T . R'= GA
G , l et l’angle a i de déplacement étant les mêmes pour toute l’étendue d’une même section ; il s’ensuit que la somme de tous les moments semblables pour l’étendue entière de la section est égale au produit de G a~ par la somme des produits analogues à AR'2, chacun d’eux étant celui de l’aire de la section transversale de la fibre mn par le carré de sa distance à l’axe. Cette somme des produits AR'2 a été nommée par M. Persy le moment d'inertie polaire. En la désignant par R, la somme de tous les moments des résistances moléculaires à la torsion sera donc Gf y1 et devra être égale à la somme M des moments des forces extérieures qui tendent à produire la torsion, de sorte que l’on aura pour la condition générale de l’équilibre la relation
GIi y = M.
Telle est la relation générale qui exprime la condition de l’équilibre entre les résistances moléculaires au déplacement par torsion et les forces extérieures , pour chacune des sections transversales du corps.
545. Observations relatives aux cylindres et aux prismes. — Dans cette expression , le rapport c~ est précisément la tangente trigonométrique de l’angle de déplacement des fibres situées à l’unité de distance de l’axe; et pour les solides cylindriques ou prismatiques dont l’axe est perpendiculaire au plan de section , cet angle étant le même dans chacune d’elles, les fibres se courbent pendant la torsion selon des hélices dont le pas est donné par ce rapport et dont l’inclinaison sera proportionnelle à leur distance R' à l’axe.
On déduit de là :
ai M
l (jIi
et
Par conséquent, pour un solide prismatique ou cylindrique de longueur L , tous les déplacements angulaires mesurés à l’unité de distance s’ajoutant, ainsi que nous l’avons déjà dit , on aura pour l’angle total de déplacement de sa tranche extrême :
Donc , les angles de torsion sont :
1° Proportionnels à la somme des moments des forces extérieures ;
2° Proportionnels à la longueur des solides, ou à la distance qui sépare les sections extrêmes.
Ces deux conséquences ont été vérifiées, pour les déplacements angulaires compris entre les limites où l’élasticité n’est pas altérée, par MM. Duleau et Savart.
540. Observation sur l'usage de la formule précédente. — Nous ferons de suite remarquer que l’angle a étant ici exprimé par un arc de cercle d’un rayon égal à l’unité , tandis que l’arc réel de torsion éprouvé par la fibre la plus éloignée de l’axe et située à la distance R' qui est celui qu’il importe de connaître et de limiter, a pour valeur R'a , il convient de multiplier les deux membres de l’expression ci-dessus par R', ce qui donne :
R'arr^î-LR’.
UIi
De plus , dans la plupart des cas de la pratique , et en particulier dans les machines, il importe de limiter les angles de déplacement éprouvés par les parties extrêmes des arbres , et comme on a vu qu’ils étaient proportionnels à la longueur L des solides , il convient de rendre l’angle de tor-
TORSION
51011 produit clans chaque section , d’autant plus petit que le solide est plus long, ce qui revient à dire que le rapport devra avoir uue valeur limitée selon la nature des maté-
riaux employés, et la destination de l’appareil que l’on considère. Nous reviendrons plus loin sur ces considérations.
547. Application de la formule précédente aux cylindres et aux prismes. — Pour comparer les résultats fournis par la formule précédente avec ceux des expériences des auteurs que nous venons de citer, il faut y substituer les valeurs du moment d’inertie polaire h qui conviennent à leurs formes.
548. Valeurs du moment d'inertie polaire des sections transversales. — Si l’on nomme v et u les distances de la section transversale m d’une fibre élémentaire à deux axes perpendiculaires entre eux, ox et oy (pl. YI, fig. 16), passant par le centre de gravité o de la section , on aura évidemment
aR'2 — av*-\- au*.
Donc le moment d’inertie polaire d’une aire plane est égale à la somme des moments d’inertie pris par rapport à deux axes rectangulaires passant par le centre de. gravité de cette section. Il suit de là que pour le cercle plein, dont le moment d’inertie par rapport à un diamètre quelconque est \ 7tR'4, le moment d’inertie polaire sera
I1=:l7rR'4=:lAR'’
et par suite
jp = è*R'3 = { AR' = 1 ,5708R'3 — 0,19637fZ3.
De même, pour une couronne circulaire, on aurait ïi = i^(R'4 — R"4) =iA(R'2 — R"2), b „ /R'4 — R"4\ . , /R'2 + R'/2\
Les observations faites au n° 258 sur l’excès de résistance que présentent les cylindres creux sur les cylindres pleins, s’appliqueraient encore ici.
Pour un prisme à section rectangulaire , on aurait , en appelant a la largeur et b la hauteur du rectangle,
ïi = :
aW
3 {cl1" -j— b2)
et
attendu que la plus grande valeur de R' est {\fa2 -)- ô2. Si la section est carrée , l’on a a— b et par suite
l.=|\ = fe=i^=°-235W-
MésitiÉats d’expériences et formules pratiques.
549. Expériences de 31. . Buleau sur la torsion. — Pour discuter les résultats des expériences de cet habile ingénieur, nous avons groupé séparément, dans le tableau suivant, celles qui sont relatives aux corps cylindriques et celles qui se rapportent aux prismes.
Le poids employé pour produire la torsion était constamment de 10 kilogr., et son bras de levier égal à Om,32, de sorte que l’on a
M = 10kil X 0m,32 = 3,20.
La formule du n° 545 donne
r ML ah7
dans laquelle a exprime l’arc du rayon égal à l’unité qui mesure l’angle de torsion, tandis que cet angle est donné par M. Duleau en degrés. Il faut donc multiplier ce nombre de degrés par pour avoir la valeur de a à mettre dans
1 oO
la formule.
TORSION
Enfin, pour les corps cylindriques, on a, d’après le numéro précédent ,
It = 1,5708^*, et pour les prismes à section carrée ,
A l’aide de ces données et de celles de l’observation , on a pu calculer la valeur de G correspondant à chaque expérience.
