EN MILLIMÈTRES

FLEXION

par

500 kil.

kil.

mill.

On remarquera que la flexion, pour 500 kilogr., va en diminuant à mesure que la charge augmente ; mais celte dif-

FLEXION

férence s’explique par l’impossibilité dans laquelle on s’est trouvé d’obtenir, pour les premiers 500 kilogr., une flexion aussi peu considérable que pour les charges suivantes. Cet effet ne peut s’expliquer qu’en admettant que le contact avec les appuis n’est pas assez intime lorsque la poutre n’est pas chargée , et cependant on n’a pu se mettre à l’abri de cette circonstance , même en chargeant par avance , et en dehors de la portée , les extrémités de la poutre par un poids égal à celui qui devait être ensuite uniformément réparti sur sa longueur. Peut-être aussi les assemblages cédaient-ils un peu sous le premier effort; mais quoi qu’il en soit à cet égard, toujours est-il que si nous retranchons des flexions totales la flexion /i = 2mill,580, et si nous cherchons après ce retranchement quelle est la flexion par 500 kilogr., nous trouvons successivement, à l’aide des chiffres du tableau précédent , 2mill,305, 2raill,305, 2“in,290 , 2mill,290, et ces chiffres offrent certainement une concordance aussi exacte qu’il est permis de l’espérer dans de semblables expériences .

Nous admettrons donc , conformément à ces considérations, que la poutre construite par M. Kaulek, et soumise aux expériences faites au Conservatoire des arts et métiers, fléchit de 2mill,30 pour une charge uniformément répartie de 500 kilogr., et que la proportionnalité entre les charges et les flexions existe au moins jusqu’à une flexion totale de llmiU,642 ou 3^ de la portée, qui ne doit jamais être atteinte dans la pratique , et qui correspond à une charge totale de 2500 kilogr. Cette valeur de la flexion par 500 kilogr., introduite en même temps que celle de I dans la formule

' “ 3 El

donne

0 00;,3, 8 X j X 250H1 ü,> ~ 3 EX 0,000018 ’

d’où l’on tire E = 10 065 000000UI,

pour la valeur du coefficient d’élasticité. Ce chiffre est peu

différent de celui qui a été déduit des expériences de M. Fairbairn, et il n’est pas étonnant qu’il soit un peu inférieur, l’ensemble de la disposition consistant en matériaux moins solidaires entre eux que les barres à double T sur lesquelles les expériences de M. Fairbairn ont été faites.

En adoptant pour coefficient d’élasticité E=12000000000kil pour le fer à double T, Ms, de même poids que la poutre de M. Kaulek, on trouverait

f — 3mill,24,

ce qui démontre l’avantage de la nouvelle disposition , qui permet en outre de couvrir d’une manière rigide un large espace, en assurant la solidarité des pièces longitudinales.

Quant à la vérification de la conséquence théorique relative à la charge unique placée au milieu de la portée, elle n’a été faite que pour 315 et 630kilogr., qui ont respectivement fourni des flexions identiques à celles de 500 et de 1000 kilogr. uniformément répartis. Or, on a = 0,630 et = o,630, tandis que la théorie indique, pour le rapport des charges , la valeur g = 0,625. Celte loi , déjà vérifiée sur les bois par M. Dupin, l’est donc aussi, par nos expériences, pour les poutres en fer.

2d4. Des poutres en bois avec armature en fer. — - On a quelquefois essayé d’augmenter la solidité des poutres en bois en les garnissant extérieurement ou intérieurement de feuilles épaisses de tôle. Une expérience de M. Fairbairn montre que la différence de flexibilité des deux substances doit rendre les constructeurs circonspects dans l’emploi de ce système d’armature.

Une poutre en bois, de deux pièces de 0m,305 de largeur et d’épaisseur, et de 6m,70 de portée , ayant à l’intérieur une feuille de tôle de 0m,305 de hauteur, et de 0m,0095 d’épaisseur, fortement serrée par des boulons, a été successivement chargée en son milieu , et l’on a mesuré les flexions.

FLEXION

CHARGES

placéesau milieu.

FLEXIONS

OBSERVATIONS

kil.

* La charge de 2 1 3 1 5 kil. ne fut enlevée qu’après IG heures et l’on reconnut alors que le solide avait pris une flèche permanente de 0m,033.

D’après ces dimensions , cette pièce aurait pu supporter d’une manière permanente :

Pour le bois seul. . . . 1694kil,0

Pour le fer seul 527kil,6

222lkil,6

On trouve en effet parles formules pratiques du n° 174 : Pour le bois

p ICO OOP X 0,305* g47m

et pour le fer

263kil,80.

