LARGEUR

POIDS

par

mètre courant. 1

lm

0ni,0137

Nous adopterons, dans ce qui va suivre, les poids, par mètre courant, de 2kil,90, 7kil,31, 10kil,85 et 18kil,52, comme correspondant respectivement aux écartements de

1, 2, 3 et 4 mètres. Connaissant ainsi le poids d’une panne par mètre courant, il suffira de multiplier ce poids par le nombre des pièces longitudinales et par la longueur de l’espace à couvrir pour connaître immédiatement le poids total de ces pièces.

511. Influence de cette observation sur les résultats qui précèdent. — Si nous voulons faire une application de ces résultats pour déterminer s’il convient de choisir, dans un cas donné, un grand ou un petit écartement entre les fermes , nous aurons recours au tableau du n° 559 ;

Et s’il s’agit d’une portée de 30 mètres, par exemple, qui exige 17 pièces transversales, nous ajouterons au poids

d’une ferme n° 1, pour un écartement de 4 mètres, qui est 3290kil,35

le poids de 17 pièces de 4 mètres et du poids par mètre courant de 18ki',52 (tableau précédent)

ou 17X4 X18kil,52 = 1259^,36

Poids total d’une travée de 4 mètres dans le cas d’un écartement de 4 mètres entre les fermes 4549kil,72

Faisant , d’autre part , le môme relevé pour un écartement de 1 mètre , on trouve :

Poids d’une ferme n° l,pour 2C'=30m, e=lm. 872kil,79

Poids de 17 pièces longitudinales de 1 mètre et du poids par mètre de 2kil,90 (tableau précédent) ou 17 X 1 X 2kil,90 = 49kü,30

Poids total d’une travée de 1 mètre Q22kil,09

Et pour 4 mètres de longueur de couverture,

4 X 922kil,09 ou 3688kil,36 ,

ce qui présenterait dans ce cas une économie de 86ikn,36 par 4 mètres, en faveur du plus petit écartement.

On arrive en général au même résultat pour les différentes portées, rinducnce du poids des pièces longitudinales devenant prépondérante pour les grands écartements, tandis que ce poids est relathement très- faible pour les écartements d’un mètre.

C’est au constructeur à tenir compte de ces appréciations de la dépense, en même temps qu’il appréciera les conditions d’élégance et de légèreté que telle ou telle disposition comporte.

542. Contre- fiches en fonte . — Nous avons vu que le poids des contre-fiches n’a en général, dans la question qui nous occupe , qu’une importance très-secondaire ; les eonsé-

FLEXION

quences auxquelles nous avons été conduits resteront donc les mêmes , si au lieu de les construire en fer comme nous l’avons supposé , on préférait employer la fonte, qui résiste également fort bien à un effort de compression. Il est vrai que la fonte ne saurait se prêter, comme le fer, à la répartition de la matière, dans la section transversale de la pièce, de manière à augmenter autant les dimensions extérieures de cette section dans les deux sens, dimensions toujours fort petites par rapport à la longueur des pièces. Si l’on veut construire en fonte les contre-fiches, il faudra les considérer comme colonnes pleines en fonte, et déterminer leur section transversale par la formule du n° 102 :

ptn 17g0 ,

d’où l’on tire ;

17 oü

formule qui permettrait de calculer directement dr par logarithmes, ou d’obtenir d au moyen de la construction graphique du n° iOo.

Dans la pratique , on renfle les pièces au milieu pour éviter qu’elles ne fléchissent, et on leur donne en général pour section la forme d’une croix à bras égaux et renforcés par des nervures, comme on le fait, ainsi que nous l’avons vu , pour les bielles.

Malgré ces dispositions, qui atténuent les inconvénients dans l’emploi de la fonte pour les contre-fiches, il faut reconnaître que le fer résistera mieux aux chocs accidentels ou à toute action transversale; l’assemblage, d’ailleurs, s’en fera toujours commodément avec les arbalétriers, en rabattant à la forge les nervures inférieures de la section en double T, à l’endroit de l’assemblage, et en formant ainsi une portée méplate sur laquelle se fixeraient avec facilité les deux joues intérieures de la contre-fiche moisée.

TORSION

Notions théoriques.

545. Résistance des solides à la torsion. — Lorsqu’un arbre de transmission de mouvement porte deux roues d’engrenage, dont l’une reçoit l’action de la puissance motrice et dont l’autre doit vaincre la résistance à surmonter, toutes les molécules de cet arbre éprouvent de la part de ces actions opposées un déplacement angulaire qu’on désigne sous le nom de torsion.

