CHAPITRE XIII

BATTÊMENTS. r- SONS RÉSULTANTS. .

Lorsqu'on entend sjmuHanémenl deux sons voisins de 1 unisson, ou entend en même temps une série de battements plus ou moins rapides provenant de renforcements successifs dans le son entendu. En outre, lorsque l'on fait parler en même temps deux tuyaux d orgue donnant des. notes distantes d'une tierce, d'une quarte, on saisit ai sèment l'èxistence d'un nouveau son, différent des deux premiers et notablement plus i^rave.

Ces phénomènes sont évidemment des conséquences de la combinaison des deux systèmes de vibrations qui viennent sinriulUuiéinenL impressionner l'oreiile; et par piiite, si Ton peut trouver quelque formule simple pour représenter la resiiltante des vitesses apportées k chaque molécule d'pir par l'ensemble des deux séries d ondes élémentaires, on de\ ra nécessairement voir ressortir de cet le formulé rpxpîication des laits dont .il s'agit ici*

Voici cohitrient on résout le {)roblèine :.

Les vitesses successives que possède, aux différentes époques de son mouvement, une mojécuie qui» ayant une vitesse, nulle à rorigme du tempe, accomplit n vibrations doubles dans le temps t, sont représentées par Téquation

. V.= A«n tK — '

car pour

. .nu

l'arc soumis au signe sinus devient ei^al à un multiple entier.de tn ; le sinta accomplît donc n fois son évolution complète pendant le temps t.

Si roa.preqd t pour unités lalormule devient

V s A sin in ni

Pour un autre son qui répondrait à n vibrations doubles en

124 BÀTTEM£MTS.

Tunité de tempe,, tout en ayant même intensité que le premier^ la Tormule aérait

Si r^tii suppose ces deux vitesses dirigées dans des directions parallèles, on 1rs combinera par simple addition, ainsi nous l'avons déjà pratnîué plusieurs fois, et le mouvement resultiint, transmis k uno iiiolrculc d'air quelconque, se trouvera représenté, quant à la grandeur de la vitesse qu'il possède à cbaque instant, par Téquation * '

U = y 4- V = A «m îi: nf + A sin U n't KB f A «in « (n4-n')i «w «t

lA diaeuflsiôn de oelie lormole. esi facile.

L'expreaaion 4e U se compose de3 fiîcleurs, Pan kivarîableHÀ, lesdeui autres variables, savoir :smn{n -^1/1)1 etcotir ; si le troisième de ces facteurs se réduisait à 4, comme la valeur absolue du second devient. dans chaque unité de temps (u-f-n') fois nulle et [n-h n' ) fois égale à 1, il s'ensuivrait que U pendaut cet intervalle de temps, acquerrait (n 4- ) niaxima positifs ou négatifs égaux, entre eux «t duuL la valeur absolue serait ;^A.

Mais les variations périodiques du facteur- cos v [n — n ) i empêchent qu'il n'en soit ainsi.

Ce facteur devient nul (n — n') fois {)ar un ilé de temps, et par suite il annule la fonction; puis, romme dans le voisinaae des tipo(Hies où il est nul il reste iiere>sai rement très-petit peiidant quelques instants, il réduit par cela même dans une forte proportion la \aleur 2A des maxima périodiques du produit SA: sinn en sorte que fmaleniont ceux-ci passent alternati-

vement par tous les états do grandeur de 0 à ib 1\.

En un mot. la courbe des vitesses présente la forme représentée fig. 455 (p. 127). •

Et comme les évolutions du cosinus sont au nombre de n— par seconde, on voit que (n — foiB par seconde l'ébranlement de Toreille éprouvera un renforcement particulier.

Si ces renforcements se succèdent assez rapidement, il en résultera uàson continu dans lequel chacun comptera comme une vibration double, ainsi que dans la sirène chaque choc imprimé par le fluide qui s'écoute au fluide extérieur compte -pour une vibration double.

Si^ au contraire, le nombre n— n' est trèg-petit el ne dépasse pas 3 ou 4, l'influence des variirtioQe du cosUius sur la grandaiir

SONS iiË^ULTANTS.

de U 96 traduira par une série de reuforcemeaU suoceesifs d^ne

Je pbénomèDe sonore pen;u par l'oreille.