En admettant que la pièce de bois ait rompu sous une charge décuple de celle que cette formule indique, on voit qu’elle se serait brisée sous 16 940 kilogr. environ , et que l’emploi de la feuille de tôle paraîtrait lui avoir en réalité donné un surcroît de résistance ; mais après le déchargement, la pièce composée a conservé une courbure permanente de 0m,033 ou de On voit que la différence d’élasticité des

deux substances est une cause de déformation des solides de ce genre, et exige qu’on limite les flexions à celles du corps le moins élastique , de façon que l’ensemble des deux pièces ne prenne pas de courbure permanente.

Je pense, malgré cela, que dans certaines circonstances où les dimensions des pièces en bois seraient forcément limitées, l’usage d’armatures en fer pourrait être utile, surtout quand les charges n’excéderaient pas de beaucoup celles qu’indiquent nos formules.

C«ran «la tubes eu tôle.

255. Observations de M. Fairbairn sur la forme la plus convenable pour les ponts tubulaires. — Dès ses premières expériences sur les tubes cylindriques, elliptiques ou rectangulaires, M. Fairbairn avait remarqué que, quand les rivures étaient solides, tous les tubes cédaient par la partie supérieure qui se plissait sous l’effort de compression. Ce premier résultat montrait :

1° Que dans les tubes comme dans les solides pleins qui fléchissent, la partie concave est soumise à la compression et la partie convexe à l’extension ;

2° Que la résistance du fer forgé à l’écrasement par compression est beaucoup moindre que sa résistance au déchirement par extension.

C’est cette observation qui le conduisit d’abord à employer, pour le sommet des tubes , des plaques plus fortes que pour le fond , puis à proposer enfin la forme cellulaire qui fut définitivement adoptée par M. Slephenson.

256. Expériences sur la recherche des proportions à adopter pour les ponts tubulaires de chemins de fer. — Après avoir été ainsi conduit , par ses expériences préliminaires sur des tubes de différentes formes, avec des portées qui n’avaient pas dépassé six mètres, à adopter pour la partie supérieure des tubes projetés, une section transversale de forme

FLEXION

cellulaire composée de rectangles, M. Fairbairn se proposa de déterminer, à l’aide d’expériences successives, la proportion qu’il fallait établir entre les aires des sections transversales du sommet et du fond pour de semblables tubes.

A cet effet , il fit faire un premier tube à sommet cellulaire et dont le fond en feuilles plates de tôle pourrait être successivement renforcé jusqu’à ce que l’on fût arrivé grad uellement à des proportions qui présentassent à peu près la même résistance, pour le sommet, à l’écrasement par compression, et pour le fond , au déchirement par extension. C’est dans cette vue qu’ont été conduites avec beaucoup de méthode, par cet illustre ingénieur, les expériences suivantes que nous allons discuter avec détail, attendu leur grande importance.

Les proportions des tubes à expérimenter furent fixées à }. de la grandeur réelle des ponts proposés. Le pont Britannia, devant avoir 450 pieds anglais de portée; celle du modèle fut fixée à j4r = 75P = 2*2m,875; la hauteur au milieu de la longueur à 4p,6° = lm,37, et la largeur à 2p,8° = 0nî,8l3,

L’épaisseur des tôles fut aussi le sixième de celle que l’on se proposait d’adopter pour le tube du pont Britannia.

Il résultait de ces proportions qu’en passant du modèle au tube réel la section transversale résistante croissait dans le rapport de 1 à 36 , et le poids du tube dans celui de 1 à 216.

Les figures (pl. 1Y, fig. 16 et 17) donnent une idée de la disposition adoptée pour ce modèle.

Le sommet se composait de six cellules de 6po,5= 0nî,165 sur 6po = 0m,152 avec recouvrement des feuilles l’une sur l’autre de lpo = 0m,0254. Lorsqu’une rupture avait été produite dans les expériences, les joints étaient recouverts par une plaque de couverture.

Les cellules étaient formées par une simple cornière (pl. IV, fig. 18), dont la section transversale avait 0P-V75 — 0™ ‘1,000143, mais les côtés et le sommet étaient réunis

par des cornières plus fortes d’une section de CF q, 325 ==0ra,q,000210.

Les feuilles de tôle formant les côtés étaient assemblées à recouvrement de 2.p° = 0nl,0508 de largeur avec un simple rang de rivets. A toutes les interruptions des cornières on avait rivé une plaque sur le joint.

