C TC 1\ U
gnant encore ici par x les abscisses de la courbe, mesurées dans le sens de l’axe du solide, à partir du point d’application de la force P, et par y les rayons des sections correspondantes.
180. Cas où le solide n’est soumis qu’à une charge uni formément répartie agissant perpendiculairement à sa longueur. — L’expression générale se réduit alors à
RI
et l’on voit que le solide sera d’égale résistance dans toutes
FLEXION
les sections si l’on satisfait à la condition que ^
li v Li~
soit une quantité constante.»
S’il s’agit par exemple d’un solide à section rectangulaire pour lequel et si l’on suppose a constant, on
remplira la condition ci-dessus en faisant 62 = 2ÆC2, et comme, pour la section d’encastrement, G est donné et que b sera déterminé par la condition :
i^-lP ou V--ML 6 C2 ~ 2 R K ’
on aura entre les ordonnées ij et les abscisses du profil longitudinal du solide la relation
if = 2/^
ce qui est l’équation d’une ligne droite (pl. IV, fig. 1), faisant avec la face supérieure du solide supposée horizontale un angle dont la tangente trigonométrique est
Cette forme est celle qui convient pour les consoles des balcons, dont la charge peut être regardée comme uniformément répartie, quand ils sont entièrement occupés par un grand nombre de personnes.
Nous reviendrons plus tard , en parlant des formes et des proportions usuelles, sur cette considération des solides d’égale résistance, et nous nous bornerons pour le moment h ce qui précède, en répétant que la condition de constance du rapport peut être satisfaite de plusieurs façons, parmi lesquelles il convient de choisir celles qui sont à la fois les plus simples et les plus convenables, suivant la nature des matériaux à employer.
187. Cas où il est nécessaire de faire le calcul pour plusieurs sections transversales. — Lorsqu’au contraire une pièce présentera des formes telles que le rapport^, soit variable, on de-
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vra en appliquant le calcul à plusieurs sections transversales, s’assurer quelles satisfont toutes à la condition d’équilibre
el renforcer celles qui n’y satisferaient pas, en augmentant leur moment d’inertie I.
De la coui*foe élastique et de l’étendue des flexions.
IBo. Tracé de la courbe élastique. — On nomme courbe élastique ou simplement élastique, la courbe qu’affecte un solide soumis à l’action d’une ou de plusieurs forces qui le font fléchir sans altérer son élasticité. Or, si l’on se reporte à la relation du n° 155, cnire les moments des forces extérieures et ceux des résistances moléculaires,
j = Pp + Qy + etc... = M,
on en tire, pour la valeur du rayon de courbure, en un point quelconque de la longueur du solide
El El
1 P p -jrhty -j-ete... M *
S’il s’agissait d’une charge verticale P, agissant de bas en haut, h l’extrémité d’une pièce horizontale de longueur €, et d’une charge uniformément répartie, agissant sur toute la longueur en sens contraire, à raison de p kilogr. par mètre courant, on aurait, pour la section d’encastrement, M — PG — i^C2; ce qui montre que le rayon de courbure serait infini ou la courbure nulle si l’on avait P = a^c, ainsi que nous nous sommes contenté de l’indiquer au n° 170. Alors la tangente au point d’encastrement reste horizontale.
Pour chaque point, on peut calculer la valeur du moment d’inertie I de la section correspondante du solide , el la
FLEXION
somme pp + Qg-fetc... des moments des forces extérieures par rapport au plan de cette section; on en déduira donc la valeur du rayon de courbure , et l’on pourra , à l’aide des valeurs de ce rayon, tracer la courbe de proche en proche.
Pour rendre plus sensible l’application de cette méthode, due à M. Poncelet, supposons (pi. IV, fig. 2) qu’il s’agisse d’une pièce prismatique ou cylindrique à section constante. Le moment d’inertie 1 de cette section sera constant, et si le solide n’est soumis qu’à l’action d’une seule force P, agissant à la distance C de son point d’encastrement A, on aura d’abord le rayon de courbure de l’ élastique en ce point par la relation
El
Le centre de courbure se trouvera en o dans le prolongement de la section d’encastrement à une distance
, on décrira du point o comme centre, un
arc de cercle AA', auquel on donnera une ouverture de 1 à 2° par exemple.
