T = 1 3,14R’ = {AR

lo5. Profil annulaire de deux cercles concentriques. — Dans ce cas, en nommant R' et R" les rayons extérieur et intérieur, il est évident que le moment d’inertie est égal à celui du cercle extérieur, moins celui du cercle intérieur, et qu’il a par conséquent pour expression :

L’ordonnée la plus éloignée de la surface des fibres invariables étant ici v ' = R', on a :

1R4. Comparaison d'un cylindre plein à un cylindre creux , sous le rapport de la résistance à la flexion. — La valeur de la quantité -, étant, dans le premier cas, {AR, et dans le se-

cond, iA — ^ — -, si l’on s’impose la condition que Faire

FLEXION

de la section soit la même dans les deux cas, ce qui donne R2 = R'2 — R//2 , le rapport des deux valeurs ^ est Si, par exemple, on suppose R":=fR', ce qui est une proportion assez fréquemment usitée, on en déduit R = §R', et

le rapport ci-dessus devient — 1t-

Ce qui montre qu’à section égale, et par suite à volume égal, le moment d’inertie, et par suite la résistance d’un cylindre plein, n’est guère que le tiers de celle d’un cylindre creux dont les dimensions sont conformes aux proportions ci-dessus indiquées; cela explique aussi pourquoi des végétaux creux peuvent, sans se rompre, supporter des flexions beaucoup plus considérables que les végétaux pleins.

155. Tubes cylindriques à parois minces. — S’il s’agit de tubes cylindriques à parois assez minces, le moment d’inertie I devient simplement

t ARi2 , I ARi

en nommant le rayon des tubes. La formule d’équilibre devientfalors

RI R.ARt v ' 2

156. Profils elliptiques. — 2 a étant le petit axe, et 2 b le grand axe, le moment d’inertie et la valeur de ~ pour un profil elliptique plein, sont par rapport :

au petit axe,

-Kab* A à2

au grand axe,

I t mà2 v'~ 2

I __7T ba*

Pour le profil annulaire elliptique (pl. III, fig, 24), 2 a’ et

2 b' étant le petit et le grand axe intérieurs, on a, par rapport :

au petit axe, I = ^(«63 — a'b\ i =

157. Profil en T. — Dans ce cas (pl. III, fig. 25), il faut d’abord déterminer la position de la ligne des fibres invariables qui n’est pas connue a priori. Or, puisqu’elle doit contenir le centre de gravité de la section, en appelant s sa distance à la face supérieure, on a, d’après le théorème des moments, en prenant ceux-ci par rapport à la ligne supérieure AB ,

ab X | b -f- a' b' X (i b' -}- b) = {ab -f- a' b') z ;

tabi + a'b'* + 2a'bb'

Z 2 ab-\-a!b’

d’où

Cela fait, il est facile de voir que le moment d’inertie de l’aire ABECDFA est égal à la somme des moments d’inertie du rectangle ABGH et du rectangle CDIK, diminuée de ceux des deux rectangles EG et HF. Or, d’après ce que l’on a vu au n° 144, cette quantité est égale à

I ~ [az^ — {a — a'){z — bf a' [b- {- b' — zf] .

La fibre la plus éloignée du plan des fibres neutres est évidemment située à la face CD ou à la distance v'=b-\-b' — z de ce plan ; on a donc :

I , [ az 3 — {a — a ') (z — b)3 + a\b -\-b'— £)3]

expression dans laquelle il faudra substituer, pour chaque cas, les valeurs de 2 relatives aux proportions adoptées.

15B. Proportions ordinaires des pièces en fonte. — Pour les

FLEXION

pièces en fonte du profil précédent , on peut adopter la proportion suivante :

g' = b = {a et b' = g,

ce qui conduit à

z = \a et -, = -j^a3;

et par conséquent on en déduit la formule pratique :

d’où

« ÏT—

Si l’on fait g' = b = \a et b' == {a, l’on en déduit

puis ,

Z tta7

ou environ z—{a\ d’où 5f'=iràfcRrf=BCi

d’où