I. — Plan polaire et pòle

!2/l.Les surfaces du second ordre jouissent, comme les courbes du même ordre, de certaines propriétés qu'on désigne sous le nom générique de propriétés polaires, ou de polarité, et qu'on déduit aisément des précédentes théories.

Les propriétés polaires des surfaces coniques du second ordre ont été implicitement établies quand il s'est agi (118) de la polarité des courbes du second ordre. Nous n'aurons donc pas à considérer cette catégorie de surfaces dans les recherches qui suivent.

Par un point A, pris arbitrairement dans l'espace, mais non situé sur une surface du second ordre donnée '¥, on mène à cette surface des sécantes à volonté. On détermine, sur chaque sécante, le quatrième point, harmoniquement séparé de A par les deux points d'intersection avec la surface. Le lieu géométrique de ce quatrième point est un plan a.

En effet, tout plan sécant mené par A coupe la surface ¥ suivant une courbe du second ordre et le lieu considéré suivant une droite, qui est la polaire du point A par rapport à la courbe. Toutes les droites polaires ainsi déterminées se coupent deux à deux, sans passer par un même point. Elles sont donc toutes dams un même plan a (17). Ce plan contient aussi les points de contact de

toutes les tangentes à ¥ passant par A et les intersections de tous les couples de tangentes concourantes, dont les points de contact sont alignés avec A (104). Il suit de là que deux plans tangents à la surface, dont les points de contact sont alignés avec le point A, se coupent suivant une droite située dans le plan a. Les tangentes contenues dans ces plans se coupent, en effet, deux à deux, en des points du plan a. Ce plan est appelé plan polaire du point A par rapport à la surface ¥ et, vice versa, A est le pôle du plan a. Donc :

Si par un point quelconque A, non situé sur une surface du second ordre donnée, on mène à la surface des sécantes et des plans sécants et si V on détermine :

i° Les points des sécantes harmoniquement séparés de A palla sur j ace;

2° Les polaires de A, par rapport aux coniques communes à la surface du second ordre et aux plans sécants;

3° Les droites d 'intersection des couples de plans qui touchent la surface en deux points situés sur l'une des sécantes ;

4° Les points de contact des tangentes et des plans tangents à la surface qui passent par le point A.

Tous ces points et toutes ces droites sont situés sur un plan 2, qui est le polaire de A et dont A est le pôle.