Nous avoDs supposé, dans tout qui précède, une intensité égde auz,deu:i^ sons que Ton veut combiner; mais cette restrie^ tiSD n'ôte lien à b généralité de .nos résultats > car lorsque l'égalité en question n^existera pas, on supposera le plus intSDse des deux sons remplacé par deux autres, dont Fun soit précisément éç:al à CL'Iui pour lequel rinlensité est moindre, et l'on sera rament' au ras ]>[ ecédeut, seulement avec persistance et prédominance d liii des deux sons composants.

Soni résultants. Lcs indications que donne cette théorie sur la valeur du son qui résulte dé la" production simullanée de deux autres sont parfaitement d'accord avec l'expérience.

Ainsi , que l'on fasse parier ensemble deux tuyaux d'orgue donnant * » ut^ et so/,,'.

ou bien 50^5 et w^j, .

ou enfin ut^ et rf\, •

et l'oa entendra toujours distinctement le son ut^.

Or, si l'on représente par » le nombre de vibrations de «ii , on pourra écrire , . , ...

8 n sol^ s=^ 3n ut^ ^ 9n

. iU^ ca %n as 4» fl^^ av 9» .

et par suite on aura nécessairranent

vÀ^ — u^, s=s fi t^i ^ m\% = .» .re4 — = ».

Ou trouve souvent dans les cabinets de physique deux tuyaux donnant isolément ui^ et /a^ , et dont le son ré-^ultant est fn^ . A ce couple de tuyaux on joint ordinairement un /a, qui sert à guider Toreille et à lui /airsK reconnaître p^us facilement le son résultant qu'elle entend.

La découverte de ces sons ,est due à Tartini. Quant aux battements proprement dits, ils ont dû être remarqués de tout temps.

Battemenu. ^ On met çOttvent leur production à proGt pour accorder, deux tuyaux. Lorsque la distance des deux sons est un demi-ton ou un tiers de ton, les battements sont très-rapides, ils se ralentissent lo^qu*on approche de l'accord et finisseut par disparaître. • On fait trè&<K>mmodément l'expérience avec deux tuyaux de mêmes dimensions,. tràsHsensiblement d'accord et dont l'un porte à sa partie supérieure une petite lame de plomb pou-

fiATTKMSffTâ.

vanl le fermer plus ou moins. En faisant varier la position de cette lame, on accorde ou désaccorde les deux tuyaux, et Fon^iblient à volonté des battements lents ou rapidbsï.

Dans les oours publics on emploié souvent, pour obtenir des battements, deux gros tuyaux ouverts de>3 à 4 pieds.de long, et à un demi-ton d'intervalle; le phénomène aafuiert nlors une grande intensité. On en obtient encore en combinant le son d'un diapason avec cohii d'une corde, d'un tuyau, d'une sirène; deux sirènes peuvent aussi servir à reproduire les effets dont il s'agit : on les moule sur deux soullleries diUérentes, et lorsqu'elles sont amenéesà peu près à l'unisson, on entend se développer un roulement plus ou moins rapide dû aux renforcemenls périodiques du mouvement qu'elles impriment à l'air.

Expériences de Sauveur. — Sauveur avait imaginé d'uliliser le phénomène des battements pour arriver à la détermination du nombre absolu de vibrations d'un son. !I prenait deux sons graves,, dont l'un était le dièse do l'autre, et il compUiit lo nombre de battements à la seconde, soit p ce nombre. Les nombres.de vibrations des deux sons éprouvés étant 25 n et 24 », d'après la valeur numérique du dièse, on doit avoir, en suivant leà indications de uoti^ théorie,

n étant connu, 24 n et 25 m le sont pareillement. On pourrait, du reste, arriver à ce résultat sans passer par la

formule générale développée plus haut.

Il doit évidemment y avoir renforcement dans le son toutes les luis qu'il y a coïncidence compièLo entre les mouvpînenls apportes par les deux systèmes d'ondes. D'un autre ( (jfe, celte coïncKlence complète se reproduit toutes les fois tiue l'un des systèmes a gagne une vibration double sur l'autre. Si donc il y ii /) bHttt'iiKMîts par seconde, c'est qiK^ In (iiderenee i'-y h — 24 n du nombre de vibrations doubles exécutées à la seconde par les deux sons composants est précisément égal à p; donc enfin on aura dans ce cas ;

(lS-t4)tlsp * .

ottsimpleméhil

eomme nous Tavions déjà troiïvé. •

M. Scheibler a appliqué d'une manière différente l'observation des ballements à la détermination des nombres absolus de vibra-

SON* liUStL I ANTS. 147

lions doubles n el n', rendus à la seconde par deux diapasons, A et B.

