DU GLISSEMENT

en sens contraires sur les deux moitiés et de leur longueur, mais qui, dans leur milieu , sont sollicités i une sorte de glissement transversal.

579. Mesure nu gussemeitt des faces ou des lignes uaté- RZELLBS LES UNES DETAifT LES AUTRES. — Oo peut facilement se rendre compte du mode de résistance des solides au glissement relatif de kurs parties et définir cehii-cî maHiématiquement.

-rHr

Lorsque deux sections planes transversales voisines ab^cdy d*une pièce solide glissent l'une devant Fautre, Ton voit, soit qu'elles restent planes en devenant a'V y d f ^ soit qu'elles prennent une légère courbure en devenant a" 6", d'ôi^ que tout ou partie des fibres mn qui leur étaient normales sont devenues légèrement obliques , ou que les fibres ont acquis une petite indmaison sur les normales actueDes, aux éléments de section m', fpP qui leur servent de bases.

C'est cette petite inclinaison qui mesure la quantité dont les

sections ont glissé, l'une relativement à Fautre. Si l'on considère , par exemple , une fibre wlti après le glissement dans sa nouvelle position TnVi, et qu'on la projette sur la section a!b\ sa projection Tfim\ sera la mesure du ^glissement , du déplacement qui a eu lieu dans le sens parallèle aux sections; c*est le glissfnnmt absolu; et si on le divise par la longueur mV de la fibre

eonsidéfée» le quotient —rr s^ni k gKss$ment relatif, qui aurait

aussi pour mesure l'unité de longueur comptée sur la normale, puis projetée sur le plan de la section aV.

L'on peut aussi considérer le glissement ou le déplacement de deux fibres parallèles tvlr! et v'i % l'une par rapport à

Tautre dans le sens de leur longueur, et il est visible que sa valeur absolue est mesurée par la projection n'n'i, de la distance m'p^=^n'q\ qui leur était primitivement normale et qui les séparait, sur l'une d'elles. Le glissemefU relatif serait dans ce cas mesuré

par le rapport -7-7.

Ce rapport est aussi la valeur du sinus de Tangle n'gVi, dont a été diminué celui que la ligne n'g' primitivement normale aux fibres faisait avec leur direction.

Enfin les deux rapports — rr et —7-7* étant évidemment égaux,

^^ mn nq o »

les glissements relatifs qu'ils expriment le sont aussi, et il en résulte que le glissement relatif de deux sections ne peut avoir lieu sans qu'il se produise un glissement relatif égal entre les fibres qui leur étaient perpendiculaires et qui se trouvaient dans un même plan de glissement.

S80. La résistance au gussement peut être regardée comme

UNE RÉSISTANCE A UNE DILATATION ET A UNE CONTRACTION SIMUIi- TANÉES, dans deux sens RECTANGULAIRES ENTRE EUX, FAISAIVT UN DEMI- ANGLE DROIT AVEC LES FACES OU LES LIGNES GLISSANTES.

Soient en effet ma la coupe par le plan du glissement d*un élément superficiel d'une section, et nb celle de l'élément correspondant d'une section parallèle et trèsvoisine , élément qui , par suite du glissement, est devenu fii&i. Dans le mouvement, le point b s'est éloigné du point m, et le point n s'est rapproché du point a. Les deux diagonales mb et an du petit rectangle mabn seront donc , la première, dilatée et la seconde contractée. La proportion de la dilatation ou extension de mb est le quotient de bo par m6, 0 étant le pied d'une petite perpendiculaire biO abaissée de bi

DU GUSSEMENT.

sur mb prolongé. Gomme le pelit triariglc obbi est semblable

à amb , Ton a

ob ibbii: maimb,

d'où

ob bbi'>< ma

pour la dilatation relative ou proportionnelle. . Si Ton appelle i cette dilatation proportionnelle, et^ le glissement, d'après ce qui a été dit plus haut g = ~y et nous aurons

. ob bbi X am

ab

abxam mb'*

La fraction qui multiplie g exprime le rapport du double de l'aire du rectangle mabn au carré de sa diagonale, et il est facile de voir par la figure ci-contre que ce rapport sora au maximum lorsque l'on aura pris ma = ab et qu'il a alors pour valeur J* ce qui conduit, pour la flbre la plus allongée, à la relation

et l'on remarquera que cette dilatation a lieu dans une direction mb qui forme un angle de 45^ avec la face ma.

