AE

2° Par l’action des composantes parallèles à cette section, un allongement proportionnel i' exprimé par (n° 154)

R (Pp+Q? + etc...)î/

Mv'

El 9

en nommant toujours M la somme des moments des forces qui tendent à produire la flexion, par rapport à la section, que l’on considère.

Donc l’allongement total de cette fibre sera :

T Mv'

et, pour qu’il ne dépasse pas la limite de l’élasticité , iï

faudra que l’on ait encore * = g (n° 154). Donc pour que la

pièce résiste d’une manière permanente, il faut établir la relation

r__ t. Me!

E “AE"1" El ’

Dans le cas où la résultante T tendrait à produire une compression générale des fibres de la section considérée, la fibre la plus éloignée de la ligne des fibres neutres éprouverait, si elle est située dans la partie supérieure de la section :

1° Par l’action des forces normales à la section, une compression proportionnelle exprimée par :

* “ÂË5

2° Par l’action des composantes parallèles à cette section, un allongement proportionnel exprimé par :

FLEXION

Donc la compression ou l’allongement total serait

Mt>' . .„ W T

EI OU l—l 1— EI AE*

En ayant soin de prendre dans tous les cas pour i la valeur positive fournie par Tune ou l’autre de ces relations.

On aura donc à établir dans ce cas , pour la stabilité de la construction , la relation

Enfin si la fibre la plus comprimée était plus éloignée de la ligne des fibres invariables que celle qui est la plus allongée, il faudrait, dans le dernier cas que nous venons d’examiner, ajouter les deux compressions i’ et i" comme dans le premier cas, où l’on considérait les allongements, et l’on aurait encore à la limite des compressions qui n’altèrent pas l’élasticité

158. Remarques sur les quantités A et I. — On remarquera que les quantités A et I qui représentent fune l’aire de la section transversale, l’autre le moment d’inertie de cette section par rapport à la ligne des fibres invariables, ne dépendent que des dimensions et de la forme du profil de cette section, et que par conséquent R étant connu d’après l’observation des bonnes constructions, comme nous l’indiquerons plus loin, T et M dépendant de l’intensité et de la disposition des forces extérieures qui agissent sur le corps , on pourra toujours déterminer les dimensions et les proportions de la section transversale ou les quantités A et I, de manière que les relations précédentes, qui expriment l’équilibre permanent, soient satisfaites, ce qui constitue la recherche importante des proportions des corps , propres à assurer la stabilité des constructions.

159. Cas où le corps a un profil constant sur toute sa longueur. — Dans un grand nombre de cas le corps a sur toute sa longueur le même profil , et alors les quantités A et I sont constantes ; dès lors la section dangereuse est évidemment celle pour laquelle le second membre des relations précédentes

acquiert sa plus grande valeur.

Dans le cas où le corps est encastré par l’une de ses extrémités, la section d’encastrement est habituellement la section dangereuse, et si rallongement ou la compression que produit la résultante T des composantes normales à cette section est nul ou très-faible par rapport à celui qui provient de la flexion, cette section est toujours la plus dangereuse. Dans ce dernier cas qui se présente fréquemment dans la pratique, les relations de stabilité se réduisent à

d’où l’on tire

Dans certains cas, l’on peut disposer ou distribuer les forces extérieures, de manière que la somme de leurs moments, par rapport à la section dangereuse, soit nulle, et alors la pièce n’étant plus soumise qu’à des efforts d’extension et de compression, la relation de stabilité se réduit à

R = t; d’où l’on tire A==ïi,

ce qui conduit immédiatement à la détermination de la section transversale, quand on connaît la force T qui tend à comprimer ou à étendre le corps.

€e cas est celui des piliers ou des colonnes qui soutiennent les chaînes des ponts suspendus. La direction et la tension de ces chaînes doivent être combinées de telle façon que la somme des moments des forces qui tendent à pro-

FLEXION

duire la rotation du support sur sa base, soit nulle ou à peu près, et qu’il ne soit soumis qu’à une compression.

Valeurs des moments d’inertie de divers profils.

