CAS PARTICULIERS

Nous allons maintenant faire quelques applications des formules que nous avons établies. Nous allons, en particulier, calculer l'intensité du courant qui se développe dans un conducteur qui se meut uniformément dans un champ magnétique constant : suivant

la forme et la position du conducteur, nous aurons, soit un courant continu, soit un courant alternatif.

Fig. 230.

i" Gourant continu* — Prenons un disque conducteur de rayon a, dont le plan soit per- .pcndiculaire à la direction d^un champ uniforme F {^fig* 220).

Deux ressorts r, i\ frottant, Tun à la circonférence du disque , l'autre sur son axe forment les ex- Irémittîs d'un circuit, fermé par le disque, et dont la résistance est R. Soient S la surface du disque, et o) sa vitesse angulaire.

Considérons celui des rayons du disque qui va du centre O au frolteur r. Ce rayon, fixe dans l'espace, est mobile par rapport au disque : il suffit de considérer un point p fixé au disque pour s'en rendre compte.

Or ce rayon coupe, pendant chaque unité de temps, un flux de force représenté par ^a^wF. En vertu de la formule (2) (195), c'est donc l'expression de la force électromotrice du courant induit engendré par la rotation du disque,

e — - a*toF,

et l'intensité du même courant, I, s'obtiendra en divisant e par R,

j r/*toF

Si le disque met T secondes à faire un tour entier, on a cjT -- 2u; d'ailleurs sa surface S- --a^; donc

SF I K" T'

el noussaurons un courant constant : c'est le principe des machines à courants continus.

Remarque. — Il est souvent commode d'introduire dans les

calculs l'expression de la surface décrite par le conducteur mobile.

Soit un élément ds{fig, 221), d'abord en AB, puis en AjB|-,

Kig. 221.

A dj B

soit F le champ extérieur, F,, sa composante normale : le llux élémentaire coupé par l'élément ds aura pour expressions

rf*- surf. ABAjBi x F„,

d^ =-. surf. ABAiBixF x cosO,

d^ -.^ Fx(surf.ABAiB, x 0056) - F x{?,\ivî. abaxb^).

abdi bi étant la projection de ABA« B^ sur un plan P perpendiculaire à la direction du champ, et comme on a

il en résulte

d^P '=~dt'

siivLabai b\ X F dt

Donc la force électromotrice d'induction est égale {pendant une seconde) au produit de r intensité du champ par la projection, sur un plan P perpendiculaire à la direction du champ ^ de Vaire élémentaire ABGD décrite par Vêlement du conducteur considéré.

Appliquons tout de suite ce résultat à un cas classique : Considérons deux rails AA<, A'A^ {fig- 111) parallèles, indéfinis dans un sens, et réunis à leur partie inférieure par un conducteur de résistance R; soit d leur distance.

Fig. 223.

Nous supposerons le plan des deux rails vertical et perpendi culaîre au champ F. Dans ce cas, le plan P est parallèle au plan des deux rails.

Supposons qu'une barre horizontale BB' glisse de bas en haut sur ces rails avec une vitesse i>.

La surface décrite se projette en vraie grandeur sur le plan P :

c'est le rectangle bb^b\b\ dont l'aire est vd. On a donc

et

e = ¥vd , ¥vd

Remarquons que si rf = i , F i= i , 1 = i , on a R = (^. D'ailleurs, I doit être exprimé en unités électromagnétiques. Donc :

La résistance électromagnétique est la vitesse ai'ec laquelle doit se mou\^oir la barre BB', de longueur égale à i, dans un champ égal à i , pour que r intensité soit égale à i dans le circuit R.

Nous concluons aussi que la résistance électromagnétique a les dimensions d'une vitesse,

2® Gourants alternatifs. — Prenons un circuit circulaire de résistance R, tournant d'un mouvement uniforme autour d'un axe vertical BB' {Jig- 228) perpendiculaire à la direction du champ F.

Soient S la surface du cadre, S :-^ ira^, a étant son rayon; co la vitesse angulaire; T la durée d'une rotation complète. Nous avons la relation

menons le plan P perpendiculaire à la direction du champ. La

projection du cadre, à un instant ^, est bb' ce' . Supposons que le

cadre soit, à l'origine, dans un plan parallèle au plan P.

Nous avons

surf, (ôcô'c'; = S cos6

et

* = SFcosO;

mais, comme -7=- = -> on voit que

Donc la force électromotrice changera de signe à chaque demitour du cadre; elle est représentée à chaque instant par les or-

Fig. .»>3.

données d'une sinusoïde ; le courant est alternativement de sens direct et inverse.

L'intensité est évidemment, dans les mêmes conditions, représentée aussi par une sinusoïde, puisque pour avoir I il suffit de diviser l'expression précédente par R : cette sinusoïde aura donc la même période et la même origine.

En réalité, le flux de force dû au champ F n'est pas le seul : il faut tenir compte du flux qui provient du courant lui-même et, par suite, introduire le coefficient L de self-induclion du cadre.

Nous avons une force électromotrice d'induction variable

5>7:SF . t

e = — j— sinaTT ^;

la valeur maximum de e est --rf— • représentons-la par e ; nous

écrirons

e — E sin'2ir •

L'équation fondamentale

(E -Rl)rf/-r e/(4> -LI) devient, en remarquant que nous supposons E nul,

L'intégration montre que l'intensité est aussi sinusoïdale; elle conduit en effet à une expression de I qui prend la forme

I =- Asinf viir ^ — «p).

A et <p sont donnés par les relations

(le sorte que l'on a en définitive

, ^— — ^sin (2ir=T — ?);

donc, au point de vue de l'intensité, tout se passe comme si la résistance, au lieu de garder la valeur R, était devenue

vA'-"fi^'-

De plus, le courant ne change plus de sens quand le plan du

Fig. 72^,

cadre est parallèle au plan P, mais seulement au bout d'un temps <pT après cette position. C'est un retard à la transmission

de la force électronioirice ; l'intensité sera donc représentée par une sinusoïde de même période que dans le premier cas, mais dont les points d'intersection avec l'axe des t seraient tous déplacés d'une même quantité {Jig- 224). Cette sinusoïde est représentée en traits ponctués; le retard est 00'.

C'est cette expérience qui contient le principe des machines à courants alternatifs.

3° Gourants d'induction instantanés. Ixclinomètre deWebeh. — Considérons un circuit fermé de surface S, de résistance R. Supposons-le placé dans un champ uniforme F, son plan étant d'abord perpendiculaire au champ, et retournons-le face pour face exactement.

Le flux de force a varié de 2SF, et la quantité d'électricité mise en mouvement est, d'après la formule (3) (195)