DÉTERMINATION DES FLÈCHES DE COURBURE. — Il ne

suffit pas, dans beaucoup de cas, de régler les charges ou les

dimensions des corps de manière qu'ils n'éprouvent pas d'altération permanente dans leur élasticité ; mais il importe, en outre, de connaître et de renfermer les flexions qu'ils peuvent prendre dans les limites convenables pour le service qu'on en attend.

Si l'on se rappelle que, dans les constructions, les flexions éprouvées par les corps sont et doivent être toujours très-faibles, on pourra les calculer à l'aide des considérations suivantes, empruntées à M. Poncelet.

Soit Cb (pi. lY, fig. 4) la tangente en un point quelconque G de la courbe élastique, et G'6' celle qui correspond au point infiniment voisin C. Soit AB' la longueur de la pièce supposée droite ayant sa flexion, et traçons la développante B'bb'B de l'élastique. Les tangentes Cb et C'b'^ limitées à cette courbe, seront respectivement égales en longueur aux arcs CB et CB de l'élastique. Lorsque le corps sera parvenu à la position ABC , sa flexion totale sera mesurée par BD', et quand son extrémité passera de la position 2? à la position infiniment voisine b\ la flexion élémentaire ou le chemin parcouru dans le sens de l'efibrt vertical P sera mesuré parla projection 6'a de l'arc bb' sur la verticale. Or, cet arc élémentaire bb' de développante peut être regardé comme un arc de cercle décrit du centre G avec le rayon Cb , et égal à S X 0, en nommant S l'arc GB de l'élastique , et o l'angle des deux tangentes consécutives Cb et C'b\ ou l'arc de rayon égal à l'unité qui le mesure ; et comme l'arc élémentaire de l'élastique

& GG' ou s=rOy on a bb'=—.

D'une autre part, la projection CD de l'arc GB sur l'horizontale menée par le point G est le bras de levier de la force extérieure P, et la projection GE, de l'arc GG' sur la même horizontale, est la variation élémentaire x de Ce bras de levier.

Cela posé, la figure montre que le triangle rectangle GCE et le triangle àbV sont semblables, ce qui conduit à la proportion

ce ou s: CE ou a?:: 66' ou - :a6';

d'où a6'=y = ^'.SXa?,

El i cause de ^r^W

FLEnON. 309

Dans le cas où les flexions sont très^aibles, ainsi que cela est nécessaire dans presque toutes les constructions, Tare total S de Tëlastique diffère très-peu de sa projection horizontale X, et rexpression ci-dèssus revient à

ab' = ^X^x.

Telle est l'expression de la flèche élémentaire de courbure pour une flexion angulaire inflniment petite. La somme de toutes les quantités semblables donnera la flèche totale BD' que nous appellerons /*.

Or, si l'on considère X comme l'ordonnée d'une ligne inclinée à 45^ (pi. lY, fig. 5) sur l'axe des abscisses, il est facile de Toir que Xx sera l'aire d'une tranche élémentaire, comprise entre deux ordonnées distantes de a;, et le produit Xa?.X=X'x ne sera lui-même autre chose que le moment de cette aire par rapport au sommet du triangle, ou par rapport à une ligne parallèle à la tranche, menée par le sommet. Donc, la somme de tous les produits semblables sera égale à la surface du triangle |X', multipliée par la distance |X de son centre de graiité au sommet, et, par conséquent, égale à ^X*. Donc

enfin, la flèche de courbure totale, prise pour la portion du

p solide BG, sera f:=^lX\ et si on la prend pour la longueur

totale à partirde la section d'encastrement, pour laquelle on fera X égal à G ou à la longueur du corps avant la flexion, an lieu de prendre sa projection après la flexion , ce qui compensera à peu près Terreur provenant de la substitution précédente de X à S , eUe sera donnée par la formule

Cette formule montre que, d'après les considérations théoriques précédentes, la flèche de courJMire d'un solide prismatique ou cylindrique encastré par l'une de ses extrémités , et

310 TROISlàllS PAims.

sollicitée à Tatitre perpenéicnlairement à sa longaeur par un effort P, est :

^ 1° Proportionnelle à P ;

S"" Proportionnelle au cube du bras de levier de cet effort;

a*' En raison inverse de la valeur du coefficient E d'élasticité ;

4<* En raison inverse du moment d'inertie de la section transversale du solide.

