CAS D'ÉQUILIBRE

On peut, après ces considérations, traiter quelques cas d'équilibre simples :

i"* Rendre une aiguille horizontale. — Plaçons sur l'aiguille un poids/? à distance âf de l'axe de rotation, de façon à maintenir l'aiguille horizontale dans un certain plan; le moment du couple magnétique se réduit au moment de la composante verticale, et la condition d'équilibre est

/?c/=OltZ = OÏL Tsinl.

On voit que :

a. L'horizontalité obtenue est indépendante de l'azimut a; l'aiguille une fois rendue horizontale restera donc horizontale dans toutes les positions.

b. Ce procédé permet de mesurer en valeur absolue le produit

TU[L\ car on a

TOIT. = 4^. sinl

â'' L'aiguille étant horizontale, étudier la force nécessaire pour la maintenir à un angle a du méridien magnétique. — Si

Taiguille n'est mobile qu'autour d'un axe vertical, elle n'obéira qu'à la composante H ; si on l'écarté d'un angle a, le moment du couple qui tend à la ramener dans le méridien magnétique est, puisque la composante Y agit seule,

OILHsina.

Cette force est donc proportionnelle au sinus de Pangle d'écart. Cette loi, connue sous le nom de loi du sinus, a été vérifiée expérimentalement par Coulomb à l'aide de sa balance.

3° Barreau mobile autour d'un axe horizontal passant par son centre de gravité, dans un plan d'azimut a. — L'aiguille n'obéit qu'aux composantes X et Z situées dans le plan dans lequel elle est mobile ; leur résultante a pour valeur

R = v/XM^'Zî =^ T v'cô'sM'cosSa^-siii»!.

Cette résultante et par conséquent l'aiguille doivent faire dans ce plan un angle F avec l'horizon, déterminé par la formule

-, X Tcosfcosa

COtr= — = ;r.,— . ; = COtlCOSOt.

L 1 sini

C'est de cette formule que l'on déduit les principales méthodes de mesure de l'inclinaison.

On voit, en effet, que :

a. Pour a = o,

I =: r minimum.

Si l'on fait tourner le plan dans lequel l'aiguille aimantée est mobile autour d'un axe horizontal passant par son centre de gravité, jusqu'à ce que l'angle que l'aiguille fait avec sa projection horizontale soit minimum, elle est alors dans le plan du méridien magnétique, et l'angle que l'on peut noter est l'angle d'inclinaison.

b. Pour a = 90,

On pourra toujours, en faisant tourner le plan de l'aiguille, amener celle-ci à être verticale; elle se trouvera alors dans un plan exactement perpendiculaire au plan du méridien magnétique; il suffira, par conséquent, de faire tourner le plan de l'aiguille de 90" pour l'amener à être dans le plan du méridien et pouvoir mesurer directement l'angle I.

Ces deux méthodes sont mauvaises, parce que toutes deux ont le défaut commun de conduire à des observations de variation de l'inclinaison dans des positions de maximum ou de minimum de valeur de cette quantité, c'est-à-dire dans des positions pour lesquelles cette variation est la plus faible pour une même variation de l'azimut a.

c. Observons l'aiguille aimantée dans deux plans d'azimut a, et aa, dans lesquels l'inclinaison mesurée présente exactement la même valeur ; ces deux plans sont évidemment symétriques par rapport au plan du méridien magnétique qui doit être le plan bissecteur du dièdre qu'ils forment; le plan du méridien magnétique

sera donc déterminé par la valeur azimutale -^ ^; il suffira d'y

amener l'aiguille aimantée pour y faire la lecture de I.

d. Observons les valeurs F et F de l'inclinaison dans deux plans quelconques, de préférence à environ 45** du plan du méridien magnétique, faisant entre eux exactement un angle de 90**. Soient a et a -^ 90^ les azimuts ainsi définis : on a

cotr = coticosa, cotr = cotl cos(a-f- 90).

Élevons au carré et ajoutons après avoir remplacé cos(a + 9o) par — sina; on voit que

cot«r-i-cot«r = cot«I.

On fera donc les deux lectures indiquées, et l'on calculera cotl par cette formule.

4** Lieu de la trace horizontale de cette môme aiguille

quand a varie.

Soient B et B' {fi g* 167) les traces de l'ai-

Fig. 167.

guille sur un plan horizontal quelconque passant en D ; lorsqu'elle se trouve dans les plans verticaux CM et CA, on a

d'où

DB =CDcotI, DB' = CDcotr:

DB' = DB^^ = DBcosa.

Le point B parcourt une circonférence décrite sur BD comme diamètre.

5^ Aiguille mobile autour d'un axe horizontal ne passant pas par son centre de gravité. — Représentons l'aiguille dans le plan dans lequel elle se meut (^fig* Sg) : soit G son centre de

Fig. 168.