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0,491 i 0,+SS 0,160 0,458

Mayenne...

6,376 3s,ai6

0,541 0,411 0,438 0,4tt 0,415 0,490

Très-

HoyiDue gérerais 0,477

DU FROTTEMENT

DU FROTTEHETT.

On voit par ces résultais d'expériences dans lesquelles l'arc embrassé a varié dans les rapports de 8,3 à l environ , el où les tensions oui atteint à peu pris les limites lie celles qu'on lionne aux courroies de mécanique, que la valeur du rapport f du frottement a la pression csl resiée a très-peu près constante.

Les trois premières séries du premier tableau confirment pleinement les considérations théoriques. La quatrième série est relative h une courroie tout à fait neuve el trèsroide, et c'esl à celle circonstance que l'on peul attribuer l'accroissement assci faible de la valeur moyenne qu'elle a fournie. Celle courroie n'ayant d'ailleurs que 0- ,028 de largeur, ou environ In moitié de la précédente, on voit que celle dernière série confirme , quant aux courroies , la loi de l'indépendance des surfaces.

Dans les expériences du deuxième tableau , l'étendue de l'arc embrassé a varié dans le rapport de 6 à I, la largeur de courroie pressée sur la poulie dans celui de 2 à 1 , les tensions dans ceux de 1 a 3 et de I a 6 , el cependant la valeur du rapport f du frollemenl à la pression est restée sensiblement constante, et moyennement égale, pour la courroie sèche et les poulies sèches, à

Lorsque la poulie était mouillée d'eau, l'on a eu /"=0,377.

230. Conclusions. — En récapitulant les résullats de ces deux séries d'expériences sur le frottement des courroies sur des tambours en bois ou sur des poulies en Ton le, on voit que l'on est autorisé à admettre que le rapport de cette résistance à la pression est :

1° Indépendant de la largeur de la courroie el de la longueur développée de l'arc cmhrassé ou du diamètre des tambours, ou, ce qui revient au même, indépendant de l'étendue de la surface de contact ;

2* Proportionnel à l'angle sous-tendu par la courroie à la surface du tambour ;

29i DU FROTTEMENT.

3- Proportionnel au logarithme ilu rapport des tensions des brins, el exprimé par la formule

481. Expériences sur ta variation de tension des cordes ou courroies sans fin, employées à transmettre le mouvement.— Passons maintenant à la vérification ex péri mentale de lit théorie donnée par M. Poncelel, pour la transmission du mouvement par des cordes ou des courroies sans fin , et disons d'abord en quoi elle consiste.

Lorsqu'une corde ou une courroie entoure deux poulies ou tambours entre lesquels elle doit établir une solidarilé de mouvemenl, l'on a soin

Y e N lilé qui se rétablit au repos, n'est troublée ! j que pjr riiifiucucc du frottement des axes

V^__^' qui ont été mis en jeu, et qui, selon le sens rig. ». dans lequel a lieu le mouvement, au moment

de l'arrêt de la machine, agissent dans un sens ou dans

l'autre.

Cela dil , examinons comment le mouvement se transmet dans un pareil système ; soient :

C le tambour moteur, G te tambour conduit,

T, la tension primitive commune aux deux brins A.V et BB' île la courroie au moment où le tambour C commence à tourner et jusqu'à ce qu'il ait culminé le tambour C.

Le point A du cou lad primitif du brin AA', marchant en s éloignant du point A' dans le sens de la flèche, le brin AA'

DU FROTTEMENT. !93

s'allonge, cl sa lensinn augmente d'une quantité proportionnelle ii cet allongement , suivant une loi générale vériliéc par les expériences sur la traction *. Eu même temps le point B de contact du brin BB' se rapproche rte la même quantité du point B', de sorte que le brin BB' se raccourcit précisément d'une quantité égale à celle dont le brin AÀ' s'est allongé, et la tension <le ce même brin BB' diminue en conséquence d'une quantité égale à celle dont la tension du brin AA' a augmenté. Si donc l'on appelle :

T la tension du brin conducteur AA' a un instant quelconque do la mise en mouvement.

T' la tension du brin conduit BB\

/ la quantité dont la tension primitive T, s'accroll dans le brin AA', cl diminue dans le brin BB', on aura

T=T, + (, et T' = T, — (, ei par conséquent

ainsi à un inslanl quelconque la somme des deux tensions T cl T' est constante et égale au double de la tension primitive.

