RÉSISTANCES VIVES D’ÉLASTICITÉ ET DE RUPTURE

o3. Résistance vive d'élasticité. — Puisque les corps s’allongent sous l’action des forces qui les tirent dans le sens de leur longueur, leur résistance à cet allongement développe , pour chaque élément de l’allongement total , une quantité de travail , mesurée par le produit de l’effort exercé et de cet allongement.

La quadrature des courbes analogues à celles qui sont représentées (pl. I, fig. 1), dont les ordonnées sont les efforts exercés et dont les abscisses sont les allongements ou les chemins parcourus dans la direction de ces efforts, nous donnerait la valeur de ce travail pour un allongement donné.

Cette quadrature effectuée depuis le commencement des allongements jusqu’à celui qui correspond à la limite d’élasticité, donne le travail développé dans cet intervalle par la résistance du corps ; M. Poncelet a donné à ce travail le nom de résistance vive d' élasticité , et il le désigne parla lettre Te.

Si l’on pousse la quadrature jusqu’à l’effort ou à l’allongement qui a lieu au moment de la rupture, on aura le

travail total qui a été nécessaire pour rompre le corps, travail que le même auteur nomme résistance vive de rupture , et qu’il représente par la lettre Tr pour le mètre de longueur et l’imité de section superficielle.

On remarquera de suite que le travail Te ou la résistance vive d’élasticité est donnée par l’aire du triangle dont la base est l’allongement par mètre correspondant à la limite d’élasticité, multiplié par la longueur L du corps, et dont la hauteur est l’effort correspondant à celte limite, ce qui donne pour chaque millimètre carré le travail ~ P«'L = |EL/2 à cause de P = Ez, et pour la section A, exprimée en mètres carrés, Te = |EAL«2.

On voit que plus ce produit sera considérable , plus le corps sera susceptible de conserver son élasticité sous Faction des efforts qui tendent à l’allonger.

Un coup d’œil jeté sur les courbes de la figure 1 (pl. I) montre que les fers durs offrent une résistance vive d’élasticité beaucoup plus considérable que les fers tendres.

54. Résistance vive de rupture. — Si l’on étend la quadrature à la surface totale des courbes limitées par l’ordonnée qui correspond à la rupture , on voit que celle surface qui représente le travail développé pour produire la rupture est beaucoup plus considérable pour les fers doux que pour les fers durs, ce qui montre l’avantage et la sécurité qu’offrent les fers doux pour tous les cas où les pièces sont exposées à des chocs ou à des efforts accidentels.

55. Application des considérations précédentes . — Pour montrer par des exemples Futilité des considérations précédentes, si nous en faisons l’application aux trois séries d’expériences représentées par les courbes A aaa, A bbb, A ccc (pl. I, fig. 1), respectivement relatives aux fers doux, trèsductiles, au fer dur recuit et au fer dur non recuit , nous trouvons que les allongements du premier, étant proportionnels aux efforts de traction jusqu’à la charge de 16 kilogr. au plus par millimètre de section et l’allongement par métré

EXTENSION

courant étant e = Om, 00086 , le trayait de la résistance élastique ou sa résistance vive d’élasticité a pour valeur par millimètre carré de section :

Te = ± Vi = J X 1 6kil,00 X 0“, 00086 = 0k “ 00688 .

S’il s’agissait d’une barre de fer rond de 6m,00 de longueur et de Om, 030 de diamètre ou de 707 millimètres carrés de section, le travail ou sa résistance vive serait :

TeAL == Ok m, 00688 X 6 X 707 = 29k “,18496.

Par exemple , si un corps de poids Q tombant d’une hauteur H devait dans sa chute être brusquement arreté par cette barre , le travail développé sur ce corps par la pesanteur, ou la moitié de sa force vive ±^v2 — QH, devant être

détruit par la résistance de cette barre, il faudrait, pour que l’élasticité de celle-ci ne fût pas altérée, que le produit QH n’excédât pas 29k“,18; ainsi, un poids de 1000 kilogr. tombant d’une hauteur de 0m,02918 développerait le travail au delà duquel l’élasticité de cette barre serait altérée.

La quadrature de la surface totale , limitée par la courbe kaaa , ou la résistance vive de rupture, donnerait Tr = 4k “,497 par mètre de longueur et par millimètre carré de section, ce qui montre que pour le fer ductile employé dans l’expérience de M. Bornet, la résistance vive de rupture a été égale à plus de 650 fois sa résistance vive d’élasticité.

L’application à la barre de 6m,00 de long sur 0“,030 de diamètre , donnerait pour la résistance vive de celte barre à la rupture , la valeur

Tr AL = 4k “,497 X 707“u X 6 = 1 9 076k “27,

d’où résulte qu’un poids de 1000kil devrait tomber de 19m,076 pour produire la rupture de cette barre. On voit par cet exemple que le fer doux ne se rompt qu’après avoir détruit une force vive ou avoir développé un travail résistant bien supérieur à celui qui suffirait pour altérer son élasticité.

«5(>. En faisant la quadrature analogue pour les fils de fer durs recuils et non recuits , M. Poncelet a trouvé pour

Le fer dur recuit Te=Okm, 00662, Tr=0km,500,

Le fer non recuit Te=Okm, 00585, Tr=0km,6810.

Ce qui montre que pour les fers durs non recuits le travail correspondant à la rupture est beaucoup plus voisin du travail correspondant à l’altération de l’élasticité que pour les mêmes fers recuils et surtout pour les fers doux, et que par conséquent si les fers durs présentent l’avantage de conserver leur élasticité plus longtemps, ou sous de plus fortes charges que les fers doux , ils offrent l’inconvénient d’être beaucoup plus fragiles par l’effet des chocs.

On doit en effet se rappeler que toute force vive est égale au double du travail nécessaire pour la produire ou pour l’éteindre , et que l’effort susceptible de développer ce travail est d’autant plus faible, que le chemin parcouru dans sa direction propre est plus grand. De là résulte évidemment que les corps extensibles, tels que les fers doux , présentent pour la résistance à des chocs plus de sécurité que les corps durs et rigides. C’est ainsi que pour les chaînes d’attelage, les câbles en fer de la marine, etc., on doit préférer les fers les plus doux aux fers les plus durs.