POUR LA RECHERCHE DES LOIS DES PHÉNOMÈNES DE FLEXION ET

DE RUPTURE. — Lcs dcux CBS Quc 1*011 vicnt d'examiner sont ceux qui se prêtent le mieux aux recherches expérimentales et sur lesquels il en a été fait le plus grand nombre. Nous avons déjà indiqué (n" 190 et suivants) plusieurs des principaux résultats obtenus par divers expérimentateurs ; nous aurons plus tard Toccasion d'en rapporter d'autres.

Nous nous bornerons à faire remarquer ici que c'est principalement par des observations faites sur un corps posé sur deux points d'appui, et chargé en son milieu, que l'on peut reconnaître et que Ton a reconnu les lois physigues des phénomènes de la flexion et de la rupture des corps solides sous l'action des efforts extérieurs.

263. Solide prismatique ou cylindrique posé librement SUR deux appuis, et chargé d'un poids 2 P en un point distant DES APPUIS des quantités V ET ï\ — Appelant toujours 2 G la distance des appuis, on a

et en nommant F et F les pressions exercées sur les points d'appui A et B (pi. III, fig. 28), on aura d'abord, pour déterminer ces pressions, qui sont les composantes de la charge 2P en ces points,

Fx2C = 2Pr et Fx2C = 2Pr,

Pr PI'

d'où ^'=W ®* ^' = ï*

Si maintenant on considère une section quelconque IK du solide, située entre le point d'appui A et le point d'application M de la charge, à la distance X de l'autre point d'appui B, et si Ton cherche la relation d'équilibre à établir entre les forces extérieures qui agissent à droite de la section IK et les résistances moléculaires, on aura, en appliquant la règle générale des n«* 212 et suivants, et en remplaçant /' par sa valeur /' = 2 G — r,

FT m PF

La courbure - sera nulle ou le rayon de courbure infini pour

X = iC, ou au point A; elle aura sa plus grande valeur pour la plus petite.de X, c'est-à-dire pour X=r; ainsi la section dangereuse sera au point même d'application delà force 2P.

Pour une section quelconque FR' comprise entre le point d'application M de la charge 2P et le point d'appui B, à une distance X' de ce point, la relation d'équilibre perilaneut sera

Sa plus grande valeur sera relative à X' == l", ce qui conduit à la relation

Ei Ri__p(2C— n,,pir

ce qui est la formule de YAide^Mémoire.

964. Cas ou le prisme est en outre -chargé d'un poids UNIFORMÉMENT RÉPARTI. — En appelant toujours p la charge par mètre courant, on aura d'abord

P'X2C = 2Pri|-2pG» et P"X2C=2Pr-f2pC»,

d'où l'on tire

T..apr-f-2p(? . ^2Pr+2j>c«

On en déduit ensuite, pour la section IK située entre A et M,

^=:^=PTt— 2P{X— 0 — ipX*

= 2gj(2G-X)+épX(2G-X);

et pour une section quelconque FR' située entre le point d'application M de la cbarge 2 P et le point d'appui B, à une distance X' du point A, la relation d'équilibre permanent sera

^= 5}=F'X'-ipX'« =X'[^+ip(2C-X')].

BÉS. DE8 M. I. 19

21K) TRÛISIÂUE PARTIE.

Si dans la première expression on fait X= 20, on a

El ^

ce qui indique que la courbure est nulle en A, ou le rayon de courbure infini, et le maximum correspond évidemment à X = Py ce gui donne

2G— X=2C— r— ^ et réduit l'expression à

En effet, le premier terme de Texpression ci-dessus,

atteint évidemment son maximum pour la, plus petite valeur X==r de la distance de la section IK au point B; et quant au second, si l'on trace le cercle dont le diamètre est AB = 2C, on voit que le facteur X(2G— X), égal au carré de l'ordonnée de ce cercle, croit à mesure que X diminue, depuis X=i 2 G, et atteint sa valeur maximum pour X=G, c'est-à-dire au delà du point M.

Ainsi, dans cette branche AM du solide JSéchi, le maximum de courbure est en M.

Quant à l'autre branche MB, la courbure est encore nulle en

B, où X' = 0 ; et pour le maximum , on voit que le premier

2Pr terme du second membre, -^ttX', atteint le sien pour X'=r,

mais que le second terme, {p{2C — X^X, atteint, comme on l'a vu ci-dessus, le sien pour X'=G; par conséquent, le maximum de leur somme doit être entre le point M et le milieu delà pièce ou de la portée, et c'est là le point dangereux.

Si l'on tenait à déterminer la position de ce point de courbure maximum, on y parviendrait en calculant diverses Taleurs du second membre correspondant à des valeurs de X, décroissantes depuis X = r. On prendrait les valeurs de X pour abscisses d'une courbe dont les ordonnées seraient les valeurs du

-ûP +iP(2G— XOI, et Ton multiplierait

assez ces valeurs pour atteindre et dépasser le maximum qui correspondra au point le plus élevé de la courbe, que Ton déterminera ensuite facilement, ainsi que son abscisse, par la méthode que nous avons indiquée, dans la première partie du cours^ pour déterminer le point de contact d'une tangente paraDèle à une droite donnée.

268. Prisme posé sur deux appuis et chargé de poms dis- TRDnj^ d'une manière quelconque. — Supposons (pi. m , fig. 29) un solide prismatique ou cylindrique posé sur deux appuis et soumis à l'action de poids :

Pi> Pi» Pj» P4, Ps> Pe>

situés à des distances

du point d'appui A , et à des distances

r/ W Vf /// w w

du point d'appui B ; en suivant, comme dans les numéros précédents, le mode simple de discussion adopté par H. Poncelet, on voit que les pressions F et P^ exercées sur les points d'appui A et B seront respectivement, d'après la théorie des forces parallèles,

^, P/i + P/^,+P/^8 + etc, . . .

et

r ZTTx 9

et l'on aura ensuite, pour la condition d'équilibre relative à une section IK placée entre deux points Ai et A,, par exemple, à une distance X du point d'appui B,

5î=5=P''x-Pa(x-r,)-p»(x-ro-P.(x-i'«)-etc

T if

ou

?î=^=(P'— P5-P*-P6-etc.)X+P/8+P/4+P.^". + etc. r if

Or le second membre, et par conséquent la courbure, crottra avec X, si Ton a

P''>Ps+P»+P. + etc.,

et la plus grande courbure aura lieu en Fun des points A] ou As, suivant les cas.

La plus grande courbure appartiendra donc à l'un des points d'application, et la section dangereuse sera celle pour laquelle le second membre de cette relation sera un maximum, ce qu'il sera toujours facile de reconnaître.

Si, par exemple, on trouve que c'est pour le point A« que ce second membre a sa plus grande valeur, on fera X=^Ct, et l'on aura pour la relation d'équilibre :

lî = ^ = (P"P,p,p.-etc.)r',+PA+P.r.+ etc. . . ,

et par suite on connaîtra la valeur de -7 qu'il faudra adopter pour la stabilité de la construction.

260. Cas ou les forces se réduisent a deux forces égales AGISSANT A DES DISTANCES DJ^S APPUIS RESPECTIVEMENT ÉGA- LES entre elles. — Dans ce cas (pi. III, fig. 30), si l'on appelle P la charge en chacun des points situés à la distance l des appuis, la charge totale est 2P, et les pressions P' et F sur ces appuis sont :

On en déduit ensuite, pour l'équilibre dans une section quelconque IK située à la distance X du point B,