ÉTUDE OPTIQUE
80U3 Ui condition qiid Sft pH>jection.. »i|iS!e cercle de tMise se meuve liuiiformémeht'fivec la vitesse 2 «i^Â, de telle sorte
ftt'elkr fosse n fois le tour du cylindèé']^ chaqôe unité de tem(is: ' *K ^{>Wp instant du mouvemeiit, les abscisses des points P et
eâmlp^ ear la ligbe BOB" senties mômes en grandeur absolue #ei^l^.; Chacune d*ellés est é^ale produit de A par le «é8]0s% rangle décrit au^uV^ù^^ 0 à partîf de' OB dans le plan XQC ^r la projection ^$-sur ce plan.
QuaBt à l'ordonnée de P, «lié sera à toute époque égale à celle de P% si on la suppose définie f^r la même équation :
•y as A.' COI 2 « n' ( ;
• el alors la courbe trnciH^ sur io cylindre aura pour projection sur le plan XOY le trace lumineux lui-même.
La courbe du point P est comptétei^ent déterminée par ce qui précède. " -
Elle fait^ fois le tour du cylindre avant de revenir à coïncider avec elle-même. Pendant ces n révolutions elle coupe 2n' fois la circonférence de base. I^a distance de deux points de section
quelconques est conslunte et égale a ^J^'!^^ Les valeurs de ses
ordonnées maxima et* tpiùtçoa pont égales à A' .
Enfin si on la déroule complètement sur un plan^ sa base bu , si Ton aime mieux,- son axe rectifié aura une longueur L égale à ^ irnA^ et foràonnéé 'tf <i'Un point ^quelconque sera donnée par !féquàtîon ' ■
y a A' <X» 2 « — jj—
» étant rabsQtsse du point considéré comptée à partir du commencernent de la base rectifiée.
Tellement que si l'on veut réellement avoir la représentation
matérielle de l'accord -^^ on prendra un cylindre de verre de
rayon A et une feuille de papier de longueur i u n A = L.
A partir d'un des bords BD de celle feuille ffii:. i7 i) on tracera sur elle la courbe cosinûsoïdale donnée par i equaliou
1 étant la distsmce d'un point quelconque à l'origine Puis on enroulera laieuille sur le cylindre, et 'sur la surfiwBe ' transparente
DES VIDHATIOWS SONORES.
de celui ci Ton décalquera la courbe en noir foncé. Enfin on tournera le cylindre de manière qu'une des ordonnées maximum coïncide avec fc [fig. 474), et si alors d*une dislance un peu
Fi2. 473.
grande on projette à l'œil la courbe rampante sur un carton blanc, voisin du cylindre et parallèle à BOY, on verra la courbe
qui caractérise l'accord - dans l'hypothèse où les deux mouvements composants n'ont pas de différence de phase.
On étend aisément ces considérations au cas oii les deux mouvements composants ne passent pas tous deux par leur maximum à l'origine du temps.
Soit toujours a? = Acos 2 Trn Téquation du mouvement de la projection horizonlale.
Si la projection verticale n'attoint son Fig. 474. premier maximum d'élongation qu'à
l'époque l'équation de son mouvenient sera :
A l'époque - , la projection horizontale aura accompli une Irac-
lion — - de son oscillation. - . • ' • *
Si à partir de ce momenlie. temps s'accroit cie â, i'ordonoée de la trajectoire deviaot : -
Quant à Ji'abacisse,,eiie est: '
Getle ordonnée et eette abselMe fiîbnt celles qu'aurait à ta mdtne époque ^ + ^9 le point fictif P^.en supposant qu'à Tépoque
-, il partit du point du cylindre dont l'ordoniiée est A', et Tabecisse
fiC ^ *
ÂewSit et qu'il ae mût, du reste, comme nous Pavons pri*
mitivemenl admis; en d'autres termes enfin, la courbe optifîue coïncide avec celle qUieTon obtiendrait en projetant sur le plan XOY la courbe qu'aux pages précédentes nous supposions enroulée sur cylindre, si Ton venait à faire tourner ceiui-ci d'un
angle égal à 2 « ' ' .