Il commençait par* ajuster les diapasons de manière qu'ils fussent exactement à l'octave, puis il en accordait p — 1 autres intermédiaires, de manière que chacun, un peu plus élevé que le précédent, donnât avec lui 4 battements à ta seconde. •

On avait alors pour déterminer n et n' les équations suivantes :

— = 2, . n' = n -f Ap.

L'avantage que Tauteur trouvait à ce procédé consistait à n'employer l'oreille qu'à apprécier un intervalle d'octave sur lequel elle est très-sensible.

La combinaison dè mouvement qui donne naissance aux battements ou aux sons résultants peut être rendue très-facilement visible de la manière. suivante: • • .

On prend pour corps sonores deux diapasonâ de dimensions un peu considérables et qui exécutent des vibrations d'une assez grande amplitude. — Le premier P est fixe; sur l'une de ses branches, on attache à la cire une petite lame de verre noircie, en prenant soin d'en mettre une seconde de mèmé poids sur l'autre branche, afin que la vibration ne soit pas gênée.

fig. 457,

Le second diapason PV doit être tenu à la main; il est armé d'une pointe. Les deux appareils étânt mis en vibration sonore, on approche rapidement P' dé P, en ayant soin que les plans dans lesquels la vibration s'exécute soient bien parallèles entre eux ainsi qu'à la glace noircie, et en faisant rapidement mouvoir V de bas en haut, de manière que sa pointe effleure toujours la glace, on obtient sur celle-ci le tracé cherché.

La figure '457 est l'une de celles que nous avons obtenues il y a quelques années, M. Lissajous et moi, en appliquant le prorôdé qui vient d'être décrit, soit à l'étude graphique des batte-

m iTOM OPTIQUK

ment», soi ta là reprée^tation égalemani grâi^ique des accords que nous oblenions avec desdiapaaoDS rig^ouiÎQasemeBt ajustés.

Le tracé que nous donnons ici correspond à un cas de baUemenlsbien distincts, et il est facile de.vojr^uel était le rapport des nombres de vibrations .des de^% .sons composants.

En effet,. 1» courbé ainueuse représentée sur la Aguie et dont réquationest

y = 2 A cos « (n + h') I cot % (n — n') ^ .

nous montre que dans Tintervalle de deux 'battements il y a 10 évolutions, du promiier cosinus. Or, dans l'unité de temps il y a {n,^h') iNittements et (n -f n' ) période^ du premier - cosinus ; donc pendant l'iiitervalle de déUx battements; c'èsMhdire en un

.temps égal à — ^— n le nomUre <|e ces périodes est **'^^;et

puisqu'ici ccnombre est 10, on pQutéçrlre • ^ , lO^et ainsi

ponr déterminer le rapport ^ on aura Tjéqaation

CHAPiTUE XIY uechëhgues dë m. liss.uous sur l'étudë optique

DES VmaAXlOKS iK^ORËS.

§ 1. — COMPOSITION DES MOLVt:MLMS VlBUATOIttES

Dans les chn[)iires où l'on a traité des interférences des sonset de i l théorie des tuyaux., on a étudié la conïbinaison de mouvements vibratoires ii} ciiit même période et desdirections parallèles, ou au moins, peu inclinées l'une sur l'autre. Pour expliquer les plicnomènesdes battements, on a cherché comment se combinent des mouvements vibratoires toujours iHuallèles entre eux, mais préfontant entre i^urs durées des rapports quelconques. Enûn, dans

DBS VIMAtlOMS SOUORBS.

tu»

ce qui va suivre on étudiera d'une manière géniM-ale la cornposiiiou de vibrations rectangulaires entre elles, et don! les périodes, ainsi que les intensités, pourront avoir un rapport quelconque.

C'est, en effet, sur les lois de coin {lusi tien de ces mouvements rectangulaires qu'est fondée la metiiode k laide de laquelle M. Lissa j QHS est parvenu à résoudre, avec une extrême précisiOD,plusieurs problèmes fondamentaux de la tliéorie du son.

Cette méthode a été désiirnée par son auteur du nom de méthode 6ptique, parce qu'elle ramène à l'observation de tracés lumineux, l'étude d'un grand nombre de phénomènes d'acoustique.

