R=K,'A+K,AV

en appelant toujours A la surface immergée des palettes ; V la vitesse du milieu de la portion immergée de palette ; K, et K,' des coefficienls constants.

La surface immergée Adcs palettes a été déterminée d'après le nombre de palette-: simultanément immergées en totalité ou en partie, en calculant la somme des parties immergées de loulcs les aubes pour plusieurs positions successives de la roue, et en prenant la moyenne dos sommes des surfaces

•■•IC RÉSISTANCE DES FLUIDES

ainsi obtenues. Elle représenta ainsi réellement la valeur

moveime de l;i surface iulalc des palntles agissant sur l'eau.

Le mode de représentation de la figure 02 nousa donné la valeur du coefficient constant S,', puisque l'abscisse AO du point Ode la droite qui exprimait la loi de la résistance était celle du terme K,'A. C'est ainsi que l'on a obtenu les valeurs suivantes :

Le tracé a pu aussi fournir lu valeur dti coefficient K, du terme proportionnel an carré de In vitesse, puisque l'inclinaison de la droite qui exprime la loi de la résistance est donnée par l'expression

R — K,'A élant la valeur des abscisses de cette droite diminuées de AO, et V étant celles des ordonnées. En divisant dans chaque cas ces valeurs de K,A, données par l'cxpèV rienec, par la surface connue A, l'on en adédnit les valeurs du loHïicient Ki.

ïHtl. Causes qui altèrent la laide la résistance. - Mais avant de donner les valeurs du coefficient K, de la résistance, fournies par l'ensemble des expériences, il importe de signaler une circonstance qui, en altérant les condilions des pliénomemcs, exerce sur les résultats une inlluence considérable. P,iur qu'a différentes vitesses et a différentes

RESISTANCE DES FLUIDES. SM

profondeurs d'immersion, lu roue et se* aubea se retrouvent dans des conditions comparu blés, il faut , ainsi que nous l'avons impliciternentadinis jusqu'ici, que le vide formé par les palettes qui ont chassé devant elles l'eau sur laquelle elles ont agi, soil incessamment rempli, afin que les nouvelles palcltes immergées rencontrent la même résistance. Or, en observant le mouvement de rentrée de l'eau dans te vide, on comprend très-bien que le remplissage doive se faire par une sorte d'écoulement de superficie ou en déversoir par les côtés, cl qu'un certain temps nst nécessaire pour qu'il soil opéré. Si donc la roue marche si rapidement que ce vide n'ait" pas le temps de s'emplir, les palettes ne trouvant plus la même quantité d'eau à refouler qu'a des vitesses moindres, les rire ou stances du phénomène sont changées, et dès lors la loi de la résistance doit se trouver modifiée. Cet le altération croissant de plus en plus avec la vitesse, il arrive que

les palettes rencontrent une quantité de liquide de plus en plus faible, et qui peut, pour ainsi dire, être nulle, de sorte qu'à la fin la roue tourne dan' l'air au lieu de tournerdans l'eau.

RÉSISTANCE DES FLUIDES

Tous ces eiïols sont pari ai le me ni manifestés par le tracé qui représente les résultats des expériences, ainsi qu'on peut le voir pur la tig. 93 relative h une série d'expériences laites avec 20 palettes immergées de 0'",I05.

La ligne qui représente la loi de la résistance est d'abord une droite qui se prolonge jusqu'à une certaine vilesse, dépendant de la profondeur d'immersion et de l'écartement des patelles; mais au delà de celte vitesse elle se relève de plus en plus, ce qui indique que celle résistance ne croit plus proportionnellement au carré de la vitesse.

Tous ces faits sont très -importants pour la navigation à vapeur, car ils montrent qu'il est nécessaire d'établir entre les profondeurs d'immersion des palettes, leur écar terrien 1 cl la vitesse dont elles sont animées, des rapports tels que l'eau ait toujours le temps de remplir le vide forme, et que pour chaque roue construite il y a une limite de vilesse de marche, convenable h son meilleur effet,

52!i. Écartement convenable des palettes. — Sans entrer dans plus de détails sur ces effets remarquables, je ine contenterai de dire que la loi de la proportionnalité du second terme de la résistance au carré de la vitesse a été vérifiée jusqu'à des vitesses relatives de i m ,66 à 1™,90, toutes les fois que l'écarlei rient des palettes à la circonférence extérieure de la roue a été compris entre deux et trois fois leur profondeur d'immersion. Cette proportion est d'ailleurs conforme à la pratique ordinaire.