D'après cela, supposoAs que ToQ place Je ëyJindre au-devant d'un Iftbieair blanc et qu'on le fiuse tourner autour de son axé; comme on aperçoit à la fois toute la courbe à cause de la transparence du verre, on voit s*accompIir toutes les tïansformations
que subit Ja figure caractéristique de l'accord — lorsque la diffé-
rence de phase des mouvements prond toutes les valeurs possibles.
Si maintenant la couii)e est symétrique par rapport à un plan passant par Taxe, lorsque ce plan sera parallèle au tableau, les
' sommets symétriques se projetteront deux à deux les uns sur les autres, et dès lors le nombre des points où la couii)e touche
ses deux limites horizontales se trouvera réduit.
Quand la courbe aura l'un do ses sommets dans le plan axial parallèle au tableau, les deux branches do courbe qui partent de ce sommet et s'étendent sur le cylindre se projetteront l'une sur l'autre, et en projection le sommet deviendra l'extrémité d'une branche de courbe s'arrètant brusquement à l'une des limites verticales de la courbe.
Enfin il est clair que, si la courbe doit faire n fois le tour du cylindre avant de redevenir identique à elle-même, elle coupera Il fois les arèles extrêmes BD et ii D (iig. 47$j, et dans la ligure
BK8 TIlftATlOMS aOSOllS. Ut
' vue en projection, chacun de ces poinrs sera un point de tangence aux limites extrêmes. Il y (^n aura doiic nen général.
Mais on conçois ajussi que ces points puissent se superposer .deux à deux.
II sufïit pour cela que ia courbe passe deux fois au nuuno point : une première fois en s'abaissaut vers je soi, et la seci>u(le fois en s'élevant, ou vice versâ.
Le tableau suivant met en évidence révolution dbmplèle de la figure caractéristique de la quinte. Le n' iTBe^t relatif au cas où le son le plus grave correspond à la vibration verticale, et se trouve en relard sur l'autre d'une denji-oscillation ; de telle sorte .qu'au départ Iqs coordonnées dp la molécule vibraate soient — A' et -f A.
En outre, les figures 475 et 479 donnent l'exemple d'une des simplifications qui se présentent dans la figure acoustique par saite de ia superposition des projeetion^ des parties antérieures et postérieures de la courbe.
D'une figure à l'autre du tabSeau, la diifi^renoe d^pbase varie par buiUème de vibration.
' TABLfiAli DLS. FlGUIlEâ DE LA QLII^TE.
Lft Biprtamci M nusB t céoit fai aoniftiiB m vniAXMm«
Fig 476.
Jfig. 477.
Fijr.
J^ig. 47».
Fig. 4»U.
Fig. 4Si.
Fig. 4t»S.
§ 4. <^ TBACé BES C0UKBB8 AOOITSTIQUBS.
L'intérêt qui s'altaehe à la connaissanee des figures repiéeentatives dos aoeords musieaqs a déterminé M. L^sajous à cber-
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rtï^f des procédés à l'aide dcsc^uels on pùl les reproduire graphi(iut ment d'une manière exacte. Voici le ^incipe de celui auquel il s'était d'abord arrêté :
Nous avons déjà établi que si ua mobile oscille, suivant une droite AA', de longueur î A (fisr. 483), sous cette condition que la distance varialile OX = x soit liée au temps t compté à partir du moment où le mobile part do A par la relation x= A cos t nrt, il faudra, pour avoir la position du mobile au bout du Leiiips décrire une circonférence sur 2 A comme diamètre, compter sur cette rircr)nfV'rf,Mico, à partir du pomt A, un arc Ac'= tnisXt^ et projeter orthogonalement le point c sur la ligne A A'.
D'après cela, si Ton veut avoir les (Msitions successives que !e
mobile occupe après des temps égaux aux iraclions ~ ~ -
du . temps <l'une oscillation complète, on divisera la circonférence en p parties égales à partir de A, et les projections des ' points de division sur Taxe seront les positions cherchées.
