Des solides qui dans toutes leurs sections présentent

une égale résistance. — La relation ^ = —, du n° 154, qui exprime que le résultat de la division du moment des forces extérieures par rapport à la section que l’on considère, par le plus grand effort que l’on puisse avec sécurité faire subir à la libre la plus allongée ou la plus comprimée, doit être égal au moment d’inertie de la section par rapport à la ligne des fibres invariables , divisé par la plus grande ordonnée du profil à partir de cette ligne , revient comme on l’a vu dans le cas où il n’y a qu’une seule force P agissant à une distance X de la section et parallèlement à son plan , à

PX

d’où

p j R — fX*

Sous cette forme, on voit de suite que pour une matière donnée pour laquelle R est connu , l’effort P que pourra supporter une section quelconque sera constant, si le

second membre a pour toutes les sections la même valeur.

Ainsi par exemple pour une section rectangulaire de largeur a et de hauteur 6, on a (n° 145) 4 = \alf- ou {euf

pour un profil quelconque dont la hauteur serait ij. Or, si le profil longitudinal de la pièce a partout môme largeur a, et si sa hauteur y varie de façon que l’on ait toujours if — lUx,

FLEXION

ce qui arriverait pour un profil parabolique on aura

n~7x üx — ’

valeur constante, qui indique que le solide présentera partout la même résistance à l’action de la force extérieure P.

On déterminera d’ailleurs facilement le nombre k en faisant attention à ce que, pour la section d’encastrement, la hauteur y = b est déterminée par la relation PC = £R ab\ dans laquelle P, G, R et a sont connus, si la largeur de la pièce est

if-

donnée; ce qui conduit ensuite à la valeur de k — ^,b et

C ayant ici les valeurs relatives à la section d’encastrement. On en déduira ensuite pour l’équation de la courbe du profil longitudinal

y- — 2 kx = -~x,

formule dans laquelle x représente l’abscisse de la courbe du profil, à partir du point d’application de l’effort P, et y l’ordonnée de la courbe; telle est la formule qui convient h un profil limité d’une part par une branche de parabole, et de l’autre par l’axe de celte courbe; la résistance de la pièce serait doublée et toujours constante si le profil était limité par les deux branches de la parabole, parce qu’alors chaque section se trouverait double de ce quelle était primitivement.

Si l’on supposait au contraire b constant et que l’on fit a — G pour la section encastrée, et a — x dans toutes les autres, ce qui donnerait à la projection horizontale du so lide la forme d’un triangle dont la base serait égale à la hauteur, on aurait

? = JL = i£Ê=./.

Gc qui permet de faire des consoles d’égale résistance avec des pierres plates ou des pièces d’épaisseur uniforme.

On voit d’ailleurs que Ton pourrait encore trouver d’autres rapports à établir entre les quantités a , b et C pour satisfaire à la condition que tonies les sections fussent d’égale résistance.

185. Solides d’ égale résistance à section circulaire. — Dans ce cas l’on a (n° 152) :

I^ttR'4 t>' = R',

P I ttR'3 et par conséquent p = — = \

On rendra donc le second membre constant si l’on établit entre le rayon de la section transversale du corps, et la distance de la section considérée à la direction de la force P, ta relation

ce qui donnera p = |-tc k ;

1k étant un nombre constant que l’on déterminera encore

facilement ici en observant que pour la section d’encastre-

ment , C est connu et R' déterminé par la relation - = \

ce qui donne 1k = = — g-et par suite, yzz= ~x en dési-