Le fond était formé de deux feuilles rivées sur une bande de tôle de 3p° = 0rc,1062 de large, régnant sur toute la longueur du tube.

Les joints transversaux étaient recouverts par des plaques de de long sur 1p!,6° = 0m,457 de large.

L’épaisseur des plaques était mesurée en empilant un certain nombre de morceaux coupés régulièrement et bien dressés, et en prenant l’épaisseur totale pour la diviser par le nombre des plaques.

Le tube en expérience reposait par ses extrémités sur deux piles en maçonnerie représentées (pl. IV, fig. 17) ; afin d’éviter de donnera ces piles une hauteur considérable , une fosse était pratiquée au-dessous du tube , vers le milieu de la portée , et la charge , formée de poids en fonte , était librement suspendue au-dessus de cette fosse, au fond de laquelle les poids devaient venir reposer en cas de rupture.

Les expériences exécutées sur ces modèles de tube ont été très - nombreuses , mais nous nous bornerons à celles qui sont nécessaires pour l’exposition des résultats auxquels M. Fairbairn est arrivé.

257. 33* expérience. — Le modèle de tube avait les dimensions suivantes :

Longueur, 23m,79;

Portée, 2C = 22m,88;

Largeur du corps, Cm,813;

Largeur du sommet , a = 0n\907 ;

Hauteur du sommet, e = Gm,170;

Épaisseur des tôles du sommet, 0m,0037 ;

FLEXION

Épaisseur de la tôle du fond, el — Om, 00476;

Largeur du fond, a' = 0m,890;

Épaisseur de la tôle des côtés, 0m, 00251 = ex\

Hauteur des côtés, lm,073;

Poids du tube, 2/?C = 4933kil ,

Pour trouver la distance du centre de gravité ou des fibres invariables au sommet du tube, on a d’abord, en nommant A Faire de la section transversale du sommet,

A ““ |) + ei — e ? = a'ei (b — x)-\-et{b — x)*y d’où l’on tire

D’après ces dimensions, l’aire de la section de la partie supérieure, y compris les cornières dont les dimensions 11e sont pas données, était en tout

A = 24po,(I,024 = 0m,q,015495 ;

celle du fond,

A' = a'e 1 = 8po,q,8 = 0m*q, 00576 , et celle des côtés,

A" = 2^(6 — e) = 0ni*q, 005805 ; de sorte que la formule peut prendre la forme

Cela posé , on calculera d’abord le moment V du sommet par rapport à une ligne NO (pl. IV, fig. 16), qui passe par son milieu, et en nommant a2 la somme des largeurs inté-

Heures des six cellules , et leur hauteur intérieure , on aura

F = Tî(ae3 — a2e £).

En multipliant ensuite la surface A = ae — a2e2 du profil du sommet par le carré de la distance x — e de son centre de gravité à celui du tube, et ajoutant ce’produit à F, on aura le moment d’inertie b de ce sommet par rapport à la ligne des fibres invariables , ce qui donne

le moment d'inertie de la partie des côtés comprise entre le sommet et la ligne des fibres invariables par rapport à cette ligne sera

celui de la partie inférieure des côtés par rapport à la même ligne sera (n° 144) :

| e^x — ef;

celui de la partie enfermée des côtés par rapporta la même ligne sera :

| ex{b — x)\

Enfin celui du fond sera

cfeî X(b — xf ;

le moment d’inertie total sera donc

I —-Mfle* — a$£) + X(x — éf + \e^[x — ef + \e^x — cf + (& — a?)» + ^(0— x)\

d’où Fou déduira la valeur de ^ en prenant pour v' la plus

grande des deux quantités x ou b — x.

Les valeurs de I et de v’ étant ainsi calculées, on a pu les introduire dans le tableau suivant qui contient les résultats observés par M. Fairbairn sur ce tube.

8 CHARGES 1 placées

H au milieu,

CHARGES totales,.

2P+ | 2pC.

FLEXIONS totales ,

RAPPORT de la £ charge à la

flexion ,

P -+- 1 pC f

COEFFICIENT

d’élasticité.

ALLONGEMENT

proportionnel,

PCv'

1 ~ El ‘

CHARGES

| que l’on peut faire sup-

porter sans altérer l’élasticité ,

kil.

Après avoir soutenu la charge de 36049 kilogr. pendant une minute et demie, ce tube s’est rompu par déchirement du fond , à 0m,610 du point de suspension de la charge.

