Extension des considérations précédentes au cas (jé

Sæ? ,

néral. — On doit remarquer que la relation ab' = — n’est

qu’une conséquence géométrique de la flexion, du changement de forme des corps, et que dans cette expression Sa; est tout à fait indépendant de la position de la force ou des forces qui produisent cette flexion ; la quantité r ou le rayon de courbure en chaque point dépend seul de ces forces, et Ton sait que l’on a pour toutes les positions d’équilibre, entre toutes les résistances moléculaires et les forces extérieures, la relation générale :

y =Pp + (3s, + etc.., d’où l’on tire 1 = SP c^c:i‘

Donc si le corps est sollicité par des forces quelconques P, Q, etc.., agissant avec des bras de levier p , q , etc.., par rapport h la section que l’on considère, on aura, d’après ce que l’on a dit au n° 155 pour la valeur de r :

El

r~ Pp + üÿ-f-etc... ’

• i ir Pü — f— Q<7 -}— etc. . . 0

ce qui donnera ab = — — ! — ^ S#,

cl pour une flexion très-petite, attendu que S--X à trèspeu près :

a/y = ^ + Qy.+ e.tC-.X.r.

Jul

D’après la direction et la position des forces P, Q, etc , on pourra exprimer leurs bras de levier en fonction de X, et alors la géométrie donnera, comme pour le cas simple que l’on vient de traiter, la valeur de la somme des flexions élémentaires analogues à ab', ou la flèche totale.

197. Observation relative aux solides d'égale résistance.-— On a vu au n° 184 que les solides d’égale résistance étaient ceux pour lesquels le quotient était constant, et que

quand, par exemple, leur section transversale était rectangulaire, cette condition revenait à donner au profil longi-

FLEXION

-Oo

inclinai une forme telle que , dans chaque section transvcrsale, on ait toujours =

Dans ce cas, le moment d’inertie d’une section quelconque de largeur a et de hauteur y est et l’ expression de la

flexion élémentaire devient :

Or on a :

ab — 7r-r \2x == -ft— • — — • El La y°

=jTX; d’où y = --~yj\ et tf=-

ce qui donne :

ab

12Py /Ç» X^__12Pv/C3x ’

Ea&3 v| Lab*

Mais si Fon pose X = Z2, on en déduit facilement pour la variation élémentaire x de X la valeur x — 2Zs, attendu que Z2 étant la surface d’un carré dont le côté est Z, il est facile de voir que si ce côté augmente de la quantité infiniment petite -s, la surface du carré augmentera de deux rectangles égaux dont les côtés seront respectivement égaux à Z et à et la surface égale à Zs, plus un petit carré £9 négligeable, attendu que sa base et sa hauteur sont deux quantités infiniment petites. Donc la variation du carré Z2 ou celle de X est x = 2Zz.

Au moyen de celte transformation, la valeur de la flexion élémentaire du solide devient donc :

ab'

1 2P y/ç3 ,r/ E aUà

Et la flexion totale étant la somme de toutes les flexions élémentaires semblables, on aura, d’après ce que l’on a ui précédemment, en supposant que l’on prenne la flexion depuis la section encastrée :

12Py/G3 , ^ 1 2Î\/C3 f ^3 SPC3 La bz y E «6® ;AV ;”Ea63*

C’est-à-dire le double de la flexion que prendrait, sous le même effort et à la même longueur, un prisme de même largeur, mais d’épaisseur uniforme à partir de l’ encastrement.

Cette propriété des solides d’égale résistance de prendre des flexions doubles de celles des solides prismatiques, de même dimension à la partie encastrée, peut être un inconvénient quand on veut que l’extrémité sur laquelle agit la force extérieure P se déplace ou s’abaisse très-peu. Mais s’il s’agit de ressorts, et en particulier de lames de dynamomètres, elle offre l’avantage de permettre de donner à Finstrument une sensibilité double , en lui conservant la même solidité que s’il avait eu partout la même section qu’à F encastrement.

198. Vérification de la foi'mule 'précédente par V expérience. — L’application de la formule :

' ~Èô&â’

que j’ai eu occasion de faire très-souvent pour la construction des lames de dynamomètres , fournit une vérification de l’exactitude de cette formule entre des limites très-étendues. (Voy. la description des appareils dynamométriques, n° 2 et suiv.)

D’abord la tare de ces lames ou l’observation des flexions correspondantes à différentes charges P, montre que les flexions sont proportionnelles aux charges tant que les flexions ne dépassent pas J- ou ^ de la longueur C. De plus, en observant pour différentes lames les valeurs simultanées des charges et des flexions, et en les introduisant, ainsi que les dimensions a et b, dans la formule, on a pu en déduire chaque fois la valeur du coefficient E d’élasticité pour chacune d’elles.

Lorsque les lames comparées ont été faites avec la même qualité d’acier, qui était généralement de celle dite acier

d’Allemagne à trois marques , ïa constance des valeurs de E a fourni la vérification de l’exactitude de la formule.

Le tableau suivant contient les résultats de l’application que nous venons d’indiquer de la formule précédente à des lames d’acier d’Allemagne, ainsi que leurs dimensions et le rapport des flexions aux charges. On y voit que ce rapport et le coefficient d’élasticité sont sensiblement constants, si l’on a égard aux différences assez notables que pourrait y avoir apportées le degré de trempe , de recuit et la qualité même de l’acier.

I FORCE

1 maximum

1 des

9 lames.