Maintenant il est clair que par rapport au tambour conduit C, la puissance motrice est la tension T, et que In tension T' agit comme une résistance avec le même bras de levier, de sorle que le mouvement n'est produit et entretenu qu'à l'aide de l'excès T — T' de la première sur la seconde de ces lensions.

Si la machine est, par exemple, destinée à soulever un fardeau Q agissant a la circonférence d'un treuil de rayon R', il est facile de voir, d'après la théorie des moments, qu'à un instant quelconque du mouvement uniforme de la machine, on devra avoir la relation

(T— T) R = QR' + f Nr, N étant la pression sur les tourillons, et r leur rayon.

• Voir les leçoni tur ta Rintianct dit matinaux.

ÏOi DU FROTTEMENT.

Celte pression est d'ailleurs facile fi déterminer, enr en appelant

a l'angle formé par les directions AA' et BB' des courroies avec la ligne des centres (X',

M le poids du tambour, on voit immédiatement que

N = v/|SI+G-HT-T>in «l'+CT+TTcos 1 »» .

expression qui, d'après le théorème d'algèbre de H. Poncelel, cité au n' 227 a pour valeur exacte h £ près, quand le premier terme sous le radical est plus grand que le second,

N = 0,96|M + Q+(T— T')sinai + 0,4tT + T') cos a;

a l'aide de cette valeur de N qu'on introduirait dans la formule d'égalité des moments, l'on aurait une relalion qui ne contiendrait que les valeurs de la résistance U et des tensions. Mais comme elle serait un peu compliquée pour les applications, l'on peut remarquer que dans la plupart des cas, l'influence des tensions T et T sur les frollemenis sera assez faible pour pouvoir être négligée , au moins dans une première approximation : on procédera donc ainsi qu'il suit :

On négligera d'abord l'influence des tensions sur les frottements et l'on aura simplement, dans le cas actuel , N = M + Q

el par suite (T— T') R = QR' + flM +Q)r d'où l'on tirera

ce qui fournira une première valeur de la différence des tensions, qui est la puissance motrice de l'appareil.

Mais cela ne suffit pas pour connaître ces tensions, el il faut déterminer la tension primitive T, de telle façon que dans aucun cas la courroie ne puisse glisser.

Dn i : jJ Lv Ci

DU FROTTEMENT

D'après le théorème Je M. de Prony, l'on a nu moment du glissement entre la tension T et T la relation

T = r X 2,718 + / jj T'=KT.

Le nombre K étant une quantité qui dépend uniquement de la nature et de l'état des surfaces en contact, ainsi que

de l'angle embrassé par les courroies sur le tambour C Ces quantités sont connues et l'on peut dans chaque cas calculer la valeur de K par cette formule ou la prendre dans la table suivante qui correspond à presque tous les cas de la pratique.

A l'aide de ce tableau on aura doue la valeur de T = KT' el par suite

0 représentant la plus grande voleur que la différence des te-Dsions doive atteindre pour vaincre les résistances utiles et passives.

DU FROTTEMENT

Iltï celle relation on tirera In valeur de h plus petite tension qu'il soit permis de donner nu brin conduit pendant la marche, pour que In courroie ne glisse pas ; on aura ainsi

on devra augmenter celte valeur de au moins pour se mettre i l'abri des circonstances accidentelles et tenir compte de l'influence négligée des tensions sur les frottements. Cela posé on aura

et par suite

Toutes les circonstances de la transmission du mouvement seront donc déterminées.

Si cependant l'on ne croyait pas pouvoir se conlenler de ces premières valeurs T, T' cl T,, on pourrait en obtenir de plus rapprochées en introduisant celles-ci dans la valeur de la pression N, en déduire une nouvelle valeur plus exacte de Q, et s'en servir pour calculer de nouveau T', puis T et TV

252. Expériences sur ta variation des tensions ths courroies sans fin employées à la transmission rlu tnoure- -Pour vérifier par l'expérience l'exactitude de ces considérations, j'ai disposé verticalement au-dessus de l'axe d'une roue hydraulique qui ne ronchonnait pas et d'une poulie montée sur son arbre, un tambour cylindrique en chêne , de 0 m ,836 de diamètre, et dont l'axe élail h 3 mètres de celui de la roue. Autour de ce tambour A'B' et de la poulie AB («g. 81), l'on a fait passer une FlB - "■ courroie, laquelle au lieu d'être d'une seule piiYe, élail en deux parties réunies vers chaque bout, par

