jrenne
Travail coNsomcê pour produire une flexion donnée. — Fendant la flexion , Teffort P nécessaire pour la produire , Tarie avec cette flexion elle-même , d'après ce que Ton vient de
316 TROISIÂHE PARTIE.
voir, et l'on a pour le déterminer à chaque instant , en le dési* gnant par F, la relation :
et si Ton appelle f la variation élémentaire de la flexion ou le chemin parcouru par le point d'application de la force V dans le sens de cette force, le travail qu'ellç développera sera :
Le travail total correspondant à une flexion Fi, à partir de la flexion nulle, sera donc, en le désignant par % :
El
et comme on a d'ailleurs, pour la flexion totale produite par un effort P :
on eà déduit :
Or, si l'effort P était exercé par un poids qui, abandonné à lui-même, fût descendu de la hauteur Fi, la gravité aurait développé sur ce corps une quantité de travail exprimée par :
double de celle qui est due aux résistances moléculaires docorps à la flexion.
Dans cette flexion des corps , puisque les résistances moléculaires ne consomment que la moitié du travail développé par la pesanteur et correspondant à la flexion d'équilibre , il s'ensuit que l'autre moitié de ce travail produit une accélération du mouvement de flexion, et que le corps atteint crtte pomlion d'équilibre avec une force vive par suite de laquelle il la dépasse. Ce mouvemept s'éteint graduellement par une suite d'oscilla-
lions; priais comme il en résulte un accroissement considérable'
de la flexion momentanée , cette observation montre combien ,
dans des cas pareils, il est nécessaire de limiter les charges,
de manière que dans ces oscillations les flexions n'atteignent
pas les limites auxquelles Télasticitë s'altérerait.
5t87. Cas ou le profil transversal des corps n'est pas constant.— Des considérations analogues permettraient de calculer la flexion totale d'un corps , pour lequel la section transversale, et par suite le moment d'inertie 1, varieraient en même temps que la distance X de cette section au point d'encastrement. Les méthodes, connues de quadrature et en particulier ceUe de Th. Simpson permettent de déterminer exactement ou approximativement cette Quantité.
288. Flexion d'un prisme horizontal encastré a l'une de ses extrémités et soumis jl une charge uniformébfent répartie
ET A. UNE CHARGE QUI AGIT A L'aUTRE EXTRÉMITÉ. — DaUS CC COS,
si l'on continue à raisonner comme au n*" 273 et si l'on nomme p la charge par mètre courant, il est clair que la somme des moments des différentes parties de la charge uniformément répar* tie sera la somme des produits pxxX ou pXx , en supposant toujours qu'il ne s'agisse que de petites flexions, ce qui permet de substituer aux arcs élémentaires leurs projections sur la direction primitive du solide; cette somme que nous avons appris à calculer est égale ^ ^pX*.
La relation d'équilibre entre les résistances moléculaires et les forces extérieures pour une section faite en G sera donc :
*'<'* i=-^(PX+ipX').
Sa; Par conséquent la flexion élémentaire àb' = — a pour valeur, en mettant encore pour S sa valeur approximative X ,
318 TROISIÈIIB PARTIE.
et la flexion totale f sera la . somme de toutes ces flexioiis élimentaires. On sait que la somme des produits analogues à ISx depuis X= 0 jusqu'à X =X est ^X*, et il est facile de voir que oeUe des produits X'« entre les mêmes limites est ^X\
En effet, si l'on considère (pi. lY, fig. 6) une pyramide à base carrée dont la hauteur CD soit égale au côté AB de la base, une tranche élémentaire de cette pyramide dont le côté sera X, aura pour Yolume X*a? et le produit X'a? = X"rrX exprimera le moment de cette tranche par rapport à un plan parallèle à la base et passant par le sommet. La somme de tous ces produits on moments sera donc égale au volume de la pyramide |X' mul* tiplié par la distance {X de son centre de gravité au sommet ou à
iX*.ÎX = iX*.
Par conséquent, en remplaçant la projection CD =X du solide par sa longueur totale C (Sg. 5), cela compense à peu près Terreur commise plus haut par la substitution inverse , et Ton trouve pour la flexion totale du solide :
On voit que la charge jpC , uniformément répartie sur la longueur du solide , produit la même augmentation de flexion que si l'on avait accru la charge P de |pG , ou en d'autres termes, sous le rapport de la flexion, une eharge uniformément répartie produit dans le cas actuel la même flexion que les trcis hui^ tièmes de cette charge, placés à l^xtréraité du corps, à la distance G de son point d'encastrement , tandis qu'on a vu au n^" 5147 que, sous le rapport de l'équilibre entre les forces extérieures et les résistances moléculaires, la charge uniformément répartie équivaut à une charge moitié moindre , agissant à l'extréaiité du solide.
