AD

En effet , soit acb (pl. III, tig. 23) un secteur élémentaire du cercle, il est aisé de voir que si l’on considère d’abord une bande circulaire élémentaire d’épaisseur e de ce secteur, ayant l’arc ab pour base, le moment d’inertie de cette bande par rapport au diamètre AB sera :

ab X e X ii'*.

Or, si l’on construit en rabattement le trapèze abb"a\ dont la base serait ab, les côtés parallèles aa"=aa', bb"=bb', et la moyenne de ces côtés ii!' — le moment abXeX ii! sera égal au volume d’un petit prisme élémentaire tronqué, dont la base serait abXe , et la hauteur moyenne ii'. Par conséquent le moment d’inertie de cette petite bande serait égal au moment du volume du prisme élémentaire correspondant, par rapport à un plan perpendiculaire à celui du cercle, et dont la trace serait AB.

La somme de tous les moments semblables serait donc égale au moment de la pyramide dont le sommet serait en c , et qui aurait pour base le trapèze aWd' . Donc, enfin, le moment d’inertie du secteur abc est égal au volume de cette pyramide multiplié par la distance de son centre de gravité à la ligne AB. Or, ce volume est :

i ic X abb"d' = |RX«ôXa';

TROISIÈME PARTIE, et les triangles abd et cii" étant semblables, on a :

cib : ad : : ci : iï ; d’où ab X iï = adX ci = a' b' X ce.

Le volume est donc exprimé par ±RKa'b'.

La distance du centre de gravité de la pyramide à son sommet est §R , et par conséquent le même point est à une distance de la ligne AB égale à \ii\

Le moment d’inertie de cette pyramide élémentaire est donc :

JR2 X a! b' X f n' =-* {R2 X a'b' X iï.

Or, a'b ' X iï, c’est la surface de l’élément du cercle correspondant à F arc élémentaire ab ; donc, pour le cercle entier dont la surface est ttR2 = 3,14R2. on aura