Appelant ensuite G' la distance du point A' à la direction de la force P, on en déduira r — ~ — A'G', et l’on trouvera en o' le centre de courbure correspondant à la section faite en A' dans le prolongement de A'o.
On donnera à ce nouvel arc une ouverture de 1 à 2°, et l’on continuera ainsi à tracer une série d’arcs de cercle, dont l’ensemble donnera par enveloppe la courbe cherchée, qui se terminera à la rencontre de l’un des cercles avec la direction de la force P.
Il peut arriver que les rayons de courbure deviennent tellement grands qu’il soit fort difficile de les employer au tracé. On y suppléera en remarquant (n° 127) que le rayon de courbure est égal h r=^ s étant l’arc élémentaire, et e
l’arc du rayon égal à l’unité qui mesure l’angle de deux éléments consécutifs de la courbe ou celui de leurs tangentes,
et que Ton nomme l’angle de contingence; celle relation El
donne : s — re — ^-f. e pour la section distante de C' de la
direction de la force P; en faisant — x 6,2832 = 0m,025,
ooO°
ce qui correspond à un angle de 2°, on mettra cette valeur dans celle de s , et l’on en déduira la longueur de l’arc correspondant à chaque valeur de C'.
Après avoir donc calculé les premiers rayons de courbure, et tracé, s’ils sont assez petits, les premiers arcs, on prolongera le dernier arc obtenu par sa tangente A'A "p1 par exemple. On fera du côté de la flexion un angle p". AV = 2° avec celte tangente, et sur la ligne p'f A" on por-
EI
tera une longueur A" A'" égale à la valeur de déduite
de la formule précédente.
Cette méthode donnera, dans tous les cas où les flexions ne dépassent pas les limites de l’élasticité, la forme de la courbe élastique avec une approximation bien suffisante pour la pratique.
189. Cas où la courbe élastique est un arc de cercle. — Si le solide prismatique ou cylindrique est sollicité par deux forces égales et parallèles, mais dirigées en sens contraires (pi. IV, fig. 3), ce que l’on nomme un couple, ayant par rapport à la section encastrée des bras de levier C et C', la somme des moments se réduit à PC — PC'^PtC — C') = PD, en nommant D la distance entre les directions des deux forces parallèles. Alors, quel que soit le point du solide que /on considère entre A et D, la valeur du rayon de courbure
El
PD
est constante, et la courbe élastique est pour cet intervalle un cercle facile à décrire.
190, Cas où la courbure de la pièce est déterminée par un gabarit sur lequel il sagit de la ployer . — Dans la construction
FLEXION
des navires, pour le charronage, pour les arcs des ; 1 1 pentes en bois plié, etc., l’on doit souvent faire prendre à des pièces de bois des formes obligées, et il est bon de savoir calculer quel est l’effort à exercer, soit pour les fléchir, soit pour les maintenir fléchies.
Cet effort sera donné dans chaque cas par la formule
El El.e
dans laquelle les différentes lettres ont la même signification que précédemment.
Dans les cas semblables, la pièce a une longueur plus grande que les gabarits, et, à mesure quelle est courbée, on la fixe par des liens, par des chevilles, des boulons ou des vis, selon la nature de la construction. Chaque point de ligature devient un point d’encastrement, et l’on voit que l’effort à exercer à l’extrémité de la pièce, devient d’autant plus grand que l’on approche davantage de l’extrémité du gabarit. C’est pourquoi les pièces de ce genre doivent être surtout très-solidement fixées à leurs extrémités, sur les gabarits, sur les poteaux, sur les membrures, etc., contre lesquelles elles doivent s’appliquer.
191 . Détermination des flèches de courbure. — 11 ne suffit pas, dans beaucoup de cas, de régler les charges ou les dimensions des corps, de manière qu’ils n’éprouvent pas d’altération permanente dans leur élasticité ; mais il importe, en outre, de connaître et de renfermer les flexions qu’ils peuvent prendre, dans des limites convenables pour le service qu’on en attend.
Si l’on se rappelle que, dans les constructions, les flexions éprouvées par les corps sont et doivent être toujours trèsfaibles, on pourra les calculer à l’aide des considérations suivantes, empruntées à M. Poncelet.