989. Cas ou la charge P et la charge uinroRMÉiEEirr répartis AGISSENT EN SENS CONTRAIRES. — Daus cc cas, il est évident que l'on aurait :
riiEIIDM. 319
£l si la charge P avait été réglée comme il est dit au n* S74, de manière que la comrbmre fût nulle à la section d'encastrement, ce qui arrive pour P=|pG, on aurait aicore à Textrémité une flexion égale à
c'est-à-dire égale au ^ de celle que la charge P aurait produite seule.
890. Flexion d'un prisme horizontal posé sur deux points d'appui et charge d*un poids 2P au milieu de la distance 2C
DES appuis et d'une CHARGE UNIFORMÉMENT JIÉPARTIE A RAISON DE p KILOGR. PAR MÈTRE COURANT DE SA LONGUEUR. — LorSqUC
le solide est arrivé à la position d'équilibre, la tangente au point le plus1>as de sa courbure étant horizontale comme à l'origine de sa flexion, la section en ce point peut être considérée comme encastrée. La pression sur chacun des appuis est P +pC, et Ton peut regarder le solide comme soumis d'une part à cette pression agissant de bas en haut , et de l'autre à la charge pC uniformément répartie sur sa longueur et agissant au contraire de haut en bas. Pour appliquer & ce cas la formule précédente , il faut donc remplacer P par P+pCî et observer que la chaîne pG uniformément répartie est dirigée en sens contraire de celle P+pC, qui agit à l'extrémité. D'après cette observation, la flexion totale de ce prisme se calculera par la formule :
r=i ^ (P+pC-t PC)=* ^ (P+IPC),
si la charge onifbmiément répairtie était nulle ou négligeable par rappcMTt à P, on aurait pour la flexion :
Cf
De même» si la charge 2P placée au milieu était nulle ou négligeable par rapport & la charge 2}>G uniformément répartie, la formule se réduirait à
r=ig|-.|pG.
320 TROISliME PARTIE.
Si donc Ton compare, quant à la flexion, l'effet de deux charges dont Tune serait placée au milieu de la longueur du solide et dont Taatre serait uniformément répartie. Ton voit que pour que le môme solide prenne la même flexion sous les deux charges, il Tant que Ton ait
L'on remarquera aussi que la flexion due à l'action simultanée dos deux charges 2P et 2pG est la somme des flexions qui seraient produites par chacune d'elles séparément. «
D*où Ton voit que la charge uniformément répartie équivaut dans ce cas, quant à la flexion, à une charge égale aux | de sa valeui' totale, agissant au milieu de la distance des appuis.
Ou si Ton suppose successivement le corps simplement soumis à Paclion de la charge 2pG uniformément répartie sur sa longueur, auquel cas P = 0 et
puis soumis à l'action de la charge 2pG agissant au milieu de sa longueur, cas où la flexion serait égale à
on voit que la même charge totale 2pC, supportée par un solide librement posé sur deux appuis, produit des 'flexions qui sont dans le rapport de 5 à 8, selon qu'elle est uniformément répartie ou concentrée au milieu de la distance 2C des appuis.
29 i. Moyens de vérification de ces porbiules par l'expérience.— Les formules précédentes permettent de vérifier facilement Texactilude des considérations- théoriques sur les* quelles elles sont hasces, par Tobservation des flexions qu*éprouvent, sous des charges données, des solides de dimensions connues.
En effet, dans le cas le plus facile à expérimenter d'un solide prismatique ou cylindrique, librement posé sur deux appuis.
chargé en son milieu, et en tenant compte de son poids propre, on tire de la formule qui donne la flèche de courbure
E = -|^(P+ipC);
relation dans laquelle la substitution des valeurs simultanées de P, j9. G, I et /* donnera la valeur correspondante du coefficient d'élasticité £. Or, si la comparaison des yaleurs obtenues pour E entre des limites convenables de courbure ou de flexion, pour différentes charges ou différentes portées , montre qu'entre ces limites ces valeurs sont sensiblement constantes, l'on sera en droit de conclure que la formule est exacte et d'accord avec l'expérience dans toute cette étendue.
On peut ainsi faire varier successivement pour un même corps les éléments qui entrent dans la formule qui lie les flexions à ces éléments, et s'assurer si ces flexions suivent effectivement, entre certaines limites, les rapports déduits des considérations théoriques précédentes.
