AC
f=^3(P+lpQ.
Puis, en y introduisant pour E sa valeur selon les matières employées, on a pour :
la fonte le fer
(P-t-fffC)C3 3000000000 ab* 9
(P + §pC)Cs
5 000000000 abs’
le bois de chêne
f= (P + §pC)C3 ' 300 000 000 «63*
200. Solides cijlindriques. — De même pour les solides cylindriques à section circulaire, pour lesquels on a 1 = 0,0491 D4, on trouve pour:
la fonte le fer
(P + fpC)C8
le bois de chêne
(P + |pC)C3
209. Solides cylindriques creux. — Dans ce cas, l’on a (n° 153) 1 = 0,0491 (D'4 — D"4), en appelant D et D" les diamètres extérieur et intérieur, et l’on trouve pour formules pratiques :
pour la fonte
(P-HpC)C3
FLEXION
le fer
(P + fpC)C3
2940 OOO OOO (D'4 — D"4) ’
(P + IpOC3
le bois de chêne f
L’application aux autres formes ne présenterait aucune difficulté.
210. Solide posé sur plusieurs points d'appui équidistants, et chargé de poids égaux au milieu de chacun des intervalles . — Il est facile de comprendre que si l’on considère fpl. IV, fig. 7), ce qui est relatif à la partie du solide comprise entre deux points d’appui consécutifs B et C, en ayant égard aux charges 2P qui agissent à droite et à gauche, la pression sur chacun des appuis B et C sera égale à 2P, et qu’en lui substituant la réaction égale et contraire de l’appui, le solide pourra être considéré comme libre et soumis à deux séries de forces parallèles et égales entre elles.
Il est clair qu’il s’infléchira alternativement en sens contraires sous l’action de ces forces, et qu’entre deux points d’application consécutifs, il y aura dans sa courbure un point d’inflexion, où la courbure et l’extension ou la compression des fibres seront milles, absolument comme aux extrémités d’un solide posé librement sur deux points d’appui.
Il en résulte que quand la position de ces points d’inflexion a , b , a ', b ' sera connue, on pourra considérer les parties ab , ba' , a'b', b’ al',... du solide, comme indépendantes les unes des autres ; et les regarder isolément comme posées librement sur des appuis à chacune de leurs extrémités, et soumises à faction des forces 2P qui agissent aux milieux de leurs longueurs respectives.
Dans le cas supposé où les charges sont égales et agissent au milieu des points d’appui, il est évident que les réactions des appuis étant aussi toutes égales à 2P, tout est symétrique , en dessus et en dessous , entre les deux points d’appui B et C, de sorte que les points d’inflexion
se trouvent nécessairement au milieu de la longueur de chacune des deux parties égales B m! et m'C du solide, celui-ci pouvant être, ainsi qu’on l’a dit plus haut, considéré comme supporté librement en ses points d’inflexion a' et b', et chargé en son milieu du poids 2P.
La distance horizontale des points d’inflexion a' et b'9 est la moitié de la portée 2C entre les appuis B et C, et la condition d’équilibre sera donc
Bd PG
ce qui montre que, dans ce cas, le solide peut supporter une charge double de celle qu’il aurait pu soutenir avec la même portée BC, s’il avait été simplement posé sur les deux appuis B et C.
La flexion éprouvée par la portion a'b' du solide, sera donnée par la formule (n° 191)
mais chacun des points a ' et b' se sera abaissé d’une quantité égale à la précédente, puisque tout est symétrique et que les points B et C, considérés comme milieux des portions ba' et b'a"7 auraient éprouvé un déplacement vertical égal à celui du point m'.
Par conséquent, l’abaissement du point m', milieu de la longueur totale BG du solide , ou la flexion totale , sera égale à
I— iï gj >
c’est-à-dire au quart de la flexion | que la même longueur du solide aurait éprouvée sous l’action de la charge 2P, si la partie BC du solide avait été librement posée sur deux appuis.
FLEXION
211 . Application de ce qui précède au cas des solides encastrés par leurs deux extrémités. — Ces conséquences, ainsi déduites directement , sont précisément celles que les géomètres ont établies à l’aide du calcul pour le cas où le solide est encastré par ses deux extrémités. On voit, en effet, que le solide que nous avons considéré, se trouve, par la présence des appuis qui le soutiennent et son prolongement au delà de ces appuis, exactement dans les mêmes conditions que s’il était solidement encastré, de façon que la tangente à ses extrémités B et C, fût et restât horizontale malgré l’action de la charge placée au milieu de sa longueur.