879. Cas particulier ou la section du solide est un rectangle DONT LA LARGÇUR EST (ï, ET DONT L*ÉPAISSEUR, DANS LE

SENS DE l'effort P, EST 6. — On a VU (n^ 285) que, dans ce cas, Ton avait l=^-^aV. On en déduit

Ce qui montre que les flexions des solides de cette forme croissent en raison inverse du cube de Fépaisseur 6, et indique tout l'avantage que Ton trouve & augmenter cette dimension, en laissant du reste la même valeur à Faire ab de la section, et, par suite, au volume de matière employé.

S80. Comparaison des flexions de deux solides de SEcnœts rectangulaires différentes. — Si nous appliquons la formule

4P C* /= Y • "^ ^ ^^ ^^^® solide de section analogue , mais de dimensions différentes a! et b', on aura

de sorte que les flexions de ces deux solides seront entre elles

dans le rapport

f oTb^

et pour qu'elles soient égales, il faudra que l'on ait

a'6'»=a6» ou ^ = 5,

ce qm signifie que » pouf que deux solides encastrés» de même longueur, premient la même flexion ïous un m6me effort, il foui que leurs largeurs horizontales soient en raison inverse des cubes de leurs épaisseurs.

281. Formules pratiques.— 'En introduisant dans la formule Chdessus les valeurs du coefficient d'élasticité E données au tableau du n** i08 pour les différents matériaux, on trouve pour les formules pratiques qui donnent la flexion d'un solide encastré par Tune de ses extrémités» et soumis à l'autre à un eSbrt P, agissant perpendiculairement à sa longueur :

pour la fonte

le fer

le bois de chêne

Tacier fondu

SOOOOOOOOOo»*'

5 000 000 OOOo^'

800 000 000 ai» '

7600 000 OOOot»'

l'ader d'Allemagne r= ^ ^^^ ooo OOO ai»

{formules qui sont celles du n^" 464 de la 4« édition de Y Aide- Mémoire).

289. Soudes CTimDRiQUEs a section circulaire.— * Dans ce cas Ton a 1= 0.0491 D*, et la formule f^h^ devient

En introduisant dans cette formule les valeurs du coefflcient

d'élasticité E , données au tableau du n* 108, on trouve que les formules pratiques sont :

pour la fonte f=

le bois /"=

(formules qui sont celles de YAide-Mémoirôy n» 467, 4* édit.)-

S83. ExTEfïSION DES CONSméRÂTIONS PRÉCÉDENTES AU CAS GÉ-

Sx NÉRAL. — Ou doit remarquer que la relation ab' = — n'est

qu'une conséquence géométrique de la flexion , du changement de forme des corps, et que, dans cette expression. Sa; est tout à fait indépendant de la position de laYorce ou des forces qui produisent cette flexion ; la quantité r ou le rayon de courbure en chaque point dépend seul de ces forces , et 1 on sait que l'on a pour toutes les positions d'équilibre , entre toutes les résistances moléculaires et les forces extérieures , la relation gé* nérale :

y=Pp+Qg+elc.... d'oùl'ontire i=^±^^^.

Donc si le corps est sollicité par des forces quelconques P, Q, etc. , agissant avec des bras de levier p, g, etc., par rapport à la section que l'on considère, on aura, d'après ce que l'on a dit au n"" 275 , pour la valeur de r :

Pp+Q^+etc...' ce qui donnera

Pp+Og+elç^

El '

et pour une flexion très-petite, attendu que S=X à très-peu près,

D*après la direction et la position des forces P, Q , etc. , on pourra exprimer leurs bras de levier en fonction de X, et alors la géométrie donnera, comme pour le cas simple que l'on Vient de traiter, la valeur de la somiye des flexions élémentaires analogues à ab'y ou la flèche totale.

