ÉTUDE DU MOUVEMENT D'UNE AIGUILLE AMORTIE

Nous avons supposé, dans les calculs précédents, qu'aucune force perturbatrice ne venait déranger le mouvement de l'aiguille : ce cas ne se présente jamais.

Le support de l'aiguille occasionne toujours un frottement, frottement d'axe ou torsion du fil de suspension; la résistance de l'air met obstacle à la liberté des mouvements de l'aiguille; enfin, en vertu de la loi de Lenz, le mouvement même de l'aiguille à l'intérieur de la bobine fait naître dans celle-ci des courants induits qui tendent à s'opposer à son mouvement.

Ce mouvement se trouve donc amorti, et l'amortissement sera d'autant plus grand que la sensibilité de l'instrument sera plus grande. Nous allons étudier le mouvement d'une aiguille ainsi amortie.

L'équation du mouvement de l'aiguille peut, comme nous l'avons \u, s'écrire sous la forme

a%" = somme des moments moteurs,

a étant le moment d'inertie de l'aiguille et a" son accélération angulaire.

Un premier moment est dû à Faction du courant; il est proportionnel à l'intensité i de celui-ci et peut s'écrire D*.

Un second moment, de signe contraire, est dû à l'action de la terre; il est proportionnel à l'écart et de signe contraire au précédent : représentons-le par — Ca.

Enfin, un troisième moment provient de la résistance de Tairet des courants induits; il est proportionnel à la vitesse angulaire a', el peut se mettre sous la forme — 6a'; l'équation du mouvement sera donc

multiplions par dt et intégrons; il vient

a CiTdt = D fiât — Cl adt — b fd'dt;

pour la même raison qu'au paragraphe précédent, la deuxième partie du second membre est négligeable, et il reste

a Ji'dl = D fidt,

c'est lu même relation que précédemment; mais la relation entre a et a,„, angle d'écart maximum, va être différent.

A partir du moment où i —i o, l'équation du mouvement devient

<i *",) - — (la — h z\ ou

(17." , bi! -x- Ca — o.

C'est une équation dill'érciilicllc que Ton rencontre fréquemment en LMivsiquc, notamment dans l'élude du pendule. Son intégrale générale est

a - \tr ''"sinlW;

dérivons deux fois, pour avoir r$! et a" :

a'— A(— //?>'-"" >in Vêt -+- Ke~mt cosK/) et

a" ---- A(//ii<;-"l'cusK/~ - •;>/// K<?-"" cosK/ — K2tf-""sinK /;;

substituons ces valeurs de a a', a", dans l'équation différentielle et écivons que le coefficient de sinKl est nul, ainsi que le terme cou-

s tant; nous aurons

K est réel si Ton a 4«C — b2>o, c'est-à-dire si l'amortissement n'est

pas trop grand. Autrement, l'intégrale prend la forme d'une somme

d'exponentielles.

On a, d'ailleurs,

a0-AK;

aim est la valeur que prend a quand t correspond à la déviation maximum, c'est-à-dire quand ar=o.

tangKf,„- — m

donc

1 > K tm-. -arc tan g —

'//*-= jrarctang g

Nous avons, dès lors,

*,„= A*>-""».sinK/,„

ou, enfin,

a„, -= Ac-"",.

254. - AMORTISSEMENT D'UN CADRE SUSPENDU OSCILLANT DANS UN CHAMP MAGNÉTIQUE.

Comme application nouvelle des raisonnements qui précèdent, nous allons étudier complètement l'amortissement d'un galvanomètre formé d'un cadre mobile suspendu à un fil ayant une certaine résistance à la torsion, et se mouvant dans un champ magnétique H (galvanomètre Deprez-d'Arsonval).

a. Quand le courant électrique traverse la bobine mobile, l'aiguille est soumise à un couple ayant pour valeur Hsni : i étant l'intensité du courant, s la surface moyenne d'une spire, n le nombre de spires; H étant la valeur du champ.

b. Mais la torsion du fil contrebalance l'action de ce couple par

un couple de signe contraire, sensiblement proportionnel à l'angle a de déviation et que l'on peut représenter par Ka.

Deux autres systèmes de couples tendent à amortir le mouvement de l'équipage mobile; ils sont dus à la résistance de l'air et aux courants induits qui se développent dans le système suspendu par suite de sa rotation même (loi de Lenz).

c. La résistance de l'air s'annule quand la vitesse de l'équipage mobile s'annule elle-même. On peut donc admettre qu'elle lui est

proportionnelle et récrire sous la forme P^r*

d. Passons aux courants induits : rappelons-nous la loi de Neumann que nous avons vérifiée à l'aide de l'éleclromoteur à pédale de Weber.

La vitesse angulaire du cadre mobile étant -r-> la force électromotrice d'induction sera

Hsndi>

soit B la résistance du circuit; l'intensité i\ du courant induit sera donc

et le couple dû à ce courant /, aura pour expression

Nous avons maintenant l'expression des quatre couples (a), (b\ (c), (<-/); pour obtenir l'équation du mouvement, il nous suffira d'écrire que la dérivée, prise par rapport au temps, de la somme des moments des quantités de mouvement de l'équipage mobile égale U somme des moments des couples qui agisssent sur lui, c'est-à-dire

(tCZmvr)

di = 2G'

d'ailleurs r = a>r et w = -,-• Si nous désignons par I le moment d'inertie de l'équipage mobile, nous pourrons écrire

CHAP, VII. — MESl REg.

1 dr-

MiipLic-.njs dans le second membre 2C par la somme les expressions les quatre couples (a), (b)} (c), (rf) trouvées plus haut, il fient