VIBRATIONS LONGITUDINALES
Les vibrations longitudinales des cordes donnent naissance à des sons beaucoup plus aigus que les vibrations transversales. — Les lois qui les régissent sont semblables à celles des vibrations longitudinales des verges. EHles sont résumées presque toutes par la formule :
dans laquelle n* est, pour le son fondamental, le nombre d'oscillations doubles exécutées dans l'unité de temps; Q une constante proportionnelle au coefficient d'élasticité, D le poids spé-
Fig. 450.
cifique, l la longueur de la corde, g le nombre 0,808... de sorte D
que est égal à la densité p de la matière employée.
110 TIBRATIONB DBS CORBRS.
On emploie pour les vérifier des sonomètres p5Ù différents de ceux que nous avon< décrit?; aux paires précédente?. Seulement les cordes BKD ou plutôt les fds dont on étudie le mouvement sont fixés à leurs extrémités dans des pinces ou élaux dont les mâchoires plates et horizontales sont intérieurement garnies de lames de plomb (\i fig. 450 j. Ces pinces se serrent au jnoyea de vis a a' que Ton manœuvre avec une clef b.
Quand il s'agit en particulier de constater l'influence de la longueur, on saisit le fil au point où l'on veut le termjner, dans une petite pince à main, un peu massive et aussi garnie de plomb; les chevalets ordinaires seraient insuflisants pour arrêter le mouvement à l'endroit même oii on leâ placerait.
Sont dm «lyt eamnn%ê éleoirîqtiet. — Les ^la de fer ou d'acier se prêtent à une expérience fort curieuse. Lorsqu'on les fait passer dans une bobine élêctromagnéUquer, en ayant soin qu'ils soient à peu près -parallèle» à son axe, on constate qu'au moment de l'ouverture ou de la. fermeture du circuit ils rendent un son très-pur et musicalement identique à celui qu'on en tirerait en les frottant avec farchet dans lersens de leur longueur. C'est è M. Page que Ton doit la découvék'te de ce phénomè'ôe. Il a été étudié avec détail par MM. Delarive et Wertheim (Ann,, 1 16-23, 3* série)*
§ 3. — THÉORIR DBS VlBBATIOliS BE8 CORDES,
Des considérations analogues à celles que nous avons déjà dével })ées permettent d'expliquer complélement tous les phénomènes du mouvement vibratoire dœ cordes, et Ton doit remarquer qu'en réalité la solution du problème des cordes vibrantes a été le poiqt de départ de toutes les théories mathématiques de Tacdustique. •
Concevons une corde parfaitement flexible A B, primitivement droite et tendue par un poids P de telle sorte que la tension t qu'elle éprouve sur chaque unité de suiiace de sa section droiLo
s soit donnée par l'équation ^ — - <
Si l'on écarte cette corde de sa position tréquilibre, elle y reviendia aussitôt qu'on l'abandonncTa à elle-mèine : ()0ur trouver les lois de son mouvement, considérons le moment où elle est dans la position Al) li (tiir. 451), et soit CD' l'élément (pii, primitivement,'quand la eorde était droite, occupait la position CI), et avait une lon,i;ueur dx; soit .r la distance prifiiitive AC, et w + u \d projection AC siu- AB ; u est une fonctiou de ^ et du
VIBUATIO^S D£S GOUDEë. m
temps /, et ^ ©ï^ti a une époque quelconque, la vitesse de la
inoléculo vibrante complée parollèlemenl; è ÂB. Si Ton suppose que le fil ne sok soumis à l'action d'aucune force étrangère, réiément CD', pendant un instant^/, n'éprouvera d'autres actions que celles qui proviennent des tracrfons élastiques développées à seffdeuz extrémités. '
^ Fig. 451.
Soit pour chaque unité de surfiice de la section du fil, T œsx la composante horizontale de ces actions en C, et i vQsX' leur valeur eu D*.
^équation du mouvement que prend le centre de 1 élément C'iy paraUèlemeiit à' AB sera
spdx étant la masse de l'élément CD qui u'a-pM changé dans Je mouvement. Cette équation peut s'écrire
De plus T s exprime aisément en fonction de n. Fn effet, la longueur de la projection de CD' sur AB^ est,par définition '
tt* étant ce que devient u pour le point dont l'abscisse primilîve était X dx. Or C D'' ne difiere pas en ioOgueur de sa prqjec-
lioo, si nous supposons co* X = 4 ; donc C D' — (ijc = ^"dx
et est la fractioa qui Exprime la proportion dans laquelle s^est
allongé l'élément ÇD. Soit Q la tension qui aiJong^rait cet élén ment d'une quantité égaie à sa longueur primitive» Q est pro^ portion nel au coeifficient o'élasticité du fil et Ton a .
Ui VIBRATIOKS DBS C01IDKS.
du ' .
T— t dm
OU bien, si foû suppose t négligeable devant . i ainsi, l'équation du mouvement suivant devient :
àht Q diH
Four obtenir récjuation du moavement transversal, c est-à-dire du mouvement parallèle à ÀY, on remarquera d'abord que si Von désigne par a Tangle de CD' avec ÀY, et si Fon appelle y Tordonnée de C, on devra avoir :
d'où ^ '
^ ^ dfl
or, ICI on a 4x» (ft. « ^ ^ ^ , ou bien f^n fai&int
4to
«ot X ^ I , et en négligeant ^ devant l'uiiilé, co« » ^ ; d*att-
tre part, puisque Ton a T t + Q ^ > le produit T cos est
égal à ("^^^Q j^^^ ou simplement j ^i si ~ est assez petit
dtt
pour qu'on puisse négliger le produit Q ^ devant t.
