II

masse deÂBCD reste toujours égale à Dwd^r, on peut écrire

ou plus simplement

1 dp (Pu ÏÏ «te rfl»

4 do

Le terme ^ ^ ^ peut s'exprimer en fonction de u et des données de Texpérience. Fn effet, rtamiie nous Tavons déjà vu, la densité D de la coucIki ABCD devient pendanl le mouvement

Celle de la couche suivante est au même instant

la diflérence est

Si la pro^)agation du son n'était accompagnée d'aucune variation de température, les pressions ;) et />' des deux couches consécutives que nous considérons seraient respectivement propor-

1. Nous mettons plus loin li» pour uiaïquri la densité à la tempéraluie zéro sous la pression 0n*6.

THÉORIE DE Ik PROPAGÀÏIOK DU SON, 35

tioiinelles aux densités de ces couches, et en désignant par la pression initiale commune à tout le tuyau, on aurait

par suite

jp , du P'

dp

, -r dx

y ~ v dx dhi^

Po p, iLb»

ou encore,

et réquation

deviendrait

dp «Pli "Si ^•<faJ

1) ' dx~"dÏÏ

pû d'il d-n

tnfin si Ton désigne par h la hauteur barométrique, par A la (Irnviti' (lu mercure, par 7 rintensilc de la pesanteur, par a le coetiicienl de dilatation des gaz, par la densité du gaz à zéro 00 a d'abord p^^hg^, et puis

Cl réquation

devient

Pc, d'*U d-H

Mais les eorapressions et les dilatations qui accompagnent la propagation du son deviennent des causes de variations de tera- |HTature dans les courbes d'air qui en sont le siège; et comme les changements de densité dont il s'agit s'opèrent dans des instants d'une extrême brièveté, les quantités positives ou négatives de chaleur qui sont développées dans chaque couche élémentaire y restent pendant le temps quelle transmet le mouvement» et elles en font varier l'élasticité dans un rapport plus grand que celui qui résulterait de la seule variation de la pression.

Il est facile de voir de quelle manière cette cause modifie la

S6 TflÉORIB DE LA PaOPÂGATIOM DU SON.

relation qui existe entre D et i>, et par suite la valeur du coefficient de dans Féquation du mouvement.

Lorsque Ton comprime un gaz d'une fraction de son volume à zéro égale à ^ ou , ce qui est la même chose, lorsqu'on le

comprime cl une fraction de son \olume à /" égale à , on

dégage une quantité de chaleur capable d'élever sa température de 0%4S4 .

Par le seul fait de cette variation de température, la pression du gaz deviendrait Pi et en supposant le volume invariable, pi serait donné par l'équation

d'où

Si la compression eftt été 7 au Heu de ^^^^ ^ ^ pression fût

devenue et le quotient ^ eût été égal à 7 x 7 : on aurait donc

OU

liais, d'une autre part, cette condensation 7 a fait croître la pression dans le rapport de 4 à 1 + 7< et cela par le seul fait du changement de densité; par conséquent la pression définitive p doit être égale à (1 + 7} ; et finalement on a en négligeant 7*

Ici la condensation 7 a pour valeur — on a donc

on aurait de même pour la couche suivante.

TMÉOBIE DE LA PROPAGATION DU SON. Vf

d'où

et réquatioii

devient finalement,

D (îx

si l'on pose

Determinatiois de u. — Dans tout cc qui précède, nous nous ^ i unies uniqiidiuMit appuyés sur un principe mécanique exposé aux premières paires de ce traité, et qui consislnea ce que pour avoir l'expression numéri(iue de la valeur d'une force il faut ''>tiiner l'accroissement de vitesse qu'elle imprime à un mobile pendant un temps infiniment petit, le diviser par la durée de ce temps et enûn multiplier le quotient par la masse du mobile;

ici la force est — a* ~ ilx; raccroissement de vitesse produit

dans le teiupàdt ^^^"^ masse est D uidx; on a donc bien dp d^u

^ ^ = D Quant aux notions élémentaires touchant les dérivées premières et secondes des fonctions, connue nous l'avons déjà fait remarquer, elles sont données dans l'enseignement des lycées. Il résulte évidemment de ces notions élémentaires qu'une ^oiiclion quelconque de a; 4~ 6t encore une fonction quelconque

dex ^ at, satisfont à la relation ^ w^a*^, La somme de

al' dx'

deux pareilles fonctions y satisfait aussi; on en conclut que la valeur générale u doit être donnée par Téquation :

ti) ii = t(a: + a<) +it«-al)^

? et t désignant des fonctions quelconques dont Ttine peut être nulle.

Par suite on a

(«; =8 a » ' ( X + a/ ) - u f ( JD - a< )