MESURE DE ^; MÉTHODE DE GAUSS
Fig. 170.
Proposons-nous de calculer Faction d'un aimant très petit, de moment magnétique DR/ sur Tunité de masse magnétique positive en un point P {Jig- 170), qui peut se déplacer sur une circonférence de rajon r : la position du pointPélant définie par l'angle 6 que fait la direction OP avec Taxe AB de l'aimant, le potentiel magnétique en P a pour expression
V= — = OK^r-^cose.
La valeur d'une composante quelconque de la force sera donnée par la dérivée du potentiel, prise suivant là direction de cette composante et changée de signe; nous pourrons ainsi calculer les composantes normales N et tangentielles T, dont les expressions seront
^ c,„ " . 2OKCOSÔ
N = =- = 2 DK r-3 cos 0 =
dr r3
et
eu remarquant que
dt^- — r d^
on voit que
T^3rLr-«sine(-i)=-î5^"-*'.
Ces composantes prennent des valeurs simples quand le point P vient en Pi et en P2, sur le prolongement de l'axe de l'aimant AB ou perpendiculairement à cette direction: en P<, en remarquant que ô est nul, la composante tangentielle s'annule, et l'expression de la force totale se réduit à
On voit de même qu'en P,, où 6 est égal à 90**, la composante normale s'annule et la force totale, parallèle à la précédente, se
rïïL réduit à la composante tangentielle F2 = — — 3-
Ces valeurs particulières pouvaient d'ailleurs se déduire de la discussion de la formule qui donne la valeur de la force totale en un point quelconque
F^-/TM-N2 = ^3-v/n-3cos«0,
et la direction de cette résultante dans ces deux cas pouvait se déduire aussi de la formule qui donne l'angle \ de cette résultante avec la tangente
langA = — = -2 cotO.
Supposons que l'aimant A< 64 agisse, non plus sur un point l\ mais sur un aimant A'B' de longueur d dont le milieu soit en P et qui, suspendu horizontalement, soit orienté dans le plan du méridien magnétique : l'action de A| B< sur les deux pôles A' et B' de masse magnétique m! se compose de deux forces sensiblement égales et parallèles qui forment un couple; elles ont pour valeur w!Y s et sont dirigées parallèlement à l'axe A|B| et, par conséquent, perpendiculairement au méridien magnétique. L'aimant A'B' sera donc dévié d'un angle a,, qui sera donné par la condition d'équilibre entre ce couple et le couple terrestre
OrL'FiCosai^ OFL'Hsina,;
d'où
-g-=:-r3ianga,.
Si, de même, l'aimant est placé en A2B, et agit sur le même
Fig. 171.
aimant mobile A'B', la condition d'équilibre entre le couple terrestre et le couple des forces qui représentent l'action de A2B2 en A'B' définira l'angle aj dont sera dévié l'aimant mobile; cetle relation est
— =— r»langa,.
Ces deux dispositions particulières des aimants sont ce qu'on appelle la première et la seconde position de Gauss,
Cependant ces formules ne sont qu'approchées et, en effet, nous avons supposé pour les établir que les aimants étaient infiniment petits; dans la pratique, on cherchera à se rapprocher le plus possible de ces conditions théoriques, en employant des aimants de petites dimensions et en les faisant agir l'un sur l'autre à grandes distances, de façon que leurs longueurs soient négligeables vis-à-vis de leur distance; les déviations sont alors faibles, mais on peut les mesurer, malgré cela, avec une grande précision par la méthode optique de Poggendorff.
De plus, à la formule
—g- =''tangai
on substitue un développement de la forme