Nous admettrons toujours une loi de mouvement vibratoire, telle que l'éeart de la molécule vibrante à sa positioii d^équili-

bre soit représentée par une expression de la iurme Aco52 nr-.

T étant la darée d^ l'osctUation ^oubte ou complète^ 1.1e tettipe compté depuis le momeat on la ffiolécuie part de» la Hniîte extiéne de son ezcursioD,

Si les deux lûouvemenfs .Tibrakdireil que l'on veut composer, sont de périodes diflTérentes et telles que Tua aeciNnpfisse n vibratien dans /Funité der temps, 'tandis que l'aiilré en .exécute <, l'équation du premier jéCattt .

celle du second sera

y s A'- Mt .

S'il existe une différence de pliaà) entre ces mouvements, si , par exemple, Torigine du temps étant priseau moment ou I autre coordonnée n'atteint, pour la première fuis, sa plus grande

valeur A% qu'après une fraction .c du tempç J-, de son oscillation^ il faudra écrire :

9is Af eûêfk

si Ton pose j ^, Pour obtenir la trajectoire de la molécule vibrante, il faudrait

fM ÉTUDE ÔftTiQUE

éliflitiier le temps entre ces deux équations : nous noug borna-. roDS ici à achever le cafcut dans quelques cas particuliers.

Le plus simple de tous est celui où Ton a tt = n' et r sao, d'autres termes celui pu lei deux mouveoÂents ont mèmephaafi! ol même période. . .

Alors le déplacement x dû au premier, étant représenté par r.équalion Xcost-nnU celui qui provient du second sera yssÂ'cotSivW; Félimination du temps entre.ces deux équations, se fait par une .simple division : elle conduit à réquatlon X A.

-= Cette équation est celle de la trajocidire j^elle reprc-

S6n(e une lirâe droite dont i'mdinaison sur Taxe dm» a pour

tangente'*^; * ■

Après ce caè, le plus simple qui puisse se présenter e^t celui dans lequel les dçux mouvements composanls, tout en ayrmt des intensités et des'périodes é.çales, ont entre eux une différence de phase d un quart d'ondulation complété, tellement, qu'en vertu de la composante parallèle aux y la molécule serais à la limite supérieure de son excursion dons le sens vertical au moment #ù sous Taction de l'autre composante elle passerait par la positioa d'équilibre.

Le^ deux équations des mouvements sont, alors

ou .

de sorte que pour toute* valeur du temps; la valeur de y coïncide avec celle quë x possédait une époque antérieure du quart de la durée d'une oscillation double ou complète.

L'élimination dû temps se fait encore sans difficulté aucune, et conduit à l'équation du cercle

ff+ir-' ^ + »> = Ai

Dans le cas le plus général, les intensités sont iné2:ale8, et la dillérence qui existe entre les éf)oques où la molc( ule passe par les limife^i do ses p\rnr>^iuii^ (l;ins les deux sens, est une fraction quelconc|ue du temps de 1 ondnlation ; il fantnlors, pour avoir l'équation de la trajectoire, éliminer le temps entre les deux équations: ' * • • . ^

1>ES VIBRATIONS SQ;KOREg, m y s A' iM» S-« » ( I — > )

0» obtient alors la relation / ^

iaqoeile représeate une ellipse.

Daprès les règles de te géométrie, les anj^^los w que font les axes de cette ^lipse avec Paxe des x,. sont liés à la différence déphasé*^ parr la relation

Et l'on voit aussi que la courbe touche la droite doni l'équation est y = A', au point dont l'abscisse est = A œs 2 ir^i^, et la droite a? = A, au point dont l'ordonnée est y = A' cos 2 nn^.

M. Lissajous a calculé ot discuté d'une manière générale la trajectoire repré.-^entôe par los deux équations de la pa^e 129. Nous ne pouvons reproduire ici son analyse, mais nous considérerons encore le cas où l'on a n' = * . . les équations sont alors ' '

«sAcotSunl et y 8s A' 00» 4«Ji 9)

posons

et il viendra . . *

« s ▲ eoff 9 y ^ A.* €09 Ip r)

y ^ A.' coipmr-{'X' êinptSHt

OU comme p «s 2 9

X z= A cosq y B A* im i g cos r-\- X' sin 2 q .<m r

y = A* (co»» ^ — «n* q) cos r ^ 1 K' sin q rofi 7 sin r.

La discussion de la courbe ne présente pi|8 de difficulté; on peut du reste, voir immédiatement la forme qu'elle affecte, pour quelques valeurs simples de è.