DU FROTTEMENT

lui dynamomètre ;i plnlenu cl à style, de la foire de 200 kil. On assurait d'ailleurs facilement ees dynamomètres à îles positions telles que celui du brin descendant fill près du tambour supérieur, et celui du brin montant près du tambour inférieur, de sorte que la courroie pouvait se mouvoir sur une étendue de près de 2"',00, saus risquer que les instruments s'engageassent but les tambours.

Un (il enroulé de plusieurs tours a la circonférence de l'une des gorges du plateau de ennemi des dynamomètres et alloché par l'autre bout a un point fixe, obligeait ce plnlenu a tourner quand l'appareil marchait, et le papier, dont le plateau élait recouvert, recevait ainsi la trace du style du dynamomètre.

La courroie étant passée sur les deux tambours, on faisait à volonté varier la tension des brins , dans un sens ou dans l'autre, en suspendant a la circonférence du tambour supérieur un plateau Q chargé de poids. Quant à la tension primitive, on l'augmentait en rapprochant les extrémités de la courroie ou en diminuant sa longueur avant l'expérience.

L'appareil étant ainsi disposé et préparé pour les observations, avant de charger le plateau Q, on traçait les courbes ou cercles de flexion de chacun des dynamomètres, afin d'avoir la tension des courroies au repos et d'obtenir par leur somme le double de la tension primitive T,. On conçoi! d'ailleurs que ces deux tensions ne pouvaient jamais être tout à fait égales; mais cela importait peu, puisqu'il ne s'agissait que d'avoir leur somme.

Cela posé, on chargeait le plateau d'un poids, qui, étant suspendu à la circonférence par une corde d'un diamètre égal à l'épaisseur de la courroie, avait par conséquent le même bras de levier que les tensions. Le brin opposé a ce poids se surlcndait et le brin placé du même côté se détendait, et l'on traçait les nouvelles courhes de flexion du dynamomètre. On pouvait d'ailleurs, pour une même tension primitive, faire une suite d' expéri en ces différentes,

a et ï compris le poids moteur sous l'action duquel la <ie glisserait sur l'un ou l'aulrc tambour.

s sur la variation de la tension des courroies sans lyées à transmettre le mouvement à des poulies ou

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DU FROTTEMENT. SUS

Dans ces expériences, on avait lu facilité de laisser tourner les deux lamhours , d'une ccrlaine quantité , sous l'action des tensions, en sorte que l'on a pu réaliser les trois cas de la pratique , savoir : celui de la variation de tension avant que le mouvement soit produit, celui de cette variation pendant le mouvement, et enfin celui du glissement.

La courroie employée dans les expériences était trèssouple, molle et peu susceptible de se polir en glissant.

En calculant le rapport du frottement à la pression pour cette courroie au moyen des expériences 3 , 15 et 10 , on trouve respectivement

f= 0,578 / = 0,596 ^=0,544 dont la moyenne esl /=573.

SSS. Observations sur les résultais contenus dans le tableau précédent, — L'on voit que la première ligne de chaque série d'expériences correspond au ens où le poids additionne! Q élait nul, el où chaque brin prenait la tension primitive correspondant a l'éloignemenl des axes. Ces tensions ne sont pas loujours égales par suite de l'influepce inévitable et déjà signalée des résistances passives mises en jeu, mais elles différent peu l'une de l'autre. A mesure que le poids suspendu au tambour augmente, la tension de l'un des brins s'accroît et celle de l'autre diminue, mais de telle sorte que leur somme reste constante, ainsi que le montre la cinquième colonne du tableau.

Ces résultats, qui confirment complètement la théorie de M. Poncelet, étant d'ailleurs relatifs à des tensions dont la somme s'élève a 90 kil. el plus, el dont les plus grandes montent jusqu'à 77 kil., et les plus faibles descendent à moins de 5 kil., comprennent presque tous les cas de la pratique el montrent que cette théorie peut, avec sûreté, être appliquée au calcul des transmissions de mouvement par des courroies. '

En terminant, nous ajouterons que l'on peut faire sup-

300 l)L' FROTTKMRST.

porlei' aux courroies destinées h un service continu une tension de 0*,25 par millimètre carré Je section, ce qui permet (m d'en déterminer la largeur d'après leur épaisseur.

