COURBE DONNÉE PAR DEUX. PONCTUELLES PROJECTIVES

suffira, pour établir la relation projective, de se donner encore deux points correspondants, X et X,. En vertu du théorème relatif aux triangles inscrits et circonscrits (81), on trouvera le point de contact du rayon XX,, considéré comme variable, en menant par l'intersection des rayons X, J et XI, une parallèle aux ponctuelles. Cette parallèle coupe XX, au point de contact cherché, et ce point est harmoniquement séparé des points X et X, par le point XX,. JI,. Le point de contact d'une tangente W, est donc situé sur la droite à l'infini, lorsque la droite JI, coupe le segment XX, en son milieu, auquel cas le segment JI, est aussi coupé en son milieu par XX,.

Projetons les ponctuelles u et «,, du point M, milieu de JI,. Si les deux faisceaux concentriques de rayons ainsi déterminés présentent deux éléments unis, il y aura deux rayons XX, jouissant de la propriété de passer par le milieu de JI, ; par contre, aucun rayon ne satisfera à cette condition si les faisceaux n'ont pas d'éléments unis. Mais nous savons (48) que la propriété d'avoir deux éléments unis appartient aux faisceaux de rayons projectifs opposés, et les faisceaux seront dans cette condition lorsque les ponctuelles u et ili seront projectives concordantes. Si, au contraire, les ponctuelles u et w, étaient projectives opposées, les faisceaux de rayons seraient projectifs concordants; dans ce cas ils n'auraient pas d'éléments unis et aucun des rayons XX, ne passerait par M. Donc :

Deux ponctuelles dont les lieux sont parallèles engendrent une ellipse quand elles so?it projectives opposées, et une hyperbole quand elles sont projectives concordantes.

Ce criterium en fournit un autre pour le cas où les ponctuelles ne sont pas parallèles.

Soient U et U| (fig- 3i ) les points de contact sur u et u, ; soient en outre J et J, les points de u et de u{ qui correspondent respectivement aux points à l'infini. Par le point J on mène u{ parallèle à u, et par le point J, on mène v parallèle à u. On obtient les points de contact V et V, des nouvelles tangentes u et vKi enjoignant les points U et U, au point de rencontre des diagonales du parallélogramme formé par les droites u, w, , u, vK .

Appliquons maintenant aux deux droites i>{, u{, considérées

comme ponctuelles génératrices de la courbe, le criterium que nous avons énoncé plus haut. Le point à l'infini de uK aura alors pour correspondant le point V, sur \>K , et vice versa, le point à l'infini de vK aura pour correspondant le point Ut sur uK. Les droites v et u joindront chacune deux points correspondants, et les deux ponctuelles situées sur ces droites seront concordantes, si les points V, et U( sont en dehors du parallélogramme uu{ vvK ; les points V et U seront aussi, dans ce cas, en dehors du même parallélogramme, puisque les droites U4 U et V< V sont parallèles aux diagonales. Les deux ponctuelles seront, au contraire, opposées, si les points V(, Ut, et par suite aussi les points V, U, sont sur le parallélogramme des quatre tangentes. Donc :

Deux ponctuelles projectiles, considérées en général, engendrent une ellipse lorsque les points de contact de leurs lieux sont situés sur les segmejits compris entre le point oh ces lieux se coupent et les points où chacun d'eux est coupé par la tangente parallèle à V autre. La courbe engendrée est une hyperbole lorsque les points de contact sojit en dehors des mêmes segments.

11 y a cependant un cas limite, qui constitue la transition de l'ellipse à l'hyperbole et vice versci : ce cas est celui où les points de contact sont situés sur les sommets du parallélogramme. Le point d'intersection des deux lieux correspond alors à lui-même et toute droite passant par ce point représente la ligne de jonction de deux points correspondants. Les ponctuelles sont d'ailleurs perspectives et il existe, comme nous le verrons bientôt (101 ), un second point par où passent collectivement les droites de jonction des points correspondants.

