II. — Surface conique et faisceau de plans du second ordre

(53. En projetant d'un point quelconque, pris en dehors de leur plan, les figures qui expriment les deux propositions précédentes, on est immédiatement conduit à ces deux autres propositions :

Si deux faisceaux de plans, dont les axes se coupent, sont project if s sans être perspectifs, toutes les droites

Si deux' faisceau. v de rayons, dont les plans se coupent, sont concentriques et projectifs sans être per-

(') Dans la seconde édition de son ouvrage {Die Geometrie der Lage. Zweite verpiçhrte Auflage. Hannover, 1877, p. 55), Reye emploie indifféremment les deux ex-.v "pressions : Curve zweiter Ordnung ( courbe du second ordre) et Punktreihe zweitar ..Ordiiiuig (ponctuelle du 9ee»nd ordre). Cette dernière dénomination a l'avantage de rappeler cpie la courbe du second ordre doit être considérée comme un svstème rie pointe; et de mettre en évidence la correspondance de dualité qui existe, dans le plan, entre les courbes du second ordre et les faisceaux de rayons du même ordre. Nous avons cru, toutefois, devoir nous en tenir à l'ancienne dénomination, nonseulement parce que l'usage l'a consacrée, mais encore parce qu'elle fuit mieux saisir l'identité des courbes du second ordre et des sections coniques.

(!) Les faisceaux ordinaires de rayons, formes fondamentales simples, sont encore appelés, pour les distinguer des précédents, faisceaux de rayons du premier ordre. De même pour les faisceaux de plans.

d'intersection des plans correspon- I spectifs, tous les plans de jonction

dants forment une surface conique du second ordre, qui n'a jamais plus

desrayons correspondants forment un faisceau de plans du second ordre,

de deux de ces droites d'intersection qui n'a jamais plus de deux j/lans

communes avec un plan.

Le point d'intersectio:. des axes, par lequel passent tous les rayons de la surface conique, est nommé centre de la surface conique (').

communs avec un faisceau de plans du premier ordre.

Le centre des faisceaux de rayons, par lequel passent tous les plans du faisceau du second ordre, est nommé centre du faisceau de plans.

De là cette double conséquence

Toute courbe et tout faisceau de \ rayons du second ordre sont projetés, d'un point non situé dans leur plan, respectivement par une surface conique et par un faisceau de plans du second ordre.

Toute surface conique et tout faisceau de plans du second ordre sont coupés, par un plan ne passant pas par leur centre, respectivement suivant une courbe et suivant un faisceau de rayons du second ordre.

On voit par là avec quelle facilité les résultats obtenus pour les formes planes du second ordre peuvent être étendus, au moyen de projections, aux formes correspondantes dans la gerbe.

III. — Lieux des formes génératrices. Tangente. Point de contact.

Corollaire.

G4. La courbe du second ordre /.

f fig. 2 i Ì qui est engendrée au moyen de deux faisceaux projectifs de rayons, S et Slf passe par les points S et Si, centres des faisceaux.

En effet, les faisceaux ne devant pas être perspectifs, au rayon SSj ou p du faisceau S, c'est-à-dire à la droite qui joint les centres, correspond, dans le faisceau Slf un rayon quel-

Le faisceau de rayons du second ordre K {.fi g. 22) qui est engendré au moyen de deux ponctuelles projeetives, u et «j, contient les droites, u et ult lieux des ponctuelles.

En effet, les ponctuelles ne devant pas être perspectives, au point uut ou P de la ponctuelle u, c'est-à-dire au point d'intersection des ponctuelles, correspond, dans la ponctuelle

(') La dénomination est de Biot. (Voir Steiner, Sy s temati sche Entwickelung, Berlin, 1 832, p. i3o.)

LIEUX DES FORMES GENERATRICES. TANGENTE. POINT DE CONTACT. COROLLAIRE. f>)

conque/?,, différent de S, S. Le point I ux, un point quelconque I',, différent S, d'intersection de/; et île pt ap- | de «at. La droite //,, qui joint PP,,

partient donc à la courbe /-. Il en est de même du point S.

Fig. 2!.

Pi est le seul rayon passant par S, qui ait un seul point, S,, commun avec la courbe h. Tout autre rayon ax du faisceau St est coupé par son correspondant «, différent de p, en un second point A de la courbe, différent du point St. Nous dirons pour ce motif que le rayon pv touche la courbe /. ou qu'il est tangent à cette courbe au point S,.

appartient donc au faisceau K. Il ei est de même de la droite u.

Fig. ri.

Px est le seul point de ut par lequel passe un seul rayon, ult du faisceau K. Tout autre point Aj de la ponctuelle ul est joint à son correspondant A, différent de P, par un second rayon a, différent de «t.

Nous dirons pour ce motif que P4 est un point de contact du faisceau K sur le ravon /.', .

-Nous pouvons donc établir les propositions suivantes :

Au rayon commun de deux fais- I Ait point cV intersection de deux ceaux projectifs de rayons corres- i ponctuel/es projectiles correspond, pond, dans chacun d'eux, une tan- | sur chacune d'elles, un point de congente h la courbe du second ordre tact du faisceau du second ordre au suivant laquelle se coupent les fais- moyen duquel les ponctuelles prorcaux proposés. \ posées se projettent réciproquement.