Cet effet peut souvent se remarquer à la vue simple au moment de la mise en marche des moteurs puissants qui doivent entraîner et mettre en mouvement de grandes masses, et il est d’autant plus appréciable alors, que, sp transmettant d’un arbre à l’autre, et se multipliant ainsi, en quelque sorte, d’un arbre à l’autre, on voit quelquefois le premier moteur, tel que la roue hydraulique , en marche bien avant que les derniers organes aient commencé à se mouvoir.

On comprend facilement que les déplacements produits par la torsion doivent croître , d’une part , avec la distance h l’axe des fibres ou des molécules que l’on considère , et de l’autre, avec la longueur des arbres ou des pièces, qui est comprise entre les plans perpendiculaires à l’axe autour duquel se fait la rotation , et qui contiennent les efforts qui la produisent et qui y résistent.

Dans chaque section perpendiculaire à l’axe de rotation il se produit par la torsion qu’elle éprouve, par rapport à celle qui la précède , un déplacement des molécules par rotation autour d’un axe qui, dans les machines, est toujours celui du mouvement général , par suite de la symétrie

TORSION

dans les profils employés ; il est donc naturel d’admeltre, et pour ainsi dire évident , que les déplacements absolus des molécules de chaque section sont proportionnels à leurs distances à l’axe, ou que leurs déplacements angulaires sont constants, ou, en d’autres termes, que toutes les molécules qui étaient sur une meme ligne ou rayon passant par l’axe avant la torsion, se retrouvent sur le meme rayon après la torsion.

D’une autre part , quand le solide est cylindrique ou prismatique, les diverses sections transversales du solide, comprises entre les plans perpendiculaires à l’axe, qui contiennent les résistances ou les forces motrices, éprouvent le même déplacement angulaire puisqu’elles sont toutes égales dans ces cas ; on voit donc que les déplacements éprouvés par les fdes de molécules ou les fibres qui étaient d’abord sur une même ligne droite parallèle à l’axe s’ajoutent les uns aux autres, de sorte que le déplacement total ou relatif de deux molécules situées aux deux extrémités opposées de la partie du solide exposée à la torsion est proportionnel à la longueur de cette partie ou à la distance qui sépare ces extrémités.

Les déplacements ou les arcs décrits par les molécules d’une même fibre étant ainsi proportionnels à leurs distances à l’extrémité du solide, on voit que les fibres se fléchissent en hélices dont le pas est le même pour toutes les libres quelle que soit leur distance h l’axe , mais pour lesquelles l’inclinaison de la tangente augmente avec cette distance.

Dans ce mouvement, le solide ne se raccourcissant pas, les diverses sections restent respectivement à la même distance, et dès lors il est évident que les fibres qui se sont courbées en hélices se sont allongées de tout l’excès de la longueur de l’hélice développée , sur la longueur primitive des fibres. Il y a donc, comme on le voit, un rapport direct entre la résistance des molécules ou des fibres à la torsion, et leur résistance à l’allongement.

Après avoir exposé ces considérations générales, expri-

mons-en les conséquences par des formules simples qui permettent d’en comparer les conséquences avec les résultats de l’observation.

54 4. Résistance des solides homogènes à la torsion. Equilibre des forces extérieures et des forces intérieures. — Si l’on considère deux sections infiniment voisines IK et ik (pl. VI, fig. 15) , et en particulier l’une des fibres élémentaires qui composent la tranche IK ki et qui sont parallèles à l’axe AB, autour duquel la rotation produite par la torsion est censée se faire , on voit d’abord que la section IK étant regardée comme fixe, l’extrémité n de la fibre mn se déplacera angulairement de la quantité ou de l’arc R'^ , en appelant R' sa distance à l’axe, et ax l’arc élémentaire décrit à l’unité de distance; et si l’on prend le rapport de ce déplacement à la longueur Ce de la fibre , on aura, pour le déplacement , rapporté à l’unité de distance , ou par unité

de longueur du solide , le rapport

Ce *

Nommant donc l la distance Ce des deux tranches, A l’aire de la section de la fibre mn , la force capable de produire le glissement par rotation sera pour cette fibre :

T = GA.?y-'.

En appelant G la résistance au glissement latéral par unité de surface et de longueur du solide, la distance l étant la même pour toutes les fibres de la section , le plus grand déplacement, et par conséquent le plus grand effort, est relatif à la fibre la plus éloignée de l’axe AB , ou à la plus grande valeur de R' que nous appellerons R.

Maintenant, pour qu’il y ait équilibre entre les forces extérieures qui tendent à tordre le solide et les résistances moléculaires des fibres à ia torsion , il faut qu’il y ait égalité entre les moments des unes et des autres par rapport à l’axe autour duquel s’établit cet équilibre.

TORSION. 435

Le moment de la force T relative à l’une des libres est :