323. Valeur du coefficient K, du second terme de la résistance.— En ayant égard aux circonslances que nous venons d'indiquer cl en renfermant par conséquent l'application de la loi de la résistance enlre les limites où elle a pu être vérifiée, nous rapporterons ici les résultais relatifs aux expériences dans lesquelles la vilesse de la roue et l'écartelement des paielles permellaien t la renlrée complète de l'eau.

Les valeurs du coefficient K, fournies par ces expériences, sont les suivantes ;

RESISTANCE DES FLUIDES. 3fl3

Valeur» du cocflirienl JE, de la formule R = A [A,'-)-A,P].

deX,.

Roue de l m fll ditmïlre.

Grande roue de 3-.6IÎ.

i fit. id. Id

11)1, Si

HMo

III id. de 0,60 iur 0,30

i id. id. )d

S patelles do 0-,70 immergée», j 0,MI

La moyenne générale ne diffère au plus que de ^ des résultais partiels, et l'on voit que toutes les fois que l'écartcment des palettes sera renfermé dans les limites indiquées, l'effet que les roues à palettes planes exercent sur l'axe pourra être représenté par la formule

R=AtO,934 + U2,laVj

A étant la moyenne des surfaces de palettes simultanément immergées au repos.

V la vitesse absolue de la roue.

524. Cas où la roue marche dam une eau courante. — La roue qui avait servi aux expériences précédentes ayant été transportée su# un petit canal en bois de l m ,15 de largeur sur 0",60 profondeur, on a procédé de la même manière potaRdatminer, dans ce cas, les lois de la résistance.

Sans efitf'er^ms de nouveaux détails, je me contenterai de dire que len ésullals de ces nouvelles expériences sont aussi représMés, avec une exactitude suffisante pour la pratique, même formule, en ajoutant a V ou en en

39i RÉSISTANCE DES FLUIDES.

retranchant la vitesse !■ i!n courant : de sorte que l'expression générale de l'effort exercé sur l'eau stagnante ou courante, par les aubes d'une roue a palettes planes, serait

It = A |0",934 + 109,20(V±ti; ! i , . en prenant pour coefficient du second terme le nombre qui convient le mieux a l'ensemble des expériences.

32iî. Influence de la présence d'un bateau près de» roues. — Les expériences dont il vient d'être question ont été faites sur des roues isolées dans le liquide sur lequel elles agissaient, et il était bon de reconnaître si la présence d'un bateau près de la roue pouvait exercer quelque influence sur l'intensité et la loi de la résisLancc.

A cet effet l'on a placé près de la roue, à O m ,Of de distance, parallèlement au plan vertical extérieur des aubes de la roue de 2 m ,6l2 de diamètre, un hateau immergé d'une quantité égale a celle dont les aubes plongeaient dans le li quide, cl l'on a fait deux séries d'expériences, aux profondeurs d'immersion de 0-,A0i et 0-,25ti, pour en comparer les résultats à ceux des séries faites dans le cas où la roue était isolée et on ses palettes étaient immergées de 0",404 et de 0 m ,286.

Les résultats de ces expériencessemhlcnl montrer que, par suite de l'obslaclc que la présence du bateau oppose au retour de l'eau dans le vide formé parlcspaleltcs, la résistance diminue un peu, mais d'une quantité si faible qu'elle rentre dans les limites des erreurs d'observation. En effet, ou a trouvé :

A ta profondeur tl

A la profondeur d'immersion de i)-,SB6 sans haleau K,= 176,00 — de o ,156 aveebaleauj K,= 113,38

L'on voit donc que la formule précédente îéduite de l'ensemble des expériences peut encore s'appliquèfcau cas où la roue est placée sur le flanc d'un bateau à vapeM

RÉSISTANCE DES FLUIDES

Application uvx raves dis bnteaux à vapeur. — l.a formule de la résistance éprouvée et de l'effet transmis par les aubes d'une roue qui tourne dans l'eau , étant