140. Valeurs des quantités I et relatives aux différents profils en usage dans les constructions. — On a vu que la ligne des fibres invariables devait passer par le centre de gravité, ce qui permet de rechercher la valeur du moment

d’inertie I et du rapport pour les différents profils en usage.

Pour donner une idée de la manière de calculer ces quantités, et montrer comment on passe des formules générales qui précèdent aux formules pratiques, nous examinerons quelques cas particuliers.

Mais commençons d’abord par une considération générale fort simple due à M. Poncelet. Soit IK (pl. III, fig. 15) une section transversale quelconque du corps, et a l’aire d’une fibre située à la distance me ou m'c'=v de la ligne des fibres invariables AB. Menons mp = m'e' = me perpendiculaire au plan de 1K; on aura évidemment civ = a'Xmp ou le volume du prisme dont la base est a et la hauteur mp ou v, et le produit atf- = a X mp X me sera le moment de ce volume, par rapport au plan des fibres invariables qui passe par le centre de gravité, et qui est perpendiculaire au plan des forces moléculaires.

Donc pour avoir le moment d’inertie total, il faudrait prendre la somme des moments de toutes les tranches élémentaires des profils semblables à IL c et L'Kc, tant en dessus qu’en dessous de cM, et ajouter l’une à l’autre les deux sommes respectivement relatives aux parties supérieure et inférieure de la section.

Or, pour le triangle IL c, cette somme est égale au moment du triangle par rapport à cM, ou au produit de sa surface |dxIL par la distance | cl de son centre de gra-

io6 TROISIÈME PARTIE.

vile à la ligne cM; elle est donc égale à ^cl8, attendu que d = IL.

141. Cas où le contour de la section transversale considérée est quelconque. — Lorsque le profd de la section transversale sera quelconque, si l’on appelle toujours v l’ordonnée extérieure c Ci de son contour extérieur par rapport à la ligne AB et e l’épaisseur d’une tranche élémentaire c'cj du profil, le moment d’inertie de cette tranche par rapport à AB sera ~vse et la valeur de la quantité -, relative à cette tranche sera e .

Pour avoir les valeurs totales de I et de -, pour la section entière, il faudra donc prendre ta somme de toutes les quantités semblables, ce qui se fera facilement, soit par les méthodes de calcul connues, s’il s’agit de formes régulières et géométriques, soit par la formule de Simpson.

Dans ce dernier cas si l’on nomme a la largeur du profil AB, on la partagera en un nombre pair 2 n de parties égales; on aura par le tracé, pour chaque point de division, les ordonnées

et l’on en déduira

1=14^ Oi3 + ^23n+i + 4 (vf+ V? +etc . . 0 ■ -f 2 -f v58 + e te. . .)] et

v' =44 2 Jjjjp [?;i3+^23n+i + 4 (v23 + v,? + e te . . 0+ 2 (?,33 + vi -f- etc . . .)]

v ' étant la plus grande de toutes les ordonnées du profil considéré ; on prendra séparément les valeurs de ces quantités pour les deux parties du profil situées au-dessus et audessous de la ligne AB et on les ajoutera pour avoir les valeurs totales de I et de

On se rappelle d’ailleurs qu’à l’aide de la même méthode de Simpson, on sait déterminer la ligne AB, qui contient le

FLEXION

centre de gravité /de la section (Ire partie, n° 128), et c’est pourquoi nous l’avons supposée connue.

142. Formes particulières. — Dans la plupart des applications la forme du profil transversal du corps est assez simple pour qu’il soit facile de déterminer directement les valeurs

de I et de ^ : nous allons examiner les formes les plus usuelles.

