COMPOSITION DE FORGES ÉLECTROMOTRICES DE MÊME PÉRIODE
Soient deux forces électromotrices de même période dans un même
circuit
ei = Ejsinto/,
e^— Ejsin(a>f -+- ç*); leur résultante est
e = e{ -h e±— Esin(wf -+- ©).
On a, en effet, en développant e = Eisiotof-f- E2sinco^coscp2 — Ejcosio/sinoj = EsinuWcosçp -h Ecosto/sinsp
et en identifiant
Ecos© — Ej -+- Escosç>2,
Esincp = Essincp;
ce qui donne les deux relations
EJ = EJ -h E| -4- 2Et Ejcoscpj, E,sino2
tango
E\-h E2cosOj
calcul identique à celui que nous avons rencontré en Optique.
On voit donc (fig. 291) que si Ton considère deux vecteurs OE, = E,, OE2 = E2 faisant entre eux un angle <p2, 'a diagonale OA du parallélogramme représente la force électromotrice E maximum résultante, car on a
OÊ*= ÔË^VôËiV'iÔËÔÊ'cosot 0"
et l'angle EOEt est égal à s, car on a
EG tangEOE,= —
Ejsincpi Ei -+• EjCOîo*
La construction de ce parallélogramme, qui n'est autre que le parallélogramme de Fresncl, suffit donc à faire connaître la force électrouiolrice maximum E, et son angle 3 d'avance ou de retard, et par suite sa phase.
Il devient donc évident que (Jïg- 2g*>J, si l'on fait tourner ce parallélogramme autour du point O, les projections des vecteurs OJ4^
Fig. 21)2.
Fig. 2y3.
et 0E2, qui font entre eux l'angle cp2 invariable avec le temps, représenteront les forces électromotrices es et e2 à chaque instant, et que
la projection du vecteur résultant OE représentera au même instant la force électromotrice résultante*.
D'une façon générale, si l'on a à composer n forces électromotrices périodiques on représentera chaque force électromotrice par une droite dont la longueur comptée à partir d'une origine (i xe O sera égale à la force électromotrice maximum et dont la direction avec un axe fixe Ox représentera la phase; la force éleclromotrice maximum résultant de la superposition de toutes ces forces électromolriccs sera représentée par la résultante
de toutes ces droites (fig. 293); sa phase (to/-h©) sera représentée par l'angle EOxetla force électromolrice e à l'instant t
e = E sin(u>* -+- (p)
sera représentée par la projection de OE sur Taxe Oc.
La figure rappelle que l'on peut employer pour obtenir la résultante le mode de construction utilisé pour ob- I tenir la résultante de n forces électro-
motrices au moyen du polygone des forces.
Cette construction prend le nom de diagramme des valeurs instantanées, elle fait connaître, en eflel, à un instant /, la valeur instantanée d'une force électromolrice, d'un flux ... périodiques; mais au point de vue pratique ce qu'il importe de connaître ce sont les valeurs efficaces de ces forces électromotrices, intensités, etc.; or il est évident que les dimensions du diagramme des valeurs efficaces seraient simplement réduites dans la proportion de 0,-07; le diagramme des valeurs moyennes serait réduit dans la proportion de 0,637, llla's il n'est, jusqu'ici, d'aucune utilité.
-'To
CIIAP. VII.
INDUCTION
231. - REPRÉSENTATION DES DÉRIVÉES SUCCESSIVES D'UNE FONCTION PÉRIODIQUE.
Dans l'étude des courants alternatifs les forces électromotrices périodiques d'induction sont proportionnelles aux dérivées premières du flux périodique d'induction par rapport au temps, les forces électromotrices de self-induction sont proportionnelles aux dérivées premières des intensités par rapport au temps, et il y a lieu de les représenter dans les constructions graphiques où elles viennent se composer à d'autres forces électromotrices également périodiques.
Soit
£ = I siniof
l'intensité du courant; ses dérivées peuvent s'écrire
dt \ 2/
fi*i
-r— = — (0*1 sintu* = <o* I sin(a>J -4- ir).
dt-
Fig. 294.
Si 01 est le vecteur qui représente l'intensité et sa phase {fig- 29I). le vecteur de grandeur toi qui représentera par sa projection la dérivée première devra présenter un angle
d'avance - et le vecteur to*I devra
présenter un angle d'avance t.; ainsi :
Jes dérivées successives présenteront
une différence de phase égale à -•
Si l'on nous donne inversement la dérivée
-r- = Asin(u>*-h a),
la fonction primitive sera, à une constante près :
r --- — - cos ( w / -; a ) — — sm ( co / -+- a ) :
0) cm \ ).)y
le vecteur sera donc déterminé en divisant -.y par w et il devra présenter un retard 7-
232. - CAS D'UN CIRCUIT POSSÉDANT DE LA RÉSISTANCE ET DE LA SELF-INDUCTION.
Soit OA une droite faisant avec l'axe origine des phases un angle io t (ftg- ac)5), et sur laquelle nous devrons porter le vecteur tournant qui donnera la représentation géométrique de la force électromotrice périodique
e = E sinuW
l"iff. 'en
to£I .
agissant dans le circuit; d'après l'équation
i = — » sin ( a) / — © ».
dans laquelle on a
eu »'
le vecteur du courant [ devra être porté sur une droite OB faisant un an»le de retard ? par rapport à A; d'après l'équation
E >iiifo /
la force électromolrice est la somme des deux forces éleclromotrice<
Hl et • '
La première reprévnle la force électromotrice nécessaire poiu vaincre la résistance olimiquc II (s — Kl); elle doit être repré>entêe par un vecteur C)K = Kl ayant la même direction que le courant.
La seconde L-. représente la force électromotrice qui surmonte la
M'iï-induclion ( c'est la force électromotrice d'induction changée de >i^ne); la grandeur et le sens du vecteur correspondant sont donnés par le calcul suivant, l'on a
/ -- 1 >in t eu / -
» ^ I (•(»> ( (m ( — v ) - (i) £ I sin ( co /
donc ce \ecteiirdoit être pcrp:4ndiculaire au vecteur du courant, et
l'on doit prendre
OC = u>£l,
de telle façon que l'on produise un angle d'avance H — •
Le vecteur E sera la diagonale du parallélogramme construit sur OB et OC; cette diagonale aura la direction OA.
On peut, en effet, vérifier sur cette construction que Ton a
EB w-f J a>.f
tane? = ôB = -ïïr= R '
= v/rïÏ
OE=VEB -^OB'rr.l/Ks-^a,»^,
équation qui donne bien l'intensité maximum.
Lorsque ce rectangle tournera d'un mouvement uniforme avec une vitesse to sans se déformer, ces relations seront toujours satisfaites. Ce diagramme suffit à faire connaître à chaque instant Tes forces électromotrices en jeu et l'intensité du courant. Il résulte de ces considérations que Ton résoudra à volonté l'un des deux problèmes qui peuvent se poser :
i° Connaissant ER^ calculer!;
2° Connaissant lR-d, calculer E.
La puissance dépensée est El cosep, où E et 1 représentent les force électromotrice et intensité efficaces avec lesquelles on peut supposer l'épure tracée; on aura donc
0? = EU-os <p = OB.OI.