384. Frottement des tourillons. — Outre les expériences qui ont été rapportées précédemment sur le frottement des surfaces planes, j'en ai exécuté un grand nombre sur celui des lourillons, au moyen d'un dynamomètre de rolation à plateau et a style qui a été le premier appareil de ce genre , mai:: qu'il serait inutile de décrire ici.

L'arbre de cet appareil dynamomélrique était creux et en Tonte. Il pouvait recevoir, par des portées exactement ajustées, des tourillons de rechange de différentes matières et de divers diamètres. Sa charge se composait de disques pleins en fonte pesant 150 kil. chacun, dont on pouvait augmenter le nombre de manière a atteindre des charges de plus de 1380 kil. Une poulie montée a frottement doux sur l'arbre, et qui lui transmettait le mouvement par l'intermédiaire d'un ressorl , recevait par une courroie le mouvement d'une roue hydraulique, el la différence de tension des deux brins de la courroie était mesurée par le dynamomètre à style.

On a employé des lourillons de 0,050 B 0,100 de diamètre. Les vitesses ont varié dans le rapport de 1 a 4. Les pressions ont atteint 1880 kil., cl, dans cesjimiles étendues, l'on a conslaté que le frottement des lourillons était soumis aux mêmes lois que celui des surfaces planes.

Mais il convient de remarquer que, par l'effet de la forme même des corps frottants, dans le cas actuel, la pression s'exerce sur une élendue de surface d'autant plus petite que le tourillon a un diamètre moindre, cl que les enduits sont plus facilement expulsés avec les petits tourillons qu'avec les gros. Celte circonstance a une grande influence sur l'intensité du frottement el sur la valeur de son rapport a la pression. L'action même du mouvement de rotation tend à expulser certains enduits et à rapprocher les surfaces de l'état simplement onctueux. 1,'aucien mode de graissage ,

1)1 FROTTEMENT

encore. usilt 1 dans beaucoup de cas , consiste simplement à verser du l'huile ou à répandre du suir, du saindoux à la surface du corps frottant cl à renouveler cette opération plusieurs fuis pur jour. On parvient ainsi , avec du soin . à ejiij ficher lus tournions et leurs coussinets de s'user rapidemenl; mMsrenduiln'élaulqu'imparfailemenl renouvelé , h frottement ulleiul lus 0,07,0,0s cl même 0,10 delà pression.

Si un contraire on emploie des appareils ipii renouielleul sans cesse l'enduit , en quantité sutlisanle, sur les surfaces frottantes, elles se irouvent maintenues h un état parfait et Constant de lubrification et le rrollement s'abaisse aux 0,05, ou aux 0,03 de la pression cl peut-éire encore plus bas. Le poli dus surfaces, opéré dans ces conditions favorables, devienl de plus en plus parfait, cl il ne serait pas élonnanl rpic le frollcmenl s'abaissât encore nolablemeul au-dessous des limites indiquées ri-dessus.

C&> relierions mollirent de quelle utilité sonl les appareils grandeurs pour diminuer le frottement qui , dans certaines machines ou usines fi tru i .inimu.-. cninpliqucs, consomment une partie considérable du travail moteur. Ou ne saurait donc Irop recommander l'emploi îles appareils qui répartissent les enduils avec continuité sur les surfaces frottantes des machines, aussi ne doit-on pas s'étonner, du grand nombre des dispositions qui on! clé proposées dans ce but depuis quelques années, On aura toutefois soin de préférer celles qui ne dépensent l'huile que pendant le mouvement, ù l'exclusion de quelques appareils, s'alirneulanl par la capillarité d'une mèche de substance filamenteuse, qui déversent constamment la substance destinée nu graissage , même pendant les instants de repos de la machine, et qui la dépensent par conséquent en pure perle pendant ces intervalles.

2(W. Itcsultals d'expériences. — L'on trouvera dans le tableau suivant quelques-uns des résultais des expériences, à l'appui des considérai ions qui précédent.

302 DU FROTTEMENT

Expériences sur le frottement des tourillons en fonte sur des coussinets en fonte.

Dans ces ei|iériences, lliulle se.ré- ' pandail seula a ta surface des l Durillons.