145. Section rectangulaire. — Dans ce cas (pî. III, fig. IG) toutes les tranches semblables à ILcMK sont égales, et le pian des fibres invariables partage la hauteur totale b du rectangle en deux parties égales. La somme des produits des volumes élémentaires des prismes mp par leur distance me à la ligne AB, est égale au produit du volume total | clXlLXa, du prisme qui aurait IL c pour base et la largeur a de la pièce pour hauteur, par la distance § cl de son centre de gravité à la ligne AB. En posant ÏK = 6, le volume du prisme est exprimé par % -~X^X a = ±ab*; la distance de son centre de gravité à cC est |cl = Jô; on a donc, pour le moment d’inertie du prisme supérieur à cAB, la valeur on a la meme valeur pour le prisme

inférieur, attendu que tout est symétrique de part et d’autre de AB ou de cC , et par conséquent

— d’où ~==^ab-= *A6,

en appelant A la surface aXb de la section transversale du solide.

Si la pièce est à section carrée, on a a = b et I=*A 6*=*6*f

144. Moment d'inertie d'un rectangle par rapport à l'un des eétés. — Dans ce cas (pi. III, fig. 17), le moment d’inertie serait encore égal au volume du prisme, ou

HXlLXaXfcI,

expression qui , dans le cas actuel , à cause de cl = IL = 6, devient

I = i«^ = iA69.

Si un autre rectangle semblable était situé symétriquement au-dessous de la ligne AB, son moment par rapport à cette ligne serait encore et la somme de ces deux

moments, ou f ab3, revient à celle du n° 145, si l’on remplace 26 , qui est maintenant la hauteur totale, par 6, qui exprimait cette hauteur dans les formules antérieures.

145. Profil en double T. — Dans ce cas fpl. III, fig. 18), qui se présente très-fréquemment dans les constructions , si les deux nervures, supérieure et inférieure, sont égales, il est évident que la ligne des fibres neutres AB est au milieu de la section transversale, et que le moment d’inertie est égal à ta somme des moments d’inertie des rectangles qui constituent la nervure, et de celui qui constitue le corps de la pièce, ou, ce qui revient au même et conduit à des formules plus commodes pour les calculs , est égal h celui du rectangle extérieur EFGH, diminué de deux fois celui d’un des rectangles égaux MI et KL. On a donc

l = ^(ab3 — 2a'b'%

et la plus grande ordonnée étant v' = |6,

I 1(ab3 — 2a'b'3) v'-~6 b

14G. Fers à double T laminés. — Dans certains cas, et en particulier pour les fers à double T fabriqués au^laminoir, la saillie a’ des nervures , ainsi que leur épaisseur e et la hauteur b , restent constantes pour une série de barres dont l’épaisseur du corps, que nous désigneron3 [ ar ci,gvarie seule avec la charge que les pièces doivent supporter.

Il convient alors de prendre pour quantité inconnue à déterminer cette épaisseur et. Il est facile de voir que le moment d’inertie peut s’exprimer comme il suit :

l = -±eib* + ia'(b3—b'%

FLEXION

Cette formule peut être simplifiée lorsque l’on connaît le rapport de b' à b; si, par exemple,

0,906; d’où b'*= 0,72963, ô8— b’3 = 0,271 b\

d restant constant pour une même valeur de la hauteur b , la formule devient alors :

T2ei&3+°’2llflk3,

et par suite,

Nous en verrons plus loin l’application.

147. Fers à double T en pièces de tôle assemblées par des cornières. — Dans ce cas (pl. III, fig. 19), qui se présente souvent pour les constructions de ponts de chemins de fer, il convient encore d’exprimer le moment d’inertie sous une autre forme plus commode pour les calculs d’application.

Il est facile de voir que le moment d’inertie du profil a pour expression :

I = ^ [aù3 2 [dbn + a" b * + a'" b'"*)] ,

et que la fibre la plus allongée ou la plus raccourcie étant à la distance v' = | b de la fibre invariable, placée au milieu, l’on a :

I j [ab* — 2(a'Ô'3 + drbn + d"bw% v'~6 b

Nous verrons l’application de cette formule à quelques cas de pratique.

148. Modification du profil précédent. — 11 arrive quelquefois que la forme que nous venons d’examiner n’a pas la symétrie que nous avons supposée, et que les nervures diffèrent l’une de l’autre. Dans ce cas, le centre de gravité, et par suite la ligne des fibres invariables , ne sont plus au milieu de la hauteur, mais plus rapprochés de la nervure la plus forte, et la formule devrait être modifiée.