Cette condition de l’encastrement est suffisamment remplie, lorsque, comme dans le cas examiné ci-dessus, le solide étant prolongé au delà du point d’appui B, il existe de l’autre côté une force ou une charge, dont le moment,, par rapport à ce même point, soit égal et contraire au moment PC qui tend à produire la rotation ou le relèvement de l’extrémité B. Telle est la condition à laquelle on arrive en définitive pour assurer l’encastrement.
212. Observations sur la manière d’obtenir l’encastrement. — Ce qui vient d’être dit montre que si l’on appelle L (pl. IV, fig. 8 ) la longueur encastrée du solide , l’effort Pi qui sera exercé à son extrémité A! sur l’encastrement, sera donné par la formule
Pf
Pi.L = PC, d’où
ce qui montre que cet effort doit être d’autant plus grand, que la profondeur L de l’encastrement est plus petite.
Généralement dans les constructions, et dans celle des planchers en particulier, la longueur d’encastrement n’est que de 0ni,30 à 0m,50 au plus, et ne suflit pas pour assurer complètement l’encastrement, ce qui conduit à calculer les dimensions des poutres comme si elles étaient simplement posées librement sur deux points d’appui.
Mais il n’en est pas moins vrai que dans les constructions
soignées et bien faites, l’encastrement est, sinon parfait, du moins partiel, et, qu’après s’être un peu relevées, les extrémités des solides rencontrent un obstacle qui les arrête et les fixe.
On réalise aussi en partie l’hypothèse dans laquelle nous avons raisonné au n° 211, quand on prolonge, comme aux ponts de Bangor, les solives au delà des appuis sur lesquels elles reposent, et quand on les relie à ces appuis par des boulons de fondation et autres moyens d’attache.
213. Détermination de ï inclinaison des tangentes à la courbure des solides. — Considérons d’abord un solide encastré par l’une de ses extrémités et soumis à l’action de forces extérieures dont la somme des moments, par rapport à une section faite en C par exemple (pl. IV, fig. 9), soit désignée par M , et proposons-nous de trouver l’angle que forme la tangente au point C avec la tangente horizontale au point d’encastrement A.
Si l’on remarque que, d’après les notations de la figure
du n° 191 , l’on a : s = ro. d’où - = - , la relation d’é-
El 1
quilibre — =M deviendra, en y mettant pour - sa valeur :
on a , d’ailleurs,
,, 1 cos O
CE=scosO = # ou - = ,
x étant la projection horizontale de l’arc élémentaire CC' = s, et O l’angle formé par la tangente Cm au point C que l’on considère avec l’horizontale, et dont o = mCn est la variation élémentaire. La relation ci-dessus revient donc à
El — °-s-9 — M , d’où l’on tire o cos O = ^ Mx. x El
Or, il est facile de voir que quand un angle mCD = 0 varie d’une quantité élémentaire o, on a par les triangles
FLEXION
semblables C mp et ?mi, en supposant le rayon Cm égal à l’unité ,
mn ou o : ni : : Cm ou 1 : Cp ou cos O ; d’où l’on tire
ni = o cos 0, ce qui donne ni = ^ Mx ;
expression dans laquelle ni est la quantité dont varie la ligne mp ou le sinus de 0 , quand l’angle 0 varie de o. La somme des accroissements de ni depuis l’horizontale Cp pour laquelle l’angle 0 est nul jusqu’à la ligne Cm correspondant à mCD = 0, est donc le sinus de l’angle 0, et ce sinus sera égal à la somme de tous les produits élémentaires Mx r prise depuis le point A d’encastrement, jusqu’au point C que l’on considère.
Dans le cas particulier où le solide n’est soumis qu’à l’action d’une seule force P agissant à la distance X de la section C, on aura
M=PX, = et sinO = ^i P(C4— X2),
en prenant la somme des produits VXx depuis la valeur X = C qui répond à la section d’encastrement. Si l’on étend cette somme jusqu’à X = 0 qui répond à la direction même de la force P, l’expression ci-dessus se réduit à
et comme dans ce cas l’on a, d’après le n° 191,
r~3 El ’