R=K,Ài;*=l!2,15Àl", quand l'axede celte roui'ii'aaiii/un mouvement de translation, il est clair que si cet axe est pnrti 1 sur mi ]>;itcau à-vapeur qui avance avec une vitesse V, les aubes ne choqueront le liquide qu'avec la vitesse IJ — V, et que ilansce cas la formule qui exprimera cetle résistance, éprouvée par les aubes, sera

R = K,À(U— V)« dans une eau tranquille, el qu'enfin si le bateau qui porte la roue remonte ou descend un courant animé d'une vitesse c, l'expression de la résistance deviendra

R=K 1 À(U—V — vf â la remonte et R = K, A (U — V + vf h la descente.

Si nous examinons en particulier le cas de la navigation en eau tranquille, le travail de cette résistance, ou celui qui sera produit par la machine que fera mouvoir la roue en 1", sera RU^K.AfU— V*}D k -,

et si on l'exprime en chevaux de 75 kilogrammèlres, Is force effective du moteur sera

RU „ [utu— vyv

L'observation des constructions existantes peut permettre de reconnaître si la valeur du coefficient K„ que l'on déduit des expériences que l'on vient de rapporter, s'accorde avec les faits observés dans la navigation.

En effel, l'un a pour chaque bâtiment les dimensions des roues et des aubes , le numhre de celles-ci , d'où l'on peut déduire la surface immergée des palettes; l'observation donne la vitesse U des aubes, qu'a cause de leur peu de hauteur pur rapport au rayon des roues, l'on peut regarder comme le point

RESISTANCE DES FLUIDES

d'application de la résistance, ainsi que la vilesse V de marche du bateau, el si l'on introduit ta valeur île K, = 1 12,15, déduite de nos expériences, la formule ci-dessus doit donner la force effective de la machine, telle que l'obsemtlon l'a fournie.

Les expériences directes faites par le halage sur point fine, en donnant l'effort exercé et transmis par les aubes pour faire avancer le bateau, permettent de vérifier directement la formule

R^lI2,15ALi*,

en y introduisant les doiiiii'vs piirliadiéivs ;'i chaque cas.

Eu faisant celte comparaison pour tes bâtiments le Spliitia; le Mentor de 160 chevaux de force nominale, la ilt/lee et In Véloee de 2Î0 chevaux , pour lesquels les dimensions el les diverses vitesses sont données par M, Campaignac dans son ouvrage sur la navigation à vapeur, on a les données et les résultats suivants :

im MUmsais,

dechicunc

ijr

Spkfex

KïBior

Mêdfi.

neK, =

L'on remarquera que la valeur de l'aire totale simultanément immergée des palettes, n été déterminée pnr des tracés, el en supposant l'aube verticale entièrement plongée, un peu au-dessous du niveau, mais prohablement moins qu'elle

RÉSISTANCE DES FLUIDES. 397

ne l'esl en réalité , de sorte que les valeurs ilu coefficient K, sont sans doute plus grandes qu'elles ne devraient l'être. Il n'est donc pas élonnanl que la moyenne de ces valeurs surpasse celle que nous avons déduite de nos expériences directes.

5!t7. De la résistance de l'air. — Les phénomènes qui se produisent dans l'air lorsque des corps se meuvent dans ce milieu, sont tout à fait analogues à ceux que présentent les liquides, et la résislance qu'il oppose an mouvement de ers corps est du même genre. Cependant il convient de distinguer ce qui se passe dans le mouvement uniforme, de ce qui a lieu dan? le mouvement varié.

Dans le premier cas, la vitesse restant la mime, les molécules fluides, sinressiieiiieiiUléMées parle corps, éprouvent les mêmes déplacements, reçoivent les mêmes vitesses, et dans les différents instants de son mouvement, le corps éprouve In même résistance. Mais dans le mouvement varié, accéléré par exemple, les molécules fluides reçoivent des degrés de vitesse de plus en plus grands, et comme elles appartiennent à un lluide élastique, la proue fluide qui se forme en avant du corps acquiert une densité, et par suite une masse qui va sans cesse en croissant, d'où il résulte que la masse déplacée augmente en même temps que la vitesse qui lui est communiquée. On conçoit donc à priori que plus

l'accélération - du mouvement sera grande, plus la résistance croîtra , et dès lors on peut prévoir que dans le mouvement accéléré, l'expression de la ivr-islanct: de l'air doit pouvoir comprendre, outre les termes ordinaires, un terme particulier dù à l'accélération même du mouvement. C'est du reste ce que des expériences faites à Melï en 1836, ont pour la première fois mis en évidence, comme on le verra plus loin.

