II. — Formes projectives

41. Si deux formes fondamentales simples sont perspcclivcmcnl l'apportées à une troisième, elles sont aussi rapportées l'une à l'autre, sans cependant avoir, en général, une position perspective. On dit en ce cas que les deux formes fondamentales rapport l'une à l'autre sont en position oblique. Cette position peut déduite de la position perspective de la manière suivante :

On déplace, l'une par rapport à l'autre, les deux formes fondamentales perspectives, de telle sorte qu'elles perdent en général leur situation perspective, sans que la position relative des éléments de chacune d'elles subisse aucune altération.

Cette manière de rapporter les formes en posi li on perspective, aussi bien que les formes en position oblique, diffère de toute autre en ce que, si l'on considère isolément quatre éléments harmoniques quelconques de l'une des deux formes, les éléments correspondants dans l'autre sont aussi harmoniques. Les projections ou les sections de systèmes harmoniques sont en effet de nouveaux systèmes harmoniques.

Nous sommes ainsi conduits à établir la définition suivante :

Deux formes fondamentales sont dites project ivement liées enti e elles, ou plus simplement projectives (*), quand elles sont

(') Ciiasles [Traité de Géométrie supérieure. Paris, i85a, p. 67) et Paui.i's (Grundtinien der neueren Geometrie, etc. Stuttgart, iSJ3, p. 21) ont respectivement appelé ces formes homographiques et conformes an lien de projectives. Staidt indique la condition de projectivité en plaçant le signe 7^ entre les formes auxquelles cette condition s'applique. Certains autres auteurs (Pfaff par exemple, Neucre Geometrie, I The.il. Erlangen, 1867, p. i\) ont adopté la lettre n. L'usage de cette lettre comme signe n'est pas nouveau en Mathématiques (voir, en effet, Fiuedlein, Die Zahlzeichen und dr/s elementare Rechiteli der Griechen und Rainer und des christlichen Abendlandes i>om 7 bis i3 Jahrhundert. Erlangen, 1869, p. i3). Il est probable, toutefois, qnc la substitution de la lettre tt au signe ~ ne doit être attribuée, dans le cas actuel, qu'a une commodité typographique.

rapportées I une à l'autre de telle manière que quatre cléments harmoniques de l'une correspondent à quatre éléments harmoniques de Vautre.

Si, de plusieurs formes géométriques, la seconde est projective à la première et chacune des autres à celle qui la précède, deux quelconques de ces formes sont projectives entre elles.

Deux formes géométriques perspectives sont aussi projectives, mais deux formes projectives ne sont pas en général perspectives.