258. 34e, 35e, 36e et 37e expériences. — Dans la 34e expérience , le tube a été renforcé par deux plaques additionnelles ayant chacune 0m,165 sur 0n,,002; le poids du tube était alors de 5000 kilogr., et il s’est tordu sous la charge de 43987 kilogr., par suite du défaut de ses côtés, ce qui était surtout remarquable vers les extrémités qui reposaient sur les appuis. Si un bâtis en fonte y avait été introduit, ainsi qu’on l’a fait plus lard, il est probable que l’expérience aurait pu être continuée plus loin.

Après cette expérience, le tube fut réparé et consolidé par l’addition, reconnue nécessaire, de cornières verticales rivées à l’intérieur, à 0m,61 de distance Funede l’autre, et un cadre en croix de Saint-André fut placé aux extrémités.

Les expériences faites sur le tube ainsi modifié amenèrent, à la charge de 2P=57 135 kilogr., la déchirure des plaques du fond près de la suspension, sans que le sommet cédât sensiblement. L’examen de ce sommet fit voir que les feuilles de recouvrement des cellules avaient été rivées et assemblées par recouvrement de l’une sur l’autre, au lieu de l’ctre bout à bout , avec plaques distinctes de recouvrement, et que, par suite, quelques rivets avaient été déchirés par cisaillement entre les deux tôles.

Le tube fut réparé de nouveau et renforcé au fond par deux feuilles de 6m,10 de longueur, de sorte que la section transversale fut portée à 17?°, 8 = 0m, 01148, dans la 36e expérience, dans laquelle le tube se brisa par arrachement des feuilles planes du fond, sous la charge de 67 102 kilogr. Les côtés furent aussi endommagés et se fléchirent. L’examen de la fracture des bandes de tôle ajoutées au fond montra que ces bandes étaient très-défectueuses et de mauvais fer.

Le fond fut de nouveau renforcé et l’aire de la section portée à 22?°, 45 = 0m, 014480. Dans la 37e expérience, ce tube

FLEXION

a supporté pendant dix-huit heures une charge de 58 440 kilogr., et sa flèche de courbure s’est accrue pendant ce temps de 0n,,0815 à 0m,0850 ou de 3nlill,5.

Il a ensuite supporté pendant neuf jours et neuf nuits une charge de 61 400 kilogr., et sa flexion, qui n’était alors que de 0m,GS02, ne s’est accrue que jusqu’à 0m,0818 ou de lmill,6.

Enfin , dans une troisième observation , il ne s’est rompu que sous une charge de 70 000 kilogr., par déchirure de l’extrémité des plaques qui avaient été ajoutées au fond, ce qui montre que ce fond renforcé et le sommet étaient assez forts pour soutenir des charges plus grandes.

Dans toutes ces expériences successives , les flexions ont été constamment observées avec soin. Par la représentation graphique de ces résultats à une grande échelle , en prenant les charges pour abscisses , et les flexions observées pour ordonnées , on a pu apprécier la charge pour laquelle les flexions cessaient, dans chaque expérience, d’être proportionnelles aux charges.

C’est ainsi qu’on a pu reconnaître, dans la 34e expérience, que celte limite n’était atteinte que pour une charge trèsconsidérable, 37 000 kilogr. environ. Les écarts ont été plus sensibles dans la 35e expérience , bien que la proportionnalité se soit encore vérifiée pour des charges très-voisines de la charge à laquelle la déchirure s’est produite. Dans la 36e expérience, la proportionnalité n’a cessé que vers 45000 kilogr., et les chiffres que nous donnons dans le numéro suivant, pour l’expérience qui a déterminé la rupture du tube, montrent que l’on peut considérer les flexions comme proportionnelles aux charges jusqu’à 60000 kilogr., c’est-à dire bien au delà des limites dans lesquelles nous admettons que l’on doit appliquer les conséquences auxquelles la théorie nous a conduits.

259. Expérience de rupture. — Le tube ayant été réparé de nouveau, en conservant les mêmes aires de section , l’observation a fourni les résultats contenus dans le tableau suivant :

kil.

Ce tube s’est rompu à la charge de 87690 kilogr. par compression du sommet.

Dans cette expérience , après avoir successivement augmenté Faire de la section transversale du fond, on l’avait amenée à peu près à l’égalité avec celle du sommet, puisqu’elles avaient respectivement :1e fond, 145 centimètres carrés, et le sommet 155 centimètres carrés de surface.

En calculant comme précédemment , à l’aide des flexions observées pour les moindres charges, la valeur du coefficient d’élasticité , on trouve