II. — Génération des surfaces doublement rectilignes
143. Soient u et u, deux ponctuelles projectives non situées dans un même plan. Le système continu des droites qui joignent les couples de points correspondants constitue une surface courbe. Cette surface doit à l'une de ses propriétés caractéristiques le nom de surface doublement rectiligne.
144. Deux droites quelconques du sj stèrne continu de génératrices d' une surf ace doublement rectiligne ne sont jamais dans un même plan.
En effet, le plan qui contiendrait deux de ces droites contiendrait deux points de chacune des ponctuelles uetu, et par suite ces ponctuelles elles-mêmes, ce qui est contre l'hypothèse.
La surface doublement rectiligne engendrée par un système V de droites peut aussi V être par un second système U, et toute droite de l'un des systèmes est coupée par chaque droite de l'autre.
Soient, en effet, v, vKi v2 trois rayons quelconques du système V, qui joignent chacun deux points correspondants de u et de wt,et soit Mo une droite qui rencontre ces trois rayons. Projetons les ponctuelles u et ii\ de l'axe u2. Nous obtenons ainsi deux faisceaux projcctifs de plans qui ont trois plans unis, u2v, u2vt, u2v2, et par conséquent tous leurs plans unis (43). Deux points correspondants quelconques de u et de uf sont dès lors situés dans un même plan du faisceau u2 ; en d'autres termes, la droite u2 est coupée par tout rayon du système V. Il en est de même pour toute autre droite w3 qui rencontre les trois rayons v, v{, v2. Le système U de droites est donc composé de toutes les droites qui coupent trois rayons quelconques du système V. De même, le système V est formé de toutes les droites qui coupent trois ravons u, «,, u2 du système U.
Toute droite d'un système est dite directrice de l'autre; chacun des deux systèmes est directeur de l'autre. Donc :
Une surface doublement rectiligne peut être engendrée de deux manières par une droite qui se meut en s' appuyant sur trois droites fixes, telles que deux quelconques d'entre elles ne soient jamais dans un même plan.
Les trois droites fixes sont des directrices du système décrit par la droite mobile. Celle-ci rencontre une fois chacun des points de toute directrice et se trouve une fois dans chacun des plans qu'on peut faire passer par toute directrice.
Il résulte immédiatement de la démonstration précédente que :
Tout point situé sur un rayon de ' Tout plan passant par un rayon l'un des systèmes est aussi sur un de l'un des systèmes contient aussi rayon de l'autre. \ un rayon de l'autre.
145. Deux faisceaux projectifs de plans, dont les axes u et ut