Maintenant, supposons qu'il s'agisse de combiner deux mouvements vibratoires d'amplitudes S A et ÎÀ', dirigés Tun suivant AOA', Tautre suivantrBCWS le premier Msant n oscillations à la seconde et le deuxième ajfani en un mot pour équations :
s as Ancras n«i .y A' «Min'vl.
Sur 2 A et 2 A' (fig. 483) comme diamètres, on décrira deux circonférences et on les divisera eu p parties égales, p étant un
fis* 4sa.
muMple de 4. On projettera respectivement les points de dilôsion sur les diamètres AA' et BB', pw à partir de A on comp*
DES VinRATlOISS SONORES.
tara n divisions sur A A', etn' sur BB' à partir de B; les points X et Y que l'on obtiendra ainsi seront les coordonnées d'un même point de la trajectoire cherchée. Pour en obtenir un deuxième, à partir de X on compterait de nouveau n divisions sur AA', n' à partir de Y sur BB', et l'on aurait les pieds des coordonnées de ce second point.
Lorsqu'on opérant ainsi on arrive aux extrémités des axes, on revient vers le centre en comptant toujours de la même manière?
Les mouvepaents dont les équations sont :
X = A C05 2 « n < et y = A' cosî «n' t
se trouvent lies entre eux par la condition de présenter au jnêfne instant physique leurs élongalions maxima, de n!avoir, en d'autres termes, aucune différence de phase.
II n'y aurait pas plus de difficulté k traiter le cas où les deux composantes du mouvement auraient entre elles une différence de phase quelconque.
Supposons, en effet, que la composante horizontale, colle qui est dirigée suivant Taxe des x, soit en avance sur l'autre d'une fraction r du temps de son oscillation double. Alors à la valeur A' de Y correspondra une valeur \^ de .t égale à
et la distance du pied de l'ordonnée au point A sera
A ( ! — co« 2 « r ) = A — .\ ,
Les ordonnées des points suivants étant respectivement données par la formule :
A' cos — kn' P
Los abscisses auraient pour valeurs correspondantes: * .*
A cos 2T.Çr+y) ,
k étant un nombre entier quelconque, et la distance du pied do l'abscisse au point A serait :
En d'autres termes, si à partir du point de l'axe A A' dont l'abscisse est Xi on compte An divisions de cet axe et qu'à partir
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du point B, on en compte kn' sur l'axe des Y, les distances du point 0 à ceux que l'on aurait déterminés par cette règle seront les coordonnées d'un autre point quelconque de la courbe cherchée. . • '
Pour fixer les idées, supposons qu'il s'agisse de deux mouvements ayant même amplitude d'excursion. Dans ce cas, A = A', et les deux circonférences se confondent en une seule. Divisons-
la en seize parties égales, et plaçons-la de manière qu'un des diamètres passant par deux points de division opposés soit vertical (fig. 484).
En menant par les autres points de division les cordes parallèles et perpendiculaires à ce diamètre, on aura le tracé représenté par la figure.
Veulr-on alors avoir la courbe représentative d'un accord d'octave, dans lequel le son le plus aigu serait en avance sur l'autre d'un temps égal au huitième de son oscillation complète? Les coordonnées du premier point de la courbe seront:
y = A=AjM et I = A^A^
le second aurait pour coordonnées :
y = A^B, ac as5 0
et se trouverait en B,, et ainsi de suite.
DSS VIBRÀTIOMS «UBOEBS. US
Pour pouvoir en réalité, construire commodément par points une fii^urc acoustique quelconque, mais répondant toutefois au cas uù A = A', on trace sur une planche de cuivre le canevas de la Hi^. 482, et on la perce de trous trcs-ûns aux diflérents poinb d lalersection des parallèles aux axes.
Alors, en posant la planche sur un pa[)ier, on peut, à l'aide d*une pointe que l'on jwsse dans les trous, ^tiquer successivemeut les points M, B^, MM^ de la courbe.