292. VÉRincATiON des formules prjScédentes par les résultats DES expériences DE M. Ch. Dupin. — Si nous nous reportons aux expériences de M. Ch. Dupin, dont nous avons fait connaître au n*" 198 les principaux résultats, nous verrons que ces expériences faites sur des prismes à section rectangulaire, pour lesquels on^aurait, dans le cas d'une charge 2P placée au milieu de la longueur 2G du solide ,
1=^0*» et f=^,
ont complètement vérifié qu'entre les limites où l'élasticité n'est pas altérée, les flexions des bois sont :
1» Proportionnelles aux charges et aux cubes des portées;
2<> En raison inverse de la largeur et du cube de l'épaisseur des pièces.
Quant aux solides soumis à une charge uniformément répartie, le même ingénieur a aussi constaté que la flexion est
vis. DB8 H. I. 21
3SS TROISIÈMB PARTIE.
alors les | de cette qui serait due à une charge ëquÎTalente placée au milieu de la pièce, comme l'indiquent les formules.
L*on verra au n"* 547 une autre vérification de cette conséquence de la théorie obtenue sur des poutres en fer de la forme à double T.
SOS. FoRuuLBS PRATIQUES. — Eu introduisant . daos la formule
les valeurs du moment d'inertie I, correspondant aux diffërentes formes en usage dans les constructions » et celles du coefficient d'élasticité E relatives aux matières employées , l'on arrive aux formules pratiques usuelles qui permettent de calculer approximativement les flexions des solides posés librement sur deux appuis y quand elles ne dépassent pas certaines, limites.
*94. Solides a section rectangulaire. — Ainsi, pour les solides à section rectangulaire de largeur a et d'épaisseur 6, la formule devient :
Puis, en y introduisant pour E sa valeur selon les matières employées, on a pour : •
la fonte- ^=-jmgL,
' 3 000 000 000 aô'*
le fer f^J^±W^
*^^ ^ '""5000000000oy»'
le bois de chêne f= i^"t^^^^^'^ .
' 300 000 000 aV
295. Solides cylindriques. — De même pour les solides cylindriques à section circulaire, pour lesquels on a
FLEXION. 32t
on troave pour :
1» fn«»P f- (P+tPC)^
lAf«. (P+|pC)C»
, V • j UA ^ (P+|pC)C»
\e bois de chêne /•= peXoyooOD* '
Me. Solides cylindriques creux. — Dans ce cas. Ton a (n« 256) 1= 0.0491 (D'*— D"*), en appelant D' et D" les diamètres exlériear et intérieur, et l'on trouve pour formules pratiques :
pour la fonte • f= 1764000 000 (D'*-iy^) ' le ler f — ^ ^^^ ^^^ ^^^ (iy*—D''*)'
le bois de chêne r= i'76400O0O(D-^--D--*)'
L'application aux autres formes ne présenterait aucune difficulté.
297. Soude posé sur plusieurs points d'appui équidistants, et chargé de poids égaux au milieu de chacun des INTERVALLES. — Il cst facilc de comprendre que si Ton considère (pi. IV, 6g. 7) ce qui est relatif à la partie du solide comprise entre deux points d'appui consécutifs B et G, en ayant égard aux charges âP qui agissent à droite et à gauche, la pression sur chacun des appuis B et G sera égale à 2P, et qu'en lui substituant la réaction égale et contraire de l'appui, le solide pourra être considéré comme libre et soumis à deux séries de forces parallèles et égales entre elles.
Il est clair qu'il s'infléchira alternativement en sens contraires sous l'action de ces forces, et qu'entre deux points d'applicafion consécutifs, il y aura dans sa courbure un point d'inflexion où la courbure et l'extension ou la compression des fibf es seront nulles, absolument comme aux extrémités d'un solide posé librement sur deux points d'appui.
324 THOISJÂME PARTIE.
Il en résulte que, quand la position de ces pointa d'inflexion a, h, a' y b' sera connue, on pourra considérer les parties ab, 6a\ a'b\ b'a'\ ... du solide comme indépendantes les unes des autres, et les regarder isolément comme posées librement sur des appuis à chacune de leurs extrémités, et soumises à l'action des forces 2 P qui agissent au milieu de leurs longueurs respectives.
Dans le cas supposé, où les charges sont égales jet agissent au milieu des points d'appui, il est évident que les réactions des appuis étant aussi toutes égales à 2P, tout est symétrique, en dessus et en dessous, entre les deux points d'appui B et C, de sorte que les points d'inflexion se trouvent nécessairement an milieu de la longueur de chacune des deux parties égales Bm'et m'G du solide, celui-ci pouvant être, ainsi qu'on l'a dit plus haut, considéré comme supporté librement en ses points d'inflexion al et b\ et chargé en son milieu du poids 2 P. La distance horizontale des points a! et V est la moitié de la portée 2G entre les appuis B et G , et la condition d'équilibre sera donc
