Observations relatives à V extension et à la compres

sion des fibres. — Nous avons admis que le facteur — était

constant pour toutes les fibres, soit qu’elles fussent allongées ou comprimées, c’est-à-dire que les valeurs du nombre P

- — • E (0) , ou que le rapport des efforts de traction longi-

tudinale aux allongements i par mètre courant qu’ils produisent, était le même que celui du même effort au raccourcissement proportionnel qu’il occasionnerait s’il comprimait le corps. En un mot, cela revient à supposer que dans les limites d’allongement et de raccourcissement qui n’altèrent pas l’élasticité , la résistance à l’extension est la même que la résistance à la compression pour une même variation de la longueur. Or, celle hypothèse, suffisamment exacte peut-être pour les bois et les corps fibreux, ne l’est

FLEXION

probablement pas autant pour les corps grenus, tels que les métaux.

On a vu cependant aux nos 02 et 05 que pour la fonte en particulier, tant qu’il ne s’agit que de faibles extensions ou compressions, le rapport des charges aux allongements et aux raccourcissements proportionnels est constant et sensiblement le même pour les deux cas , ce qui permet d’appliquer dans ces limites le raisonnement précédent.

Enfin, ce qui prouve a posteriori que dans les flexions que la pratique des constructions permet de tolérer, l’on peut admettre l’égalité des résistances à l’extension et à la compression, c’est que les valeurs des coefficients d’élasticité des substances le plus généralement employées, fournies par les expériences sur la flexion des corps , pour le calcul desquels on applique les considérations précédentes, sont sensiblement les mêmes que celles que l’on déduit des expériences sur l’allongement direct. Nous reviendrons plus tard sur cette considération.

155. Condition générale de V équilibre entre les forces extérieures et les forces moléculaires. — Si nous continuons de considérer un corps de forme quelconque (pl. III, fig. 14) encastré par l’une de ses extrémités et soumis à des forces extérieures P, Q, R, etc., et une quelconque de ses sections IK, lorsque ce corps sera parvenu à une position d’équilibre, la flexion générale et par suite la rotation des fibres élémentaires de la section IK autour de la ligne des fibres invariables ayant cessé , il faudra nécessairement que la somme des moments des résistances moléculaires, telles que p = ~av des fibres, par rapport à cette ligne, soit égale à la somme des moments des forces extérieures qui agissent à droite de la section IK. C’est la deuxième condition de l’équilibre dans cette section.

Or, si l’on se reporte à la figure 13, on verra de suite, comme au n° 120, que le moment de la résistance p de la fibre mn par rapport à la ligne des libres invariables,

BS

est pv = ~ av*, et que la somme de tous les moments semblables sera pour la section entière :

®(«î)s+aV2+aV*+ etc...)-

La somme des produits av2, a'v'% , etc., de l’aire de la section transversale de chaque fibre par le carré de sa distance à la ligne des fibres invariables est ce qu’on a nommé dans la première partie des leçons le moment d'inertie , que nous avons désigné par I.

Donc la somme des moments de toutes les résistances

moléculaires à l’extension et à la compression est - I,

et cette somme doit être égale à celle des moments Pyj ete. . . = M des forces extérieures qui tendent à produire la rotation autour de la section IK que l’on considère.

On a donc, en général, pour la condition d’équilibre et pour une section quelconque, la relation

|!=l>/,-)-Qî + elc...=M.

13 4. Limites des résistances permanentes. — Mais pour que cet équilibre puisse subsister d’une manière permanente , pour que la résistance de la pièce soit durable et offre la sécurité nécessaire, il faut qu’aucune des fibres de la section transversale que l’on considère ne soit soumise à un allongement ou à une compression qui dépasse les limites de l’élasticité.

Dans la rotation qui se produit autour de la ligne des fibres invariables, la fibre la plus éloignée de cette ligne est évidemment celle qui s’allonge ou se raccourcit le plus. Si, par exemple, ci est plus grand que ck , la fibre dont la longueur a subi la plus grande variation est IL, et son allongement est \i\ or on a par les triangles semblables, en ap-

pelant v' la distance cl' de cette fibre à l’axe des fibres invariables :

et en nommant ï l’allongement ou le raccourcissement

proportionnel que les libres peuvent éprouver sans altéra-

tion de leur élasticité , il faut que rallongement — de la fibre la plus éloignée soit égal à ï, ce qui donne :

Par conséquent

El __EIf r v'

Mais si, d’après ce que l’on a dit précédemment, on continue à appeler R l’effort permanent d’extension ou de compression que chaque unité de surface du corps peut supporter avec sécurité, on aura :

„ ,, , R . .. El El *" RI

R = Eï d ou i = , et par suite — = —7- = —;

pour la somme des moments des résistances moléculaires de la section que l’on considère, à l’extension et à la compression , quand ces fibres ne seront soumises qu’à des efforts qu’elles puissent supporter avec sécurité, sans que leur élasticité ait à subir aucune altération.

