T=GA.Î

En appelant G la résistance au glissement latéral par unité de surface et de longueur du solide, la distance { étant la même pour toutes les fibres de la section, le plus grand déplacementi^ et par conséquent le plus grand effort, est relatif à la fibre la

plas éloignée de l'axe AB, ou à la plus grande valeur de r', que nous appellerons r.

Maintenant, pour qu'il y ait équilibre entre les forces extérieures, qui tendent à tordre le solide, et les résistances moléculaires des fibres à la torsion, il faut qu'il y ait égalité entre les momenls des unes et des autres par rapport à l'axe autoui* duquel s'établit cet équilibre.

Le moment de la force T relative à l'une des fibres est

T.r'=GA.^-

G, l et l'angle th de déplacement étant lés mêmes pour toute l'étendue d'une même section, il s'ensuit que la somme de tous les moments semblables pour l'étendue entière de la section est

égale au produit de G y par la somme des produits analogues

à Ar'*, chacun d'eux étant celui de. Taire de la section transversale de la fibre mn par le carré de sa distance à l'axe. Cette somme des produits Ar'* a été nommée par H. Pcrsy le mèinent d'inertie polaire. En la désignant parli, la somme de tous les moments des résistances moléculaires à la torsion sera donc

et devra être égale à la somme M des moments des forces extérieures qui tendent à produire la torsion; de sorte que l'on aura, pour la condition générale de l'équilibre, la relation

Gli -y =M«

Telle est la relation générale qui exprime la condition de l'équilibre entre les résistances moléculaires au déplacement par torsion et les forces extérieures, pour chacune des sections transversales du corps.

894. Observations relatives aux cylindres. — Dans cette expression, le rapport j est précisément la tangente trigono-

métrique de l'angle de déplacement des fibres situées à l'unité de distance de l'axe ; et pour les solides cylindriques dont l'axe est perpendiculaire au plan de section, cet angle étant le même dans chacune d'elles, les fibres se courbent peudant la torsion, selon les hélices dont le pas est donné par ce rapport, et dont l'inclinaison sera proportionnelle à leur distance R' à Taxe. On déduit de là :

flj M - ^1

T-gE " "—gT, •

Par conséquent, pour un solide prismatique ou cylindrique de longueur L, tous les déplacements angulaires, mesurés à l'unité de distance, s'ajoutant, ainsi que nous l'avons déjà dit, on aura, pour l'angle total de déplacement de sa tranche extrême,

Donc les angles de torsion sont :

l^" Proportionnels à la somme des moments des forces extérieures;

2*" Proportionnels à la longueur des solides, ou à la distance qui sépare les sections extrêmes.

Ces deux conséquences ont été^ vérifiées pour les déplacements angulaires compris entre les limites où l'élasticité n'est pas altérée, par MM. Duleau et Savart.

iSOô. Observation sur l'usage de la formule précédente. — Nous ferons de suite remarquer que l'angle a étant ici exprimé par un arc de cercle d'un rayon égala Tunité, tandis que l'arc réel de torsion éprouvé par la fibre la plus éloignée de l'axe, et située à la distance /, qui est celui qu'il importe de connaître et de limiter, a pour valeur r'a, il convient de multiplier les deux membres de l'expression ci-dessus par r*, ce qui donne

hàs. DES M. IL 2'

3fô CINQmiHE PARUE.

De plus, dans la plupart des cas de la pratique, et en particulier dans les machines, il importe de limiter les angles de déplacement éprouvés par les parties extrêmes des arbres; et comme on a vu qu*ils étaient proportionnels à la longueur L des solides, il convient de rendre Tangle de torsion produit dans chaque section d'autant plus petit que le solide est plus

long, ce qui revient à dire que le rapport -=- devra avoir une

valeur limitée selon la nature des matériaux employés et la destination de l'appareil que l'on considère. Nous reviendrons plus loin sur ces considérations.

ttOG. Appucation de la formule précédente aux cylindres ET À.UX prismes. — Pour comparer les résultats fournis par la formule précédente avec ceux des expériences des auteurs que nous venons de citer, il faut y substituer les valeurs du moment d'inertie polaire Ii qui conviennent à leurs formes.

Ô97. Valeurs du moment d'inertie polaire des sections TRANSVERSALES. — Si l'ou nomme veiu les distances de la section transversale m d'une fibre élémelitâire à deux axes perpendiculaires entre eux, oa; et oy (pi. VI, fig. 16), passant par le centre de gravité o de la section, on aura évidemment

Donc le moment d'inertie polaire d'une aire plane est égal à la somme des moments dlnertie pris par rapport à deux axes rectangulaires passant par le centre de gravité de cette section. Il suit de là que, pour le cercle plein, dont le moment d'inertie par rapport à un diamètre quelconque est \7cr*f le moment d'inertie polaire sera

IJ=i«r*=4A»^ et par suite,

?î = iwr>=|Ar=1.5708r»= 0.19637 (P.

De même, pour une couronne circulaire, on aurait

I, = i >c(R'»— R"»)= J AcR"— R"»),

T(»lSION. 323

Les observations faites au n« 237 sur l'excès de résistance que présentent les cylindres creux sur les cylindres pleins s'appliqueraient encore ici.

Rëflvltats d'expérlenees et formalès pratiques*

808. Expériences de M. Dîjleau sur la torsion. — Pour discuter les résultats des expériences de cet habile ingénieur, nous avons groupé séparément, dans le tableau suivant^ celles qui sont relatives aux corps cylindriques et celles qui se rapportent aux prismes.

Le poids employé pour produire la torsion était constamment de 10 kilogr. et son bras de levier égal à 0".32; de sorte que Ton a

La formule du n"" 616 donne