S84. Observation relative aux soudes d'égale résistance. — On a vu ail n"" 870 que les solides d'égale résistance étaient

ceux pour lesquels le quotient -7^ était constant, et que quand,

par exemple , leur section transversale était rectangulaire, cette condition revenait à donner au profil longitudinal une forme telle que y dans chaque section transversale, on eût toujours

Dans ce cas, le moment d'inertie d'une section quelconque de largeur a et de hauteur y est -^ay^, et l'expression de la flexion élémentaire devient :

Or on a :

^=^X; d'où »=±^ .. ^/^=J^W■. ce qui donné :

liais si Ton pose X=:Z*, on en déduit facilement pour la variation élémentaire rc de X, la valeur x=^Zg^ attendu que Z' étant la surface d'un carré dont le côté est Z, il est facile de voir que si ce cOté augmente de la quantité inflniment petite z^ la surface du carré augmentera de deux rectangles égaux dont les c6tés seront respectivement égaux à Z et à z, et la surface égale

314 TROiisiin PIRTIE.

à ZZf plus un petit carré Ji* négligeable, attendu que sa base et sa hauteur sont deux quantités infiniment petites. Donc la ^* riation du carré Z? ou celle de X est â?s= ^Zz.

Au moyen de cette transformation , la valeur de la flexicm élémentaire du solide devient donc :

Et la flexion totale étant la sofiime de toutes les flexions élémentaires semblables, on aura, diaprés ce que l'on a vu précédemment, en supposant que Ton prenne la flexion depuis la section encastrée :

(7est<^-dire le double de la flexion que prendrait, sous le même efi'ort et à la même longueur, un prisme de même largeur, mais d'épaisseur uniforme à partir de l'encastrement.

Cette propriété des solides d'égale résistance de prendre des flexions doiibles de celles des solides prismatiques de même dimension à la partie encastrée , peut être un inconvénient quand on veut que l'extrémité sur laquelle agit la force extérieure P se déplace ou s'abaisse très-peu. Mai^ s'il s'agit de ressorts, et ,en particulier de lames de dynamomètres, elle ofi're l'avantage de permettre de donner à l'instrument une sensibilité double, en lui conservant la même solidité que s'il avait eu partout la même section qu'à l'encastrement.

S85. Vérification de la formule PRÉciDENTE t^AK l'expérience. — L'application de la formule

que j'ai eu occasion de ftiire très-souvent pour la constructimi des lames de dynamomètres, fournit une vérification de l'exactitude de cette formule entre des limites très-étendues. (Yoy. la description des appareils dynamométriques, vr S7 et suiv. des Notions fondamentales.)

If abord la tare de ces lames ou l'observation des flexions correspondantes à différentes charges P, montre qne les flexions sont proportionnelles aux charges tant que les flexions ne dépassent pas ^ ou 1^ de la longueur G. De plus , en observant pour différentes Iwies les valeurs simultanées des charges et des flexions, et en les introduisant, ainsi que les dimensions a et b, dans la formule , on a pu en déduire chaque fois la valeur du coefficient £ d'élasticité pour chacune d'elles.

Lorsque les lames coiUparées ont été faites avec la même qualité d'acier, qui* était généralement celle dite acier iAll^magne à trais marques ^ la constance des valeurs de £ a fourni la vérification de l'exactitude de la formule.

Le tableau suivant contient les résultats de l'application que nous Tenons d'indiquer de la formule précédente à des lames d'acier d'Allemagne , ainsi que leurs dimensions et le rapport des flexions aux charges. On y voit que ce rapport et le coefficient d'élasticité sont sensiblement constants , si l'on a égard aux différences assez notables que pourraient y avoir apportées le degré de trempe, de recuit et la qualité même de l'acier.

FORCte

T.ARGEUK des

LONGUEUR

ÉPAISSEUR

g ^ 4 , VALEUR 1