Soit C b (pl. IV, fig; 4) la tangente en un point quelconque C de la courbe élastique, et C 'b' celle qui correspond au point infiniment voisin C'. Soit AB' la longueur de la
pièce supposée droite avant sa flexion, et traçons la développante B'M'B de l’élastique. Les tangentes G b et C '6', limitées à cette courbe, seront respectivement égales en longueur aux arcs CB et C'B de l’élastique. Lorsque le corps sera parvenu à la position ACB , sa flexion totale sera mesurée par BD', et quand son extrémité passera de la position b h la position infiniment voisine b ', la flexion élémentaire ou le chemin parcouru dans le sens de l’effort vertical P sera mesuré par la projection b'a de l’arc bb' sur la verticale. Or, cet arc élémentaire bb1 de développante peut être regardé comme un arc de cercle décrit du centre C avec le rayon Cô, et égal à S Xo, en nommant S l’arc CB de l’élastique, et o l’angle des deux tangentes consécutives C b et C ou l’arc
de rayon égal à l’unité qui le mesure ; et comme l’arc élé-
Ss
mentaire de l’élastique CC' ou s = ro , on a bb' = — .
D’une autre part, la projection CD de l’arc CB sur l’horizontale menée par le point C , est le bras de levier de la force extérieure P, et la projection CE , de l'arc CC' sur la même horizontale , est la variation élémentaire x de ce bras de levier.
Cela posé , la figure montre que le triangle rectangle CC'E et le triangle abb' sont semblables , ce qui conduit à la proportion
CC' ou s : CE ou x :: bb ' ou — : ab’\
d’où «&' = — =£. SX*.
r El
à cause de
Dans le cas où les flexions sont très-faibles, ainsi que cela est nécessaire dans presque toutes les constructions , l’arc total S de l’élastique diffère très-peu de sa projection horizontale X , et l’expression ci-dessus revient à
FLEXION
Telle est l’expression de la flèche élémentaire de courbure pour une flexion angulaire infiniment petite. La somme de toutes les quantités semblables donnera la flèche totale BD' que nous appellerons f.
Or, si l’on considère X comme l’ordonnée d’une ligne inclinée à 45° (pi. IV, fig. 5) sur l’axe des abscisses, il est facile de voir que Xx sera l’aire d’une tranche élémentaire, comprise entre deux ordonnées distantes de x, et le produit Xx. X = X*x ne sera lui-même autre chose que le moment de cette aire par rapport au sommet du triangle , ou par rapport à une ligne parallèle à la tranche , menée par le sommet. Donc la somme de tous les produits semblables sera égale à la surface du triangle | X2, multipliée par la distance § X de son centre de gravité au sommet , et , par
conséquent , égale à iX3. Donc enfin, la flèche de courbure
totale, prise par la portion du solide BG , sera et si on la prend pour la longueur totale à partir de la section d’encastrement , pour laquelle on fera X égal à C ou à la longueur du corps avant la flexion , au lieu de prendre sa projection après la flexion , ce qui /compensera à peu près l’erreur provenant de la substitution précédente de X à S , elle sera donnée par la formule
Cette formule montre que d’après les considérations théoriques précédentes, la flèche de courbure d’un solide prismatique ou cylindrique encastré par l’une de ses extrémités , et sollicité a l’autre perpendiculairement à sa longueur par un effort P , est :
1° Proportionnelle à P ;
2° Proportionnelle au cube du bras de levier de cel effort ;
3° En raison inverse de la valeur du coefficient E d’élasticité ;
4° En raison inverse du moment d’inertie de la section transversale du solide.
102. Cas particulier où la section du solide est un rectangle dont la largeur est a, et dont l'épaisseur, dans le sens de Veffort P, est b. — On a vu (n° 145), que dans ce cas, l’on avait I = ab*. On en déduit
Ce qui montre que les flexions des solides de cette forme croissent en raison inverse du cube de l’épaisseur b, et indique tout l’avantage que l’on trouve à augmenter cette dimension, en laissant du reste la même valeur à l’aire ab de la section, et, par suite, au volume de matière employé.
