recliligncs aa'b'b, bb'b'b, etc., ce qui don-

io6(«f + W) + JMMH- «') + ±rf( CC '+ tftf) + etc.,

ce quj revient à

\ab(aa'-\- 266'+ 2ec'-i- 2£/d'+ 2^+ 2ff + s?').

Celte méthode est la plus ordinairement suivie. Mais il est clair que, pour des courbes dont la concavité est toujours

tournée vers la ligne ag des abscisse», relie formule donnera un résultat Irop faible; qu'au contraire elle le donnera trop grand pour des courbes convexes vers la ligne ag. Il n'y aura compensation approximative que pour les courbes alternativement concaves et convexes.

Mais si l'on considère l'intervalle compris entre deux * l ordonnées impaires consé-

cutives M* et te' et qu'on partage ce en trois parties égales, em=ntn=tu, on aura d'abord une valeur plus approchée de l'aire mixliligne cc'd'e'e, en substituant les trois trapèzes recliligncs cc'm'm, mm'n'n, «n'eV, aux deux trapèzes cc'il'd et dtte't. La somme des aires de ces trois trapèzes est

icm;cc'+ 2mm' + 2nn'+ te') = |«6(«'+ 2mm'+ Sm'-f «e'j,

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