Supposons d'abord ^ =3 o, et admettons que le mouvement h plus lent soit dirigé parallèlement à l'axe des

Au moment où la motécuie^ vibrante, sous Tinfluence de la vi*

ÉTUDE OPTIQUE

bration parallèle aux x arrivera à la limite B» de son excursion (fig. 458,), sous Finfluence de l'antre moin^ement composant, elle

sera it seulement arri vée à ^horizontale OB; donc, depuis roriginejus* qu'au moment actuel elle a décrit un oertainarc de courbe tel que ÂB, pendant la seconde période simple

Pig. 4.^3.

parcDtifra un second arc BC, ^mblable an premier, le tout formànt ^une sorte de parabole ÂBC'

Si au contraire, nous admettons que le mouvement parallèle aux Y, se t^uve en^ retard sur Tautre d*un intervalle de temps égal au quart de la durée de roscillalipn cèmplète dé celui-ci, 0 arrive d'abord qu'au moment où Tabscisse est nulle, l'ordonnée acquiert sa valeur maximum -f A';, puis; tandis que l'abscisse varie de o à — A et revient de<— A à o, l'ordonnée décroît simplement de + A', à 0 ; delà une première ' y branche de courbe, qui, se repro- * ? ' ' ; ' î duisant nécessairement dans lep 4 cadrans, complète le 8 de la figure 459.

Enfin , on conçoit qu'entre ces deux figures limites les variations des intensités et des phases des deux mouvements composants, établissent une infinité d'intermédiaires, donl on peut concevoir la ^^énération en supposant que le 8 se plie sur lui-mônrie de manière à repousser son sommet A dans un sens ou dans l'autre , el cela en resserrant ses branches de façon à arriver enfin à t are parabolique de la première figure.

Vérifications expérimentales. — Pour rendre sensibles ces lois de la composition des mouvements vibratoires, au moins dans le cas n = n', M. Lissajous a construit un appareil, dont la description nous conduira aux applications acoustiques des principes qu'il sert à manifester.

Cet appareil est composé de deux lentilles presque contiguës, parallèles entre elles et qui peuvent accomplir de petites oscillations reciilignes, Tune \ horizonlelement, l'autre i' verticalement lûg. 460].

DES VIBBATI0N8 80N0RE8.

Si Ton place d'un côté du système convergent, uile source de lumière, une petite ouverture fortement éclairée, elle formera son image de l'autre côté à une distance déterminée par la

formule connue, - -|- -, = - (a représente ici la distance focale

du système double). Alors si l'on vient à faire mouvoir rapidement la lentille l seule, l'image décrira une droite horizontale sur l'écran où elle se projette, et cette droite sera lumineuse et visible dans toute son étendue si elle est parcourue en un temps inférieur à celui delà durée de la sensation sur l'œil.

La trace lumineuse serait verticale, si la deuxième lentille se mouvait seule. Si on les ébranle en même temps, on observera sur le tableau une ligne droite inclinée dans un sens ou dans l'autre, un cercle ou une ellipse, suivant la grandeur des intervalles de temps qui séparent les instants où les deux lentilles passent par les limites extrêmes de leurs excursions.

Dans l'appareil de M. Lissajous (fig. 460], les lentilles sont

Fig. 460.

portées aux extrémités de ressorts C et D, qui sont périodiquement soulevés par des excentriques Z et Z' (âg. 46< ) fixés sur l'arbre I, le jeu des excentriques est représenté en détail (fig. 464). L'arbre, au moyen d'une corde sans fin AB (fig. 460), reçoit II. . 8

son mouvement do ia roue A. Enûn, les excentriques, peuvent prendre toutes les positions relatives qu'il est nécessaire de leur donner. Ils sont en effet indépendante Tun de Tautre, et chacun

d'eux est fixé sur l'arbre par une vis de pression que Ton manceuvre à l'aide d'une def spéciale.^

§ 2. — FIGUEES A^OCSTIQUES.

L'application de ces principes à l-étiMle dés phénomènes acoustiques, se pimente d'elle-inènie* Supposons, es effet, que les rëssorts G et D soient remplacée, par deux diapasons pouvant vibrer dâns des plans parallèles entre eux, maison même tempe dans des direction^ recta;) gu lai res , il est clair que la forme du tracé lumineux dépendra des rapports qui existent entre les mouvements des deux diapasons; et, par conséquent, si œs mou-

Fig. 462. J^ig. 463. . Fig.,464.

vomenl*? sont précisément à l'unisson, on aura un traré ellipliquo pouviHit réduire à un twcle ou à une ligne droite, suivant ia diiiéreuce de phase (fig. 46i, 463, 464).