DU FROTTEMENT. 31)3

Les exemples contenus dans ce tableau suffisent pour monlrer que le frotlcmenl îles tourillons esl en lui-même soumis aux mômes lois que celui des surfaces planes; mais ils montrent aussi la grande influence que le renouvellement conlinuel de l'enduil peut exercer pour diminuer la valeur du rapport du frottement à la pression , qui descend quelquefois à 0,025.

L'on voit aussi que le diamètre des tourillons parait avoir quelque influence sur la plus ou moins complète expulsion des enduils et, par suite, sur le frottement, de sorte que les dimensions à leur donner ne doivent pas Être déterminées par la seule considération de leur résistance a la rupture.

En résumé, il ressort de l'ensemble des expériences que j'ai exécutées sur le frottement des tourillons, qu'il est à peu près le même pour les bois et les métaux frottant les uns sur les autres, et que son rapport à la pression peut, selon les cas, prendre les valeurs consignées au tableau suivant :

Valeurt du rapport du frottement à ta pression pour Us tourillons de diverses substances.

SBG. Avantage des métaux grenus. — Il n'est pas vrai , comme on le dit généralement , que le frollement soit toujours moindre entre le* suhslanecs d'espèces différentes qu'entre les substances de même espèce. Unis il convient de préférer en général pour les parties frottantes les corps

DU niOTTEME.NT.

grenus aux corps fibreux, el surtout de ne pas exposer ceux-ci h des frottements dans le sens des libres, parce qu'alors il arrive que les fibres soûl quelquefois enlevées, arrachées dans toute leur longueur. Sous ce rapport, la fonte fine, qui cristallise on grains arrondis, ainsi que l'acier fondu, sonl des corps Irés-curnenabk's pour faire'des pièces soumises à de grands frottements. Aussi depuis quelques années cmpluie-l-on assez généralement pour les pistons des machines a vapeur des garnitures de fonte. Si pour les coussinets des arbres de rotation en fonte ou en fer on continue de se servir de bronze, e'est principalement parce qu'il est moins dur, qu'il s'use avant les arbres , et qu'il est plus facile de remplacer un coussinet qu'un arbre.

287. Observation relative aux mécanismes tris-légers. — Dans les mécanismes très-légers, cl surtout si leur mouvement est très-rapide, la viscosité des enduits peut quelquefois offrir une résistance comparable a celle que produirait le frottement proprement dit : aussi, dans des cas pareils , les résultats des expériences faites sous des pressions assez considérables par rapport à l'étendue des surfaces de contact, ne doivent-ils être apjdiqués qu'avec une extrême réserve.

!J38. Usage des résultats de l'expérience, — Les résultats obtenus dans les expériences de Metz sont résumés dans les trois tableaux suivants, qui donnent le rapport du frottement ù la pression pour tous les corps employés dans les constructions. Le premier de ces tableaux est relatif aux surfaces planes qui ont été quelque temps en contact. Les valeurs qu'il donne pour le rapport f du frottement à la pression devront être employées loules les fois qu'il s'agira de déterminer l'effort nécessaire pour produire le glissement de deux corps qui auront été quelque temps en contact : tel est le cas des manœuvres de vanne, el des autres appareils qui ne fonctionnent qu'à intervalles plus ou moins éloignés.

aiO DU FROTTEMENT.

280. Application aux vannes. — Soit L la largeur horiinnlale d'une vanne soumise à une certaine charge d'eau, el 11' la charge ou la hauteur du niveau au-dessus d'une tranche horizontale d'une épaisseur h' infiniment petite, de cette vanne. La surface pressée de cet élément sera LA' el la pression qu'il Éprouvera sera lUOO.L.A'.H'. La pression totale sur la surface entière de la vanne étant égale h la somme de tontes les prisions sumblaliks sur chacun des éléments , elle aura pour valeur

1000 L [M'A' + H*A* + Wh" -f etc.].

Dr les produits LH'A', LH'A", etc. , sont les moments des surfares élémentaires LA', LA", etc. , par rapport au plan du niveau, el leur somme es! égale au moment de la surface totale ejtale h LE.H, en nommant E la hauteur pressée de In vanne, et 11 la distance de son centre de gravité à la but-

fnce du niveau on la charge sur son centre de figure. Donc cette pression totale est