ACCROISSEMENT

de flexion pour 10 kilogr.

de charge.

VALEUR

DU COEFFICIENT 1 d’élasticité

kilogr.

Moyenne ,

199. Travail consommé pour produire une flexion donnée. — Pendant la flexion , l’effort P nécessaire pour la produire, varie avec cette flexion elle-même, d’après ce que l’on vient de voir, et l’on a pour le déterminer à chaque instant, en le désignant par P', la relation :

et si l’on appelle /'la variation élémentaire de la flexion ou le chemin parcouru par le point d’application de la force P' dans le sens de cette force, le travail qu’elle développera sera :

Le travail total correspondant h une flexion Fi, à partir clc la flexion nulle, sera donc, en le désignant par Tf :

et comme on a d’ailleurs pour la flexion totale, produite par un effort P :

i A ns

on en déduit :

FC3

El '

Or, si l’effort P était exercé par un poids qui, abandonné à lui-même, fut descendu de la Laideur Fi, la gravité aurait développé sur ce corps une quantité de travail exprimée par :

PFi

f FC3

3 El ’

double de celle qui est due aux résistances moléculaires du corps à la flexion.

Dans cette flexion des corps, puisque les résistances moléculaires ne consomment que la moitié du travail développé par la pesanteur et correspondant à sa flexion d’équilibre, il s’ensuit que l’autre moitié de ce travail produit une accélération du mouvement de flexion , et que le corps atteint celte position d’équilibre avec une force vive par suite de laquelle il la dépasse. Ce mouvement s’éteint graduellement par une suite d’oscillations; mais comme il en résulte un accroissement considérable de la flexion momentanée, cette observation montre combien , dans des cas pareils, il est nécessaire de limiter les charges, de manière que dans ces oscillations les flexions n’atteignent pas les limites auxquelles l’élasticité s’altérerait.

200. Cas où le profil transversal des corps n'est pas constant.— Des considérations analogues permettraient de calcu-

1er la flexion totale d’un corps, pour lequel la section transversale , et par suite le moment d’inertie I , varieraient en même temps que la distance X de cette section au point d’encastrement. Les méthodes connues de quadrature et en particulier celle de Th. Simpson permettent de déterminer exactement ou approximativement cette quantité.

201. Flexion d'un prisme horizontal encastré à l'une de ses extrémités et soumis à une charge uniformément répartie et à une charge qui agit à Vautre extrémité. — Dans ce cas, si l’on continue à raisonner comme au n° 191 et si l’on nomme p la charge par mètre courant , il est clair que la somme des moments des différentes parties de la charge uniformément répartie sera la somme des produits pxxX ou pXx, en supposant toujours qu’il ne s’agisse que de petites flexions , ce qui permet de substituer aux arcs élémentaires leurs projections sur la direction primitive du solide ; cette somme que nous avons appris à calculer est égale à a^X8.

La relation d’équilibre entre les résistances moléculaires et les forces extérieures pour une section faite en C sera donc :

LWx-HpX3, d’où i=l(PX + !pX’).

Par conséquent la flexion élémentaire ab' = — a pour

valeur, en mettant encore pour S sa valeur approxima * tiveX,

a6'=Ç = L(PX!* + ipX^),

et la flexion totale f sera la somme de toutes ces flexions élémentaires. On sait que la somme des produits analogues à X*x depuis X = 0 jusqu’tà X = X est £ Xs, et il est facile de voir que celle des produits Xzx entre les mêmes limites est { XL

En effet, si l’on considère (pi. IV, fig. 6) une pyramide

à base carrée dont la hauteur CD soit égale au côté AB de la base, une tranche élémentaire de cette pyramide dont le côté sera X , aura pour volume X2# et [le produit X3# = X2#X exprimera le moment de cette tranche par rapport à un plan parallèle à la base et passant par le sommet. La somme de tous ces produits ou moments sera donc égale au volume de la pyramide £ X3 multiplié par la distance f X de son centre de gravité au sommet ou à ^ X3 . £ X =

ix\

Par conséquent, en remplaçant la projection CD = X du solide par sa longueur totale C (fig. 5), cela compense l’erreur commise plus haut par la substitution inverse, et l’on trouve pour la flexion totale du solide :

P + 3 PC ) — 3 gi ( P + 8 PC)-

On voit que la charge pC uniformément répartie sur la longueur du solide, produit la même augmentation de flexion que si l’on avait accru la charge P de fpC , ou en d’autres termes, sous le rapport de la flexion, une charge uniformément répartie produit dans le cas actuel la même flexion que les trois huitièmes de cette charge, placés à l’ extrémité du corps, à la distance C de son point d’encastrement, tandis qu’on a vu au n° 161 que sous le rapport de l’équilibre entre les forces extérieures et les résistances moléculaires, la charge uniformément répartie équivaut à une charge moitié moindre agissant à l’extrémité du solide.