SBtî. Résultais de l'expérience. Le célèbre Borda a fait en 1763 des expériences sur les lois de la résistance de l'air, au moyen d'une espèce de volant à ailettes, dont l'axe était

RÉSISTANCE DES FLUIDES

vertical cl dont les bras horizontaux avaient un pou plus rie 5 m ,l8 de longueur. A l'extrémité de ces bras, il fixait les surfaces et les corps de diverses formes sur lesquels il voulait opérer, et il observai) la vitesse uniforme que ce volant prenait sous l'action de différents poids moteurs. 11 a cru pouvoir négliger l'influence des frullcmcnls dans cet appareil, ce qui jette quelque incertitude sur les résultais , car il est difficile d'admettre que quand il s'agit d'une résistance aussi faible, la portion du l'effort moteur qui est nécessaire pour vaincre les frottements, ne soil pas comparante à celle qui surmonte la résistance de l'air.

Borda a successivement placé aux extrémités du bras de son appareil des surfaces carrées de 0, de tï et de 4 pouces de côté, cl les a fait mouvoir par des poids de 8, de i, de 2 livres, d'une livre el d'une demi-livre, et par conséquent à des vitesses différentes. D'après les dimensions el les données relatives à son appareil , l'auteur a calculé les résistances de l'air correspondant aux différentes vitesses, el les résullats, exprimés en mesures métriques, sont résumés dans le tableau suivant :

Résultats des expériences de Borda sur la résistance de l'air.

RESISTANCE DES FLUIDES

Si l'on représente ces résultais graphiquement, en prenant les résistances pour abscisses, et les carrés des vitesses pour ordonnées, on trouve que Ions les points relatifs à une même surface, sont situés sur une ligne droile, ce qui indique que la résistance croit comme le carré de ta vitesse . La peu d'étendue des surfaces employées par l'auteur n'a pas pu manifestai- d'une manière certaine l'existence d'un terme constant, dans l'expression de la résistance.

En comparant ces résultats avec la formule R=jKiAV, on trouve pour K, les valeurs suivantes :

Carré de 9 pouces ou de 0-.243 de coté, K, = o, 1050 ; Carré de 6 pouces ou de 0",1G2, Ki = 0,0055;

Carré de A pouces ou de fl-,108, K, = 0,0807;

11 est à remarquer que Borda ajant négligé l'influence du frottement, qui croissait avec la résistance et avec les poids mtik-ui's ciiipkijés, la itmiiimUiiï] apparente i!e ia résistance pour les plus petites surfaces peut tenir à celte circon-

320. Expériences de M. Thibault, sur les corps en mouvement dans l'air. — L'on doit h cet officier , que ta marine a perdu trop loi, des expériences nombreuses ei très-bien faites, publiées à Brest en 1823.

M. Thibault a employé pour ses expériences un volanl à deux ailettes, tournant autour d'un axe horizontal, et mû par un poids qui lui imprimait un mouvement, que la résislanee même île l'air rendait bientôt uniforme. Ile volant For t léger élail composé d'un axe en acier de0"°,65 de long sur 0 m ,005 d'équarrissage, terminé parties tourillons de 0™, 0025 de diamètre. Les bras du volant étaient formés chacun par une verge en fer de 2-,"3G de longueur, de 0™,014 de largeur dans le sens du mouvement près de l'axe, et de 0",005 aux extrémités, sur une épaisseur constante de O",00<5 dans ta sens parallèle h l'axe. Le eùlé des brus qui frappait l'air était taillé eu biseau.

RÉSISTANCE DES FLUIDES

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RESISTANCE DKS FLUIDES. 41)1

Les ailettes étaient montées sur les bras du volant, rl dirigées d'abord dans des plans |riris;itil |iar l'axe, puis au moyeu de dispositions convenables, elles pouvaient être inclinées, 1" en les faisant tourner autour du rayon ; 2" on les faisant tourner autour d'une parallèle a l'axe, de façon que leur direction laissât l'axe en avant ou le laissai eu arrière.

