DU CERCLE COMME RESULTAT DE FORMES PROJECTIVES

Génération du cercle. — Propriétés qui en dérivent.

73. On donne dans un plan deux faisceaux égaux (projectifs concordants) de rayons, S (abc . . . ), S4 (^ô, r, . . . ' (fig. a5). Les angles

l-'ig.

aa1, bb{, ccj,

, formés par les couples de rayons correspondants, étant égaux entre eux, ces rayons se coupent sur un cercle qui passe par les points S et Sj. La tangente au cercle en S forme avec le rayon SSt un angle égal à celui des rayons correspondants ; mais le rayon Sx S du second faisceau doit formel' le même angle avec le rayon correspondant du premier ; donc la tangente en S est précisément le rayon q du premier faisceau, dont le correspondant qy dans le second est la droite SjS.

Si nous supposons maintenant qu'un point quelconque, par exemple A(artfj), se meuve sur la courbe, les rayons mobiles a et a1 engendreront les deux faisceaux. Quand A sera très-voisin de S, le rayon ay différera trèspeu en position de ql et le rayon a très-peu de <y, c'est-à-dire de la tangente en S. Ce résultat concorde avec la définition qui présente la tangente en S comme la droite de jonction du point S au point de la circonférence infiniment voisin. Pareillement, au rayon p de S correspondra, dans St, le rayon J9j qui touche le cercle en S4.

74. Réciproquement, si de deux points quelconques S, Sj d'un cercle on

(*) Voir en particulier : Steiner, Systématise he Entwickelung, etc., Berlin, i83a, p. 1 34—1.37. — Ciiasles, Traité de Géométrie supérieure, Paris, i85a, p. 465-467- — Steiner, Vorlesungen ùber sjrnthetische Geometrie, II. Theil, Leipzig, 1867, p. 107-110. — Cremona, Elementi di Geometria projettiva, Torino, 1873, p. 70-73.