Dans bien des cas, la différence des dimensions est assez faible pour que l’on puisse se contenter de la formule cidessus ; en supposant les deux nervures égales à la plus petite , l’excédant de résistance qui en résultera pour la pièce telle qu’elle sera réellement, n’en assurera que mieux la solidité.

Cependant, comme il se présente des cas où il y a entre les dimensions des nervures supérieure et inférieure une différence très-grande, il faut savoir en tenir compte. On y parviendra facilement, comme on peut le voir par l’exemple suivant, pour lequel nous choisirons un fer à double T, tel qu’on les emploie actuellement pour les solives en fonte des ponts et pour les couvertures à grande portée ou les planchers en fer.

En prenant les moments des deux parties (pl. III, fig. 20) du profil, situées au-dessus et au-dessous de la ligne LM des fibres invariables, et nommant x la distance inconnue de la ligne des fibres invariables à la face supérieure , a et aî les largeurs horizontales des nervures supérieure et inférieure, «i l’épaisseur du corps de la pièce, bi et bî f épaisseur des nervures supérieure et inférieure, b la hauteur totale extérieure du solide, on a, pour le moment de la partie supérieure,

ChX X{x + (a — ajbi X (x — ;

e[ pour le moment de la partie inférieure,

ch(b — x) X ------ -f- (ai — ai)bi X (b — æ — ^j.

Ces deux moments doivent être égaux puisque la distance x se rapporte au centre de gravité de la section; en effectuant les calculs, et égalant ces deux moments, l’on a :

(a — a') b\ -f- aj)* -f- 2 (aî -- — aî)bî (b - —

2 [(a — ci\)bi -f- üib -j- (aî — aî)bî]

FLEXION

Lorsqu’on a ainsi déterminé la position de la ligne des fibres neutres, il est facile de trouver, par les formules précédentes (nos 1 14 et suiv.) , les valeurs des moments d’inertie des deux parties, supérieure et inférieure, par rapport à cette ligne ; et en les ajoutant, on aura le moment d’inertie total. On aura ainsi, pour le moment d’inertie de la partie supérieure ,

±aœ3— {{a — ax){pc — bxf ,

et pour le moment d’inertie de la partie inférieure,

{af(b — xf — {af — ax )(b — x — bff ; d’où, en ajoutant l’une à l’autre ces deux expressions:

I = i [axs — (a — ad (a? — bxf + ax(b — xf— (a/ — ax) (b — x — bxf]

Lorsque la nervure la plus forte sera en dessous, le centre de gravité sera situé à une distance plus grande de la face supérieure que de la face inférieure, la fibre la plus éloignée de la ligne des fibres invariables sera alors sur la face supérieure, à la distance v’ = x , et l’on aura

I t [ax3— (a — ax){x—bxf -f- ax{b— xf — (a/— ax)(à— x — V)3;]

Si au contraire la nervure la plus forte était, à la partie supérieure, b — x serait plus grand que x , et ce serait cette valeur plus grande de b — x qu’il faudrait introduire dans la formule pour celle de v'.

Ces formules, en apparence assez longues, se simplifie* ront beaucoup et seront d’ailleurs toujours faciles à calculer, dès qu’on y mettra, pour les dimensions des pièces, leurs valeurs numériques si elles sont constantes , ou quand on établira entre elles des rapports fixés à l’avance.

149. Tubes rectangulaires creux. — Dans ce cas (pi. IIT, tig. 21), l’on aurait \ — ^[ab% — a’b'3) = -^(A'ù2 — A "b'2), en nommant A' = ab et A" = a’b’ les aires des sections transversales des parallélépipèdes extérieur et intérieur.

Mais si b' diffère peu de 6, comme il arrive pour les tubes en lôle de fer assez mince , on pourrait prendre b ' = b , et alors on aurait I = -&(A' — M,)tf = -fekb'i, en nommant A = A' — A" la surface de la section transversale du tuyau. On en déduirait :

i, = ±kb, attendu qu’alors vr =

Par conséquent la formule d’équilibre serait, pour ces tubes,