Les inclinaisons ainsi obtenues on! varié de 5 en 5 degrés cl ont été mesurées avec soin. Le mouvement du volant étant produit dans tous les eas, par le même poids moteur de 4 kil , on observait la durée de 20 tours faits d'un mouvement uniforme.

J'ai discuté el calculé les résultats des expériences de M. Thibault, en y appliquant la formule

R = K,'À + K 1 ÀV\

qui représente, comme on le verra plus loin, tous les résultats des expériences qui oui été faites à Metz. En y donnant au coefficient K,' relatif à la résistance constante, indépendante de la vitesse, la valeur K,' = 0,0434, fournie par nos expériences sur une roue ù ailettes, nous avons pu en déduire la valeur du coefficient K, dépendant de la vitesse. On a de plus lenu compte de l'inclinaison de la surface des ailettes sur le sens du mouvement, en introduisant dans le second leimedela formule, au lieu de l'aire A=0"^,10304l sa projcclion sur un plan perpendiculaire au sens du mouvement.

Le (ableau de lu page précédente contient les données des expériences de M. Thibault cl les résultats des calculs. Les chiffres consignés dans ce tableau montrent que la résistance par mètre carré de surface projetée perpendiculairement au sens du mouvement, et par mètre de vitesse, ou la valeur du coefficient Ki de la formule ll = K,AV*

ne décroît pas tant que l'angle d'inclinaison n'est pas audessous de 50 à 60*.

4Ui ItËSISTANCË DES FLUIDES.

530. Observation relative tmx régulateurs à ailettes et aux moulins à vent. — 11 en résulte que, dans les volants .1 ailelles employés coinme régulateurs du mouvement, on les ailellcs s'inclinent, tournent autour du rayon du volant, quand ta puissance mntricc est trop foihie, l'on n'obtient une diminution de résistance qu'après que les ailettes ont dépasse l'inclinaison de 50 a 60°, el comme ces appareils régulateurs doivent servir aussi a empêcher l'accélération du mouvement quand lu puissance motrice augmente, cl doivent par conséquent alors offrir plus de résistance, il conviendrait qu'à l'étal normal ces ailettes lissent un angle de 35 degrés environ avec le plan perpendiculaire au sens du mouvement.

Il ru; me parait pas ii]i[iii~silili' qui' quelque chose d'analogue se produise dans les moulins h vent dont les ailes, par quelque mécanisme spécial, s'inclinent quand le vent acquiert Irop d'intensité. L'expérience montre, en effet, que celle disposilinn, qui a pour but d'empêcher la vitesse de s'accélérer beaucoup par l'effet des bourrasques, ne remplit pas loulà fait son but, et que tel moulin dont la vitesse normale est de 5 !i 6 tours en 1 minute par une bonne brise de 5 à 6 mètics de vitesse en 1 seconde, attciut celle de 29 à 30 tours et plus par les grands vents.

351. Expériences sur des surfaces de diverses formes. — M. Thibault a successivement répélé les mêmes expériences avec des surfaces concaves cylindriques ; il est arrivé à la même conséquence, et il a constaté qu'a égalité de projection de la surface, sur un plau perpendiculaire nu sens du mouvement, la résistance croit avec In courbure, mais

Quant aux surfaces creuses, à double courbure, telles que celles qui sont formées par des toiles fixées aux quatre côtés d'un cadre, la résistance croit aussi avec la courbure et plus rapidement que dans le cas précédent.

tài comparant la rés ; stance de deux surfaces de tuile envergures, de 0^,1080 de surface chacune, dont le côté in-

RÉSISTANCE DES FLUIDES

rérieur pouvait se rapprocher du côté supérieur, comme cela arrive pour les voiles sous l'action du venl, à lo résistance offerte par deux plans de même surface que lu voile développée, l'auteur a trouvé que la résistance de la surface enverguée était la même que celle de la surface plane, malgré la diminution île la projection de lu première surface sur la direction du mouvement. Use fait ainsi une compensation cnlre l'augmentation de ta résistance duc a la courbure el la diminution duc au rétrécissement de la surface projetée.