DKS VIBRATIONS SONOUES.

Si les diapasons sont à l'octave, on aura soit Tune des figures 465, 466, 467, 468, soit quelque autre intermédiaire eniro elles.

Fig. 465. Fig. 466. Fig. 467. Fig. 468. .

Au lieu d'armer de lentilles les diapasons que l'on veut employer aux expériences que nous indiquons ici, il est encore plus commode de leur souder de petits miroirs; ils doivent alors I être disposés comme on le voit sur la figurô 469. La ligne brisée

EFGff représente le rayon lumineux; T est le lableau sur lequel on projette Je phénomène.

Fig. 4t)'j.

^ Pour chacune des valeurs différentes que Ton peut supposer

au rapport des sons rendus par les diapasons, on a un tracé lumineux différent et dont la forme est donnée par l'analyse, dont nous avons indiqué plus haut le principe.

m . ÉTDN OPTIQOJI

§ 3. — DISCUSSION GÉOMÉTRIQUE DES PROPBIJSTES DKS t iGUBES ACOUSTIQUES.

Comme nous l'avons déjà fait remarquer, 1 équation qui donne le mouvement de la trajectoire se présente en général sous une forme assez compliquée; mais Tune de ses propriétés le» plus remarquables se voit^immédiatement et sans le secours d'aucun calcul. .

D'après les équations fondamentales : '

« s Àeoi tnvf

m devient n fds égal à A.dans l'uiiité tqmps, et y devient »' feb égal à A' pendant même intervallej coQune dn reste xeiy varient d'une manière continney la figure ^ura généralement n contacts distincts avec les droites dont les équations sont :

m s -f A et c SB — A

et n' contacts, avec les droites dont jes équations sont :

, y S + A' et . y ^ - A*

au moins si n et n\ sont premiers entre eux» ce que nous supposerons dorénavant*

Par exemple, les figures 470 et 471 sont les tracés caractéristiques de la quarte et de la double octave, c'est-à-dire des rapjMjrts |et4. Dans le premier, il y a 4 contacts avec la limite verticale et 3 avec la limite horizontale de la courbe. Dans l'autre 4 confôcts avec la limite verticale, un seul avec la limite horizontale.

Pour certaines différences de phase, il est vrai, cette condition ne semble pas satisfaite; mais ces cas sont des cas particuliers

Ftg« 470.

Vig. 471.

dans lesquels le tracé lumineux s'est pour ainsi dire replié sur lui-même. — Voir les figurée 475 et 479 tableau repréeenCalirde la quinte.

DBS TieBàTrOllS S0N0RB8.

On peut étuciier d'aiiloui^ (■oiiipletement los [)[ lacipalt^s propriétés des courbes acoustiques en ayant recours à une considération géométrique trèd^Iégante au moyea de laque) M. Lïsàtijous a déduit ces propriétés, non pas de l*é(|uatioii do la courbe elle même, mais des équations de ses doux projections.

Soient XX', YV [fig. 472) les axes loctangulaires parai lileincnt auiqi^els s'exécutent les àen vibratioos cpmposaiitQâ^.ei coi^

«FonB-eii ttb Miflième OCperpeodiclilaire wx deux. premierB et passant par leur point de r9nconli9&.

Soietit prieefrsur r^xe^XiSL'^ les deux longueurs ÔB» 00^, égales entre elles et à A« et soit décrit (hns le plan XOC un cercle de centre 0 ei de rayon OR « A. Soit enfin un cylindre parallèle, à OY et ayant le cercle BGB' pour sectio^ droite. A l'origine du temps, le point himûieux qui trace la courbé acoustique sera sur la ligae fiD à une hauteur BB — A' au-dessus du plan XOC.

11 touchera la ligne B'O' aux époques

in 2n

et la ligne BD aux époques

et le mouvement de sa projection sur la ligne BB' sera donné

par réquation

» ta$ X en t%nf.

Or supposons qu'à Tépoque où le point lumineux P' part de sa position primitive E pour se mouvoir d^ns le plan BB'DD', un autre point f parte également de^E et se meuve sur le cylindre.