DA.EB = CD. CE

De la propriété du rectangle constant DA.EB on déduit (54) que les ponctuelles décrites par A et B sont projectives. On voit d'ailleurs immédiatement que les triangles DCQ, EQ^C sont semblables, ce qui fournit la relation

DC EQ,

DQ~ EC ou

DQ.EQi -— CD. CE.

Le point de contact Q a donc pour correspondant le point d'intersection Qt des deux lieux, et le point P a de même pour correspondant le point Pj.

Considérons maintenant la question inverse, qui consiste à déterminer les conditions nécessaires et suffisantes pour que deux ponctuelles projectives engendrent le faisceau du second ordre enveloppant un cercle, c'està-dire le système des tangentes à un cercle.

On doit avoir tout d'abord dans le cercle

PQ = Q,Pi;

d'où il suit que les deux points P et Qj, extrémités de deux segments correspondants égaux, doivent se trouver réunis à l'intersection des deux ponctuelles. On a vu d'ailleurs (54) que deux ponctuelles projectives quelconques contiennent deux systèmes de segments composés chacun d'une infinité de couples de segments correspondants égaux, et que les couples de l'un des systèmes comprennent les points D et E, tandis que ces points restent en dehors des couples de l'autre système. On choisira, pour la génération du cercle, l'un quelconque des couples de segments de la seconde espèce.

L'angle formé par les lieux des ponctuelles génératrices est d'ailleurs déterminé. En effet, si nous le désignons par y, nous aurons

PD sin - = DC,

Q,Esin - = EC,