I. — Éléments; projections et sections

1 . Le point, la droite et le pian soni les éléments simples de la Géométrie de position. Les droites et les plans doivent être considérés comme illimités de toutes parts, à moins qu'on ne convienne expressément du contraire.

2. Un système quelconque de points et de droites dans l'espace

geometrie ni: position. — chapitre i.

peut être projeté d'un point S ( ' ) quelconque, qui devient alors centre de projection, au moyen d'un système de droites, qu'on appelle rayons projetants, et de plans, qui prennent le nom de plans projetants, de telle sorte que tout point du système soit projeté par un de ces rayons et toute droite, ne passant pas par S, par un de ces plans. Le point S doit être considéré comme lieu de tous les rayons et de tous les plans projetants, dont l'ensemble constitue ce que nous convenons d'appeler la projection du système proposé (2).

Considérons maintenant dans l'espace un système quelconque de plans et de droites; il sera coupé, par tout nouveau plan ct, suivant un système de droites et de points, tout plan étant en général coupé suivant une droite et toute droite étant coupée en un point. Le plan a est le lieu de toutes ces droites et de tous

(') Nous avons cru devoir adopter la notation proposée par Rêve {Geometrie der Lage. Hannover, 1866, p. 7), suivant laquelle on désigne les points par les lettres majuscules A, B, C, ..., les droites par les minuscules a, b, c, . . . , et les plans par les minuscules de l'alphabet grec. En outre, conformément à l'algorithme proposé par Grassmann, AB désignera la droite déterminée par les deux points A et B; A a le plan qui passe par A et a; av. le point commun à a et à a; ABC le plan qui passe par les points A, B, C; u.fiy le point commun aux plans c, [i, y, et ainsi de suite. Carnot avait déjà proposé une notation spéciale, en vue d'indiquer, avec simplicité et précision, une combinaison quelconque d'alignements de points et d'intersections de droites ; mais on a observé avec raison que cette notation perdait de sa clarté quand il s'agissait d'exprimer une construction un peu compliquée. On a donné la préférence à celle dont Grassmann a fait usage dans son œuvre magistrale (Ausdehnungslehre, Leipzig, i8/|4> et Berlin, 1862) et dans une série d'autres travaux {Journal de Creile, volumes 31, 36, 42, 44). Dans sa Note : Sopra un algoritmo proposto per esprimere gli allineamenti e sull' ordine o la classe del luogo geometrico dei punti o delle rette soggetti a/1 una legge di allineamento, publiée dans la livraison I des Atti delle adunanze dell' I . R. Istituto T'cnetodi Scienze, Lettere ed Arti, pour l'année académique i854-i855 (p. 58-67), Bellayitis signale, entre autres choses, l'erreur dans laquelle Grassmann est tombé quand il a cru que ses formules seraient assez générales pour représenter une courbe quelconque du troisième degré. Bellavitis traduit ensuite en formule la méthode, enseignée àce sujet par l'illustre Cuasles.

(2) Les projections ont été employées parles astronomes grées (HirPARQiE, Ptolémée et autres) pour la représentation de la sphère céleste apparente. Aux méthodes de perspective transmises par les anciens et perfectionnées au xvie siècle, est venue s'ajouter, vers la fin du xvme, la Géométrie descriptive (doctrine des projections), complète par Monge. Desargues est le premier qui ait appliqué les projections aux recherches géométriques ; mais l'importance de cette application a été mise en évidence par l'école de VIonge, M particulièrement par les travaux de Poncelet ( Traité des propriétés projectives des figures, etc. Paris, 1822). Voir Baltzer, Die Elemente der Mat/tcmaiik. Zweitcr Band, dritte Auflage. Leipzig, 1870, p. 1 J2.