PP

d'où «J

il en résulte qu’en remplaçant par cette dernière valeur, l’expression ci-dessus peut se mettre sous la forme

sinO = f g.

Ce qui donne, d’une manière très-simple, la valeur du sinus de l’angle d’inclinaison de l’extrémité du solide.

244. Cas où le solide supporte , en outre , une charge uni formément répartie. — Si le solide est soumis en même temps une charge uniformément répartie et à un effort P perpendiculaire à sa longueur, exercé à son extrémité, on a

M = PX+ |i?X2,

et , par suite, ni = ~ (PX# -f- {pX*x).

La somme de tous les produits semblables à ceux que contient le second membre, prise depuis la valeur X=C, pour laquelle sin 0=0, jusqu’à X, est connue, et l’on en déduit

sin O = A [*P (C2-X3) + %p (C3-X3)],

et en étendant cette expression jusqu’à l’extrémité du solide pour laquelle X = 0, elle donne

sin O = A (| PC'+ ipC*) = (PC + ipC).

215. Cas où la charge uniforme et la force extérieure agissent en sens contraires. — Dans le cas où la charge uniformément répartie et la charge extérieure agiraient en sens contraires, on aurait

M = P X—±pX»,

et , par suite, ni — (PXx — £ pX*x) ,

et il se présente quelques circonstances particulières auxquelles il importe de faire attention; on voit d’abord que tant que l’on aura PX>|j?X2, la valeur de sin O sera

sin 0 = A [4 P(C s- X*)- ^ (C3 — X8)].

Celte quantité, qui est nulle pour X = C, c’est-à-dire à la

FLEXION

section d’encastrement, va en croissant jusqu’à la limite

où PX = £/>X2, ce qui correspond à X = — , valeur pour

laquelle ni = 0, ce qui indique que le sinus mp de l’angle d’inclinaison de la tangente Cm à la courbe cesse de croître, et a atteint son maximum. Il conviendra de calculer la valeur de sin O jusqu’à cette limite, que nous désignerons par O', et elle sera donnée par l’expression

sin 0'= ~ li P (C!-X’!) - y p (C3-X'3)],

en désignant par X' la distance du point d’inclinaison maximum à la direction de la force P.

Puisque l’inclinaison de la tangente a cessé de croître à partir de ce point, et qu’elle diminue au delà, il s’ensuit qu’il se produit dans la courbe une inflexion.

Comme au delà du même point on a PX< J^X2, la quantité M=PX — £i?X2 devient négative, ce qui montre que

ni = (PX# — ^pX2#)

est une quantité soustractive ou négative, et que la somme de ses valeurs absolues à partir du point d’inflexion, devra être retranchée de celle de sin O'. En changeant donc le signe de cette quantité dont varie le sinus, elle deviendra

-îjdpx2#— px#),

et la somme de ses valeurs, prise depuis X = X' jusqu’à X = X" :

i fèpCX’3 — X"3)— ^ P (X'2 — X"2)],

devra être retranchée de sin O' pour donner la valeur de sin O correspondante à la distance X"; on aura donc

sin O = sin O' — L [$ p (X'3— X"3) — |P (X'2 — X"!)] .

On voit que l’on aura sin 0 = 0, ou que la tangente à la courbe deviendra horizontale pour la valeur de X", telle que la relation

sin O' === [i p (X'3 X"3) - 1 P (X'*-X"*)]

soit satisfaite.

On pourra trouver par un tracé graphique la valeur de X" qui satisfera à cette condition , en se donnant à partir de X' une série de valeurs croissantes pour X", et les prenant pour abscisses d’une courbe dont les ordonnées seraient les valeurs du second membre de la relation ci-dessus. En menant ensuite une parallèle à la ligne des abscisses à une distance égale à sin O', elle coupera la courbe en un point dont l’abscisse sera la valeur de X" qui correspond au point de la courbe pour lequel la tangente est horizontale.

A partir de ce point la quantité

croissant de plus en plus et étant plus grande que sin O', il s’ensuit que sin O devient négatif. Ce qui indique que la courbe se relève et que ses tangentes font avec l’horizontale des angles dont les sinus sont dirigés en sens contraire de ceux de la première partie.

La plus grande de ces valeurs négatives correspondra d’ailleurs évidemment à la valeur X" = 0 ou au point d’application même de la force P.

On voit par ce qui précède que l’on pourra déterminer les variations dans la forme du solide, et l’on remarque que les fibres n’étant ni allongées ni comprimées au point d’inflexion, le corps n’y éprouve aucune fatigue. Au contraire le point d’encastrement À est de toute la partie gauche limitée au point d’inflexion le lieu de la plus grande fatigue et le point où la tangente est horizontale. Il en est de même du point d’appui de droite par rapport à la partie située à droite.