Par suite, enûn, l'équation du mouvement suivant l'axe des y, est:
• ^ - A /' AU dty T âhf
dart ^.d(t dt* ~ p da»
Ces équations, qui donnent séparément, l'une le mouvement transversal, l'autre le mouvement longitudinal de la corde, conduisent à des conséquences importantes. — Elles montrent : 1° que le mouvement longitudinal se transmet beaucoup plus rapidement que Tautre, car, d'aptes ce que nous avons vu, page 82,
ViBIUÏlONS D£â COED£S* lU
les racines carrées des constantes ^ et^y représentent les vîtes-
SK avec lesquelles se propagent séparément ces deux mouvemeots, et nous avons déjà remarqué que la quantité Q câl toujours très-grande pur rapport à t.
2" Elles font connaître la durée des vibrations des sons fondamentaux auxquels peuvent donner naissance les deux sortes de vibrations dont il s'agit. " ' , . • ' .
Considérons, en effet, la premièfe de ces deux équations et
posons - s/a*; .junw savons que l'oik eu déduilt:
etparmdte
Si maintenant on remarque que, la corde étant fixée à ses deux extrémités, les vitesses eti ces points, c'est-à-dire, pour j: = Oet x = î^ doivent être U>uiouQS nulles. On en conclut, que i'ou doit avoir ; - '
quel que aoUi, et aussi.
Kemplacpns, dans rëquation.(4) par ( -f a/, elle deviendra et a cause de (3)
Ainsi lu fonction reprend la mèuiB valeur lorsque la variable croit de %l ou quQ i s'accroU de — Maintenant, si dans (4) on rem^ace par — - 1, on en déduit
f(a<)-f {«-etl)*0
etenvertude[3] '
f (-aO =; f (îi— a<)
Ainsi la fonetico 4*' est périodique aussi biçQ que 9', et reprend la même valeur quand t vcirie de -r-.
114 VlBR.iTiONS DES CORDES.
Nous démontrons ici, à proprement parler, qu'à partir d'une
certaine valeur, la fonction reprend la même valeur quand la valeur absolue de la variable — at diminue de 2/; mais si cela
a lieu, il ost évident que, réciproquemenl, la fonction reprend la mèmu valeur quand la valeur lulaie do la variable croit dp cette
même quantité. — est donc la durée des vibrations du son ion-
damental de la corde
Or, quand on pa»se des vibrations longitudinales aux transversales, la quantité a varie dans lé rafrport de i^jQ ^ puiaque dans un cas on a
et dans l'autre
p étant la densité de la substance don,t la corde est faite.
Donc \/^ est le .rapport des nombres de vibrations qui
correspondent aux sons fondamentaux rendus par un môme fil lorsqu on l'ebranle successivement dans la direction même de sa lon<:ueur et dans une direction perpendiculaire. La valeur de u qui satisfait à la question redevient identique*
ment la même lorsque i croît de — ; mais de plus, elle peut
aussi reprendre i)ériodiquemei,\l les mêmes valeurs à des intervalles moindres.
Daniel Bernouilli l'a démontré en donnant du problème drs cordes vibrantes une solution qui représeate très-(^iien toutes les particularités du phénomène.-
Les deux fonctions 9(0;+' al) [m ^ ttl}^ dont la somme est égale à ti^ sont arbitraires.
Prenons:
B on résultera, comme on^peutl&yoir, en dévelopfMint les deux eiipressions précédenles,
VlBllATIONS DES COKDLS. 115 u » 8inmx{lA.eo8mat + lùsinmat)i
2^ = sin mx (2 a m Â^sinmal — 2 m a W cos m a . =i.^tam sinmx [A, tinmat •'Beosmat).
Soit l la longueur de la cordo ; comme les deux extrémités sont fixes peadant tout le mouvement ^ il D&ut que sm-mas soit nul'
pour xss /, aussi bien que i>our x =^ i)^ on en déduit m «— -j^;
et alors on a ,
du 2a«x . htjc I. 4 - fin . « h- » *
» = **** ~7~ rfn-y «I — PoM ^ I
X restant constant, v reprend la même valeur, au signe près,, lorsque — augmente de Tuiiité; et éllê reprend la même valeiir,
quand — augmente de deux unités. D'pù résulte que le leaips
de la vibiaUoii simple de la' corde est — et celui de Id vibration
double ou complète, — . • * ' ' , • ' •
n est un nombre entier quefconque. Si on le suppose égal à <i on a le cas'de la vibration la plus lénte^ le cas du son fon- <lamemaL
Si on lui suppose une autrç valeur, on reproduit log eas d'un liarmonique supérieur. .
Enfin, la sofAméd^une série d'expressionsidenliquos parla forme Scelle que nous avons choisie pour m, et nen didcrant qye par la valeur de n et celle des constanlos A ot B, satisfait encore
If * • équation fondament<ile du mouvonient de la corde, ef file représente le mouvement complexe qui co^Tespond à lacoexif^lence des différents harmoniques. * " * '
La théorie des cordes vibra nt^^s est une de celles qui se prête le mieux aux vérifications expérimen laies. Toutefois, ici, comme dans toutes les circonstances où l'on compare à la réalité physique des résultats déduit» (l"hy|>ollieses qui ne sont jamais la représentation complète de toutes les conditions do la question naturelle, on peut, en se plaçant dans des cirroti-l;inc os particulières. [iar\on!r à mettre en évidence quelques légères différences entre les données du calcul et celles de l'observation; par