202. Cas où la charge P et la charge] Uniformément répartie agissent en sens contraires. — Dans^ce cas il est évident que l’on aurait :

/=*§Cp-fpC).

Et si la charge P avait été réglée comme il est dit au n° 188, de manière que la courbure fût nulle à la section

FLEXION

d’encastrement, ce qui arrive pour P = |^C, on aurait encore à l’extrémité une flexion égale à

f — i ip ' 3 El* 8 ’

c’est-à-dire égale au £ de celle que la charge P aurait produite seule.

205. Flexion d'un prisme horizontal posé sur deux points d’appui et chargé d’un poids 2P au milieu de la distance 2G des appuis et d'une charge uniformément répartie à raison de p kilogr. par mètre courant de sa longueur. — Lorsque le solide est arrivé à la position d’équilibre, la tangente au point le plus bas de sa courbure étant horizontale comme à l’origine de sa flexion, la section en ce point peut être considérée comme encastrée. La pression sur chacun des appuis est P-j-^C, et l’on peut regarder le solide comme soumis d’une part à cette pression agissant de bas en haut, et de l’autre à la charge pC uniformément répartie sur sa longueur et agissant au contraire de haut en bas. Pour appliquer à ce cas la formule précédente, il faut donc remplacer P par P -f- pC et observer que la charge uniformément répartie est dirigée en sens contraire de celle P -\-pC qui agit à l’extrémité. D’après cette observation la flexion totale de ce prisme se calculera par la formule :

/=l§(P+pC-|PC) = i^(P+|PC),

si la charge uniformément répartie était nulle ou négligeable par rapport à P, on aurait pour la flexion :

f — - — P /--3ErF-

D’où l’on voit que la charge uniformément répartie équivaut dans ce cas, quant à la flexion , à une charge égale aux J de sa valeur totale , agissant au milieu de la distance des appuis.

Ou si Ton suppose successivement le corps simplement soumis à l’action de la charge 2pC uniformément répartie sur sa longueur, auquel cas P = O et

puis soumis à Faction de la charge 2 pC agissant au milieu de sa longueur, cas où la flexion serait égale à

on voit que la même charge totale 2pC supportée par un solide librement posé sur deux appuis , produit des flexions qui sont dans le rapport de 5 à 8 selon qu’elle est uniformément répartie ou concentrée au milieu de la distance 2C des appuis.

204. Moyens de vérification de ces formules par V expérience. — Les formules précédentes permettent de vérifier facilement l’exactitude des considérations théoriques sur lesquelles elles sont basées, par l’observation des flexions qu’éprouvent, sous des charges données, des solides de dimensions connues.

En effet , dans le cas le plus facile à expérimenter d’un solide prismatique ou cylindrique , librement posé sur deux appuis, chargé en son milieu, et en tenant compte de son poids propre, on tire de la formule qui donne la flèche de courbure

relation dans laquelle la substitution des valeurs simultanées de P, p , C, I et f donnera la valeur correspondante du coefficient d’élasticité E. Or, si la comparaison des valeurs obtenues pour E entre des limites convenables de courbure ou de flexion, pour différentes charges ou différentes portées, montre qu’entre ces limites ces valeurs sont sensiblement constantes; l’on sera en droit de conclure que la for-

FLEXION. 213

mule est exacte et d’accord avec l’expérience dans toute cette étendue.

On peut ainsi faire varier successivement pour un même corps , les éléments qui entrent dans la formule qui lie les flexions à ces éléments , et s’assurer si ces flexions suivent effectivement, entre certaines limites, les rapports déduits des considérations théoriques précédentes.

205. Vérification des formules précédentes par les résultats des expériences de M. Ch. Dupin. — Si nous nous reportons aux expériences de M. Ch. Dupin, dont nous avons fait connaître au n° 124 les principaux résultats, nous verrons que ces expériences faites sur des prismes à section rectangulaire, pour lesquelles on aurait, dans le cas d’une charge 2P placée au milieu de la longueur 2C du solide,

4Pf3

ont complètement vérifié qu’entre les limites où l’élasticité n’est pas altérée, les flexions des bois sont :

1° Proportionnelles aux charges et aux cubes des portées.

2° En raison inverse de la largeur et du cube de l’épaisseur des pièces.

Quant aux solides soumis à une charge uniformément répartie, le même ingénieur a aussi constaté que la flexion est alors les § de celle qui serait due à une charge équivalente placée au milieu de la pièce , comme l’indiquent les formules.