Cette conséquence est importante en ce qu'elle facilite beaucoup les applications relatives h l'action du vent sur la voilure des bâtiments.

532. Influence de l'inclinaison des ailettes. — L'auteur a reconnu que quand les ailettes sont inclinées de manière que l'axe de rotation se trouve en avant de leur plan, par rapport au sens du mouvement (flg. la repîg. ai. si s tan ce diminue rapidement h. me-

sure que l'inclinaison augmente, et qu'à l'inclinaison de 55° elle n'est guère que 0,5715 de la résistance perpendiculaire, tandis que quand l'axe de q rotation se trouve en arriére du plan des ailettes, la résistance va en augmentant jusque vers l'angle de 55° (flg. 95), pour lequel elle esl égale à 1,2293 fois la résistance perpendiculaire.

Ces résultats montrent que ce mode d'inclinaison dei patelles des volanls régulateurs se prèle beaucoup mieux au

but que l'on se propose, puisqu'on les disposant de façon que les ailetles puissent s'incliner a volonté, dans un

fis. m. sens ou dans l'autre (flg. 96), la résis-

tance qu'éprouvera le volant sera rendue, selon le besoin, plus îaible ou plus grande.

Les mêmes expériences, répétées sur des surfaces courbes,

{04 INSISTANCE DES FLUIDES

inclinées ù divers degrés , ont conduit à des conséquences semblables en indiquant un excès encore plus considérable dnns l'intensité de la résistance, pour ces surraces que pour les surfaces planes. Cela explique les avantages que la marine tire des mouvements de rotation imprimés aux voiles, parallèlement h l'axe des mâts.

333. Influence du rapprochement des surfaces exposées à la résistance de l'air. — M. Thibault a fait aussi quelque expériences pour rcconnatlre si deux surfaces égales, placées l'une derrière l'autre, a une assez faible distance, éprouvaient une résistance totale moins grande que si ces surfaces étaient isolées. A cet effet, il a monté sur son volant qualre ailetles placées deux à deux, l'une derrière l'autre, il une distance qu'il n'indique pas, et il a reconnu que, sur le cas où il opérait, la résistance de la surface postérieure n*ét;iil guère que les 5 de celle de la surface antérieure. Ce résultai, qui peut s'appliquer aux trains de wagons de chemins de fer, est important , et il serait fort à désirer que des expériences plus complètes fussent faites a ce sujet.

334. Influence de la forme des surfaces. — Le même expérimentateur ayant placé aux extrémités de son volant diverses surfaces de même étendue, mais dont deux étaient carrées, deux circulaires et deux en forme de triangle rectangle, de façon que leur centre de ligure fù( dans tous les cas à la même distance de l'axe, il a reconnu que sous J'aclion d'un même poids moteur le volant prenait, dans tous les cas, la même vitesse, ce qui montre que la résistance esl indépendante de la forme des surfaces planes expérimentées.

35S. Résistance de l'air au mouvement des corps sphériques. — Ce cas particulier, qui intéresse spécialement l'étude du mouvement des projectiles dans l'air, a depuis longtemps appelé l'attention des physiciens et des géomètres. Newton le premier a fait à ce sujet des expériences, en observant la chute des corps sphériques. Hulton et d'autres observateurs

RÉSISTANCE DES FLUIDES

01 ■ t {• luilié cette résistance dans lu cas dis petites vitesses, à l'aide d'un appareil à rotation; cl plus tard ce dernier, eu comparant les vitesses des projectiles, à diverses distances de la bouche a feu, à l'aide du pendule balistique, a étendu ses recherches nui grandes vitesses. Enfin, dans ces dernières années, il a été exécuté à Metz de nombreuses expériences sur cette dernière partie de la question.

.Nous nous bornerons ici a indiquer les résultais plus spécialement applicables aux questions industrielles.

De l'ensemble des expériences de Newton, sur la chute des globes de verre dans l'air, à des vitesses comprises entre 0 et 9*,00 par seconde h la température moyenne de 12" et a la pression de 0",75, la valeur du coefficient Ki est d'environ 0,0375, de sorte que la résistance éprouvée par les sphères mues dans l'air, à des vitesses comprises dans ces limites, serai!