II
sa THéORIK BK LA PROPAGATION DU SON.
Pour déterminer les fonctions 9' et y', il faut de nouveJles données; [>ar exemple, il faut connaître les valeurs des vitesses et des condensations dans toute l'étendue de l'ébranlement initiai.
Supposons donc qu'à l'origine du temps, pour t« 0, on ait :
on en conclura en faisant t ^ o dans (^) et (3^
(«) a if'ix) - a Yix) = fx
(7) + ^\x] = Fx.
d*oi], en résolvant par rapport h i^'x et
2n ç'x =/x + a Fx
OU enlîn
(8) f'^^^/x + jPa?
remplaçant, dans t^'x, x par a; -f ^» ot dans ^'x, x para; — al, on en conclut
(10) V = = ^ r +at) .f |. F (X + aO - I F (x-fll) + 1 /•(« -oO
et
Pour voir comment ces équations peuvent prouver que le son se propage uniformément, et comment aussi elles donnent la vitesse de cette propagation, supposons que Tébranlement initial soit limité; que, par exemple, pour toute valeur de x inférieure à zéro ou supérieure à une certaine quantité ^ fx et Fa; soient nulles.
Alors pour tout point, dont la distance x à Torigine sera positive et > /, /* [a? 4- Qt) et F {x -f ai] seront toujours nulles, et Ton aura
TBÉOBIB DE LA PKOPA«ATIOM 00 SON. W
et de plus, en ce point, V et S ne commenceront à être différents de zéro que quand on aura <tf = a?,, — I, ou t — ^" \ quel que
soit â?! .
Ce qui prouve déjà que lo mouvomcnt se propage avec la vitesse a; de plus, le mouvement, ne durera que jusqu'à 1 époque
où I on aura at^x,^ tsa,
A une époque déterminée le mouvement sera compris entre les points dont les abscisses x' et x" satisfont auK conditions x'^at^l^ x" — at = 0.
L'épaisseur de la couche d'air ébranlée à cette époque sera donc égale à 2; et dans cette étendue le rapport des vitesses moléculaires Y aux condensations S est égal à + a*
Du côté des x négatifs, /(x^at) ei F (ar — al) sont toujours nulles, on a donc simplement
(14) T = | F(« + ol)+ir(«+oi;
de plus, la molécule dont l'abscisse eslx j*. commence à
être ébranlée lorsqu'on a — a?, + irf » 0, ou « « , et finit de
rétre lorsque - a?. + <u = ï, ou « = -7^-
Ici encore le mouvement se propage avec la vitesse a, comme coté des X positifs.
Ainsi, lorsque dans Fébranlement primitif la relation entre les
vitesses et les condensations est quelconque, il se propage à
droite et à gauche deux ondes qui marchent chacune avec la
vit^e a. et qui ont la môme largeur / : dans Tune de ces ondes,
celle qui marche vers les x positifs, on a g** + a, dans l'autre
— a. Enfin, il est aisé de voir que ces ondes ne se ressemblent pas.
Si, au contraire, dans l'ébranicment primitif, ce rap|)ort -|- a ou a subsistait entre les vitesses et les condensations, une
40 THÉOUiË DE LA PKUPÂGAïiOM DU SON.
seule onde se serait propagée dans le sens des x positifs, quand le rapport est -f- a, dans le sens des x négatifs s'il est a.
Ën effet d'après (6) et (7), la condition ~ ^ + a pàv exem-
pie, conduit à cette conclusioii que 9' est nulle et par suite Jx = — aF (a?); alors la valeur de V est donnée par i équation
V=— aP(«-ai)
et comme, pour toute ^ aleur négative de la variable, Vx est nulle, il s'ensuit que de pareilles valeurs rendent toujours V » zéro.
Le cas que nous avons traité synthétiquement p» e&t celui oii l'ébranlement initial s'étendrait depuis j;» o jusqu'à a;^» ~ / et, dans cette étendue, satisferait aux relations
( du\ . « ' + -i; . (l^t \ . « / + X"