V. — Forme engendrée par le troisième côté d'un triangle dont deux côcés et les sommets sont assujettis à certaines conditions. — Cas particuliers.

dOO. Si les sommets d'un tj'iangle se meuvent sur trois droites dans un plan, de manière que deux côtés du triangle conservent

CAS PARTICULIERS DANS LA SURFACE CONIQUE. <j(j

leurs directions, le troisième côté décrit, soit un faisceau de rayons parallèles, soit, un faisceau de rayons du second ordre qui enveloppe une parabole.

En effet, les deux premiers côtés du triangle décrivant des faisceaux de rayons parallèles, deux des trois ponctuelles situées sur les droites données sont projectives semblables à la troisième, et par conséquent projectives semblables entre elles.

Une ponctuelle u et un faisceau S de rayons étant situés dans le même plan et projectifs, si l'on mène par chaque point de u la parallèle au rayon correspondant de S, toutes ces droites se coupent eri un point, ou bien elles enveloppent une parabole.

En coupant le faisceau S de rayons par la droite à l'infini du plan, on obtient une ponctuelle à l'infini projective à u. Si cette ponctuelle n'est pas perspective à u, elle engendre avec u un faisceau de rayons du second ordre qui contient la droite à l'infini et qui, par conséquent, enveloppe une parabole.

101. Le faisceau de rayons du second ordre, engendré par deux ponctuelles projectives, peut encore dégénérer :

i° En deux points distincts, si les ponctuelles sont superposées et ont deux éléments unis, ou si elles sont perspectives et non superposées (les deux points étant, en ce cas, le point uni et celui par lequel passent les droites qui joignent les couples de points correspondants ) .

2° En deux points coïncidents, si les ponctuelles sont superposées et ont un seul point uni.

VI. — Cas particuliers dans la surface conique. Cylindres du second degré.

102. La surface conique et le faisceau de plans du second ordre ne donnent pas lieu à des distinctions aussi essentielles que leurs sections; mais ils présentent, dans un cas particulier, des dégénérescences qui méritent un examen spécial.

La surface conique du second ordre peut être considérée comme engendrée par deux faisceaux projectifs de plans, a, ay (63). Lorsque

ces faisceaux deviennent perspectifs, la surface dégénère en deux plans, l'un contenant le faisceau de rayons dont les faisceaux de plans sont des projections, l'autre passant par les deux axes a, at. Le faisceau de plans du second ordre peut être considéré comme engendré par deux faisceaux projectifs de rayons, S, St (63). Lorsque ces faisceaux de rayons deviennent perspectifs, le faisceau de plans dégénère en un plan qui passe par leur axe de projection et par la droite d'intersection de leurs plans.

103. Etant donnés deux faisceaux de plans, a,al7 si l'on modifie leur position relative jusqu'à ce que les axes aeta^ deviennent parallèles, tous les rayons de la surface conique deviendront parallèles à ces axes, et le centre de la surface passera à l'infini. La figure engendrée ne s'appelle plus alors une surface conique, mais un cylindre, et plus spécialement un cylindre du second degré. Dans cette position particulière des faisceaux de plans a et ai7 on peut avoir deux couples de plans correspondants parallèles, ou un seul, ou enfin n'en avoir aucun; par suite, la surface cylindrique peut avoir deux rayons à l'infini, ou un seul, ou n'en avoir aucun. A ces trois cas correspondent respectivement trois espèces de cylindres : le cylindre hyperbolique, le parabolique et Y elliptique . Les conditions de génération de ces trois espèces de cylindres par les faisceaux de plans sont tout à fait analogues à celles que nous avons déjà établies pour les diverses espèces de courbes du second ordre engendrées par deux faisceaux projectifs de rayons.

Si le cylindre est coupé par un plan quelconque, les faisceaux de plans générateurs sont coupés suivant deux faisceaux de rayons, qui se trouvent nécessairement, par rapport aux rayons correspondants parallèles, dans les conditions où se trouvaient les faisceaux de plans par rapport aux plans correspondants parallèles . Le plan sécant coupera donc le premier cylindre suivant une hyperbole, le second suivant une parabole, le troisième suivant une ellipse. Quand le plan sécant est parallèle aux axes des faisceaux générateurs, et, par suite, aux rayons de la surface cylindrique, la seclion se réduit à deux de ces rayons.

On voit, d'autre part, que le faisceau de plans du second ordre enveloppant le cylindre ne peut être engendré que par deux