L'on verrait de même que la plus grande contraction de an, deuxième diagonale du rectangle mabriy a lieu aussi pour bm=an et qu'elle a la même grandeur {g.

Un glissement sur. une face ou sur sa normale équivaut donc à une dilatation et à une contraction moitié moindres , suivant des directions prises à 45*^ sur cette face ou sur cette ligne matérielle dans le plan du glissement.

* L'on a en effet mô =4 .mab + artt =^1lx.max,mb + arsij

d'où

maxnib 1 arst

et il est évident que le maximum du premier membre a lieu pour

à arst=zo,

c'est-à-dire pour

Bis. DES M. II. 80

3C6 CINQmÈUE PARTIE.

La résistance au glissement peut être regardée comme la résistance à cette extension et à cette compression sîmulCaiiées qui changent en petits losanges les petits carrés, tels que manb^ par rallongement d'une de leurs deux diagonales et par le raccourcissement de l'autre.

881. Limite des glissements déduite delalibute des extensions DANS les solides d'égale contexture. — Il suit de là que si l'on peut faire supporter à une pièce solide d'une manière permanente et sans danger d'incurvation, et à plus forte raison de rupture même éloignée, des tractions capables de l'étendre ou de la raccourcir dans une proportion désignée par %\ et si l'on suppose la matière dont eUe est formée telle que dans tous les sens celte limite des extensions non dangereuses soit la même que dans le sens longitudinal, Ton peut aussi sans danger faire glisser les uns devant les autres les éléments de ces sections ou de ces fibres de quantités dont le quotient/, par leurs distances primitives, ft'excède pas une proportion durable

L'effort tangentîel qu'il faut déployer pour faire glisser deux éléments correspondants et égaux a de deux sections A est proportionnel à leur superficie a, au glissement relatif ^ et à un certain coefficient qui dépend de là matière et que nous nommerons coefficient d'élasticité de glissement^ en sorte que G étant ce coefficient, Ton a pour l'effort capable de produire le glissement relatif g , l'expression

ou par unité superficielle

expression qui correspond à celle (n^ 6) Ei, qui représente l'effort longitudinal qui étend dans une proportion i une fibre dont E est le coefficient d'élasticité d'extension. Diverses considérations théoriques ont fait depuis longtemps

BU GLISSEMEI9T.

regarder le coefficient G comme lié au coefficient E> dans les solides d'égale contexture en tous sens par la relation

et les expériences sur la torsion n*y contredisent nullement, puisqu'elles ont donné en moyenne ^ E pour des matières où celte égalité de contexture n'était qu'approchée. En multipliant par la limite ^ = 2i' des glissements relatifs g^ Ton a

Gi' = |Ei' = T,

eu nommant T la limite des efforts transversaux auxquels on peut soumettre avec sécurité d'une manière permanente l'unité superficielle de la base d'une fibre.

L'on a d'ailleurs R = Et' pour la limite des efforts longitudinaux, et Ton arrive ainsi à la relation trouvée par M. Navier,

entre les limites respectives des charges permanentes auxquelles les corps peuvent être soumis par glissement ou par extension, sans risquer que leur élasticité soit altérée.

L'on ne peut s'attendre sans doute à ce que cette relation, pas plus que les autres du même genre, établies pour des déformations très-petites» reste exactement applicable lorsque l'on ira jusqu'à celles qui sont suivies immédiatement de rupture. Cependant les expériences de MM. Gouin et C''% citées au n*» G6, ont donné précisément le rapport -^ entre les poids produisant la rupture de petits cylindres en fer par cisaillement et par extension , car la moyenne de ceux-là a été de 3200 kilogr. , et la moyenne de ceux-ci 4000 kilogr. par centimètre carré.

tS82. RESISTANCE ET CHARGE PERMANENTE LORSQUE LES SECTIONS