La relation à établir pour la stabilité de la construction entre les résistances moléculaires et les forces extérieures est donc :

|î = Pp + Q? + etc...=M.

13d. Valeur de V allongement ou du raccourcissement proportionnel éprouvé dans la flexion. — On déduit aussi de ce qui précède que l’allongement ou le raccourcissement éprouvé par la fibre qui subit la plus grande variation de longueur est ex-

primé par t'= g, et en mettant pour R la valeur déduite

de l’équation précédente ce qui permettra de cal-

culer ï toutes les fois que l’on connaîtra les quantités qui entrent dans le second nombre de celte expression, ainsi que nous en verrons des exemples plus tard.

156. Observation sur la formule précédente. — Il importe de remarquer que cette formule exprime d’une manière générale la condition de l’équilibre entre les forces extérieures qui tendent à faire fléchir ou h rompre le corps et les forces intérieures de résistance à l’extension et à la compression, appelées les forces moléculaires, qui se développent dans chacune de ses sections transversales. Elle se traduit simplement en ces termes :

Quand un corps solide encastré par l'une de ses extrémités et sollicité à fléchir ou à rompre sous l'action de forces extérieures est parvenu à un état d'équilibre , la somme des moments de toutes les résistances moléculaires à l'extension et à la

compression dans une section transversale quelconque est ex-

RI

primée par le produit —, et est égale à la somme des moments des forces extérieures , par rapport à cette section .

On aura donc assuré la stabilité ou la résistance du solide lorsque l’on aura donné à ses différentes sections, si elles sont variables, ou à la section constante, si le solide a partout le môme profil, des dimensions telles que cet équilibre ait lieu pour les sections les plus faibles, ou pour celles où il y a le plus de chances de rupture.

11 est d’ailleurs évident que pour les solides à section transversale constante la section dangereuse est celle pour laquelle la somme des moments des forces extérieures est la plus grande; que, par conséquent, c’est habituellement la section d’encastrement.

RI Mv'

Celte même formule —=M, d’où R= — , permettra de déterminer par l’observation des constructions qui ont pour elles la sanction du temps, et par celle des résultats des

FLEXION

expériences directes , les valeurs qu’il convient d’attribuer au nombre R, relatif à chaque substance, soit pour obtenir dans les constructions la stabilité, la durée convenable, soit pour déterminer la rupture; on en verra plus loin de nombreux exemples.

157. Cas où il est nécessaire de tenir compte des forces qui agissent normalement à la section du corps que l'on considère. — En ne tenant compte jusqu’ici que de l’action des forces qui agissent pour produire des rotations dans la section du corps que l’on considère, nous avons implicitement supposé que l’on pouvait négliger l’effort que les composantes de ces forces perpendiculaires à cette section peuvent exercer pour produire rallongement général de ses fibres ou leur compression. Dans un grand nombre de cas, on peut, en effet, faire abstraction de ces extensions ou compressions générales , et ne tenir compte que de celles qui sont dues à la flexion du corps. Mais il en est d’autres où les efforts normaux aux sections, ou agissant dans le sens de la longueur du corps, acquièrent assez d’intensité pour qu’il soit convenable et même nécessaire d’apprécier leur influence.

C’est ce qu’il est facile de faire en décomposant toutes les forces extérieures en deux autres , l’une parallèle à la section que l’on considère et qui contribuera à la flexion 7 l’autre normale à cette section et qui produira l’extension ou la compression.

Nommant T la somme algébrique de toutes ces composantes normales, on verra par le sens dans lequel elle agit si elle tend à allonger ou à comprimer le corps. Dans le premier cas, elle produira par unité de surface une ten- T

S10n K un a^on&emenl proportionnel (n° 6) que nous dé-

signerons par i" et qui sera i"=-L.

Il suit de là que la fibre la plus éloignée de la ligne des fibres neutres éprouvera :

1° Par Action des composantes normales à la section un allongement proportionnel i" exprimé par