POLES ET POLAIRES PAR RAPPORT AUX COURBES DU SECOND ORDRE

Poncelet, Traité des propriétés projectiles, etc. Paris, 1822, Sect. II, Cliap. II. — MObius, Der barjcentrische Calcul. Leipzig, 1S27, Cap. IV. — Bellavitis, Saggio di Geometria derivata (Nuovi Saggi dell' I. R. Accademia in Padova, voi. IV). Padova, i838, § V. — Bellavitis, Lezioni di Geometria descrittiva, etc. Padova, i85i, p. 220 et suiv. — Zech, Die ìibhere Geometrie, etc. Stuttgart, 18.J7, § 5. — Cremona, Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. Bologna, 1862, art. XIII. — Chasles, Traité des sections coniques. Paris, i865, Chap. V. — Rete, Geometrie der Luge. Hannover, 1866, p. 77-87. — Steiner, Vorlesungen ilber srntfietische Geometrie, II Theil. Leipzig, 1867, § 3o-3i.

I. — Construction du pôle et de la polaire. Propriétés diverses.

104. Par un point U {fi g- 3 a et 33) pris arbitrairement dans le plan d'une courbe du second ordre, mais non situé sur la courbe,

Fig. 32.

Fig. 33.

on mène deux transversales qui rencontrent la courbe en A et C, B et D. Le quadrangle ABCD étant inscrit (80), les points P, Q

(') La théorie des pôles et des polaires se trouve déjà, sous d'autres denomina-

CONSTRUCTION DU POLE ET DE L.V POLAIRE. PROPRIÉTÉS DIVERSES. Io3

de concours des côtés opposés et les points R, S de concours des tangentes aux sommets opposés sont situés sur une même droite a.

1er touteiois, en levine que La HlRE a^ ainsi : « Si, par le

tions, dans les œuvres de Desargles (OEuvres réunies et publiées par M. Poiur. \. Paris, i Sfj^, t. I, p. i6'|, 186, 190 et suiv.) et dans celles de La Hire {Sectiopes conieœ, Parisiis, i685, I, 21-28; II, 23-3o.). Il convient de rappeler toutefois, en u1montaiit aux origines, qu'on doit à APOLLONIUS le célèbre théorèi pris pour fondement de sa théorie des coniques et qui s'énonce point de concours de deux tangentes à une section conique, on mène nue transversale qui rencontre la courbe en deux points et la corde qui joint les points de contact des deux tangentes en un troisième point, ce troisième point et le point de concours des deux tangentes seront conjugués harmoniques par rapport aux deux premiers. » I.iv. 111, Prop. '.<-]. Ainsi que nous l'avons déjà remarqué, on ne doit pas considérer comme dépourvue de fondement l'opinion suivant laquelle le Traile complet des coniques de Pascal aurait contenu une théorie complète des pôles et des polaires. (Voir Cuasles, Aperçu historique, etc. Bruxelles, 1837, p. 19, 71, i>3. — Desuoves, Etude sur Pascal et les géomètres contemporains, Paris, 1878, p. .'17.)

Mon .l. Géométrie descriptite, Paris, 1796, n° -10) avait démontré que, quand le sommet d'un cône circonscrit à une surface du second ordre parcourt un plan, le plan de la courbe de contact passe toujours par un même point; et que, quand le sommet du cône parcourt une droite, le plan de contact passe toujours par une seconde droite. Livet et Brianchon ont démontré ensuite que, quand le sommet du cône parcourt une surface du second ordre, le plan de contact enveloppe une autre surface du second ordre (XIIIe Cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique, 1806). Dans le même Mémoire, Brianchon a fait usage de cette théorie pour déduire du théorème de Pascal son théorème non moins élégant et non moins fécond. C'est la première application qui ait été faite des polaires, et la dualité des ligures planes s'y présente sous une forme remarquable. Encontre et de St.ynville se sont servis plus tard de la même théorie pour opérer une véritable transformation des figures. Il s'agissait de circonscrire à une conique un polygone dont les sommets fussent situés sur des droites. Ces géomètres ont observé qu'en vertu de la théorie des polaires le problème pouvait être ramené à cet autre, qu'on savait déjà résoudre : inscrire dans une conique un polygone dont les côtés passent par des points donnés. (Voir Annales de Mathématiques, t. I, p. 122 et 190. — Cuasles, Aperçu historique, etc. Bruxelles, 1837, Sote XI.)

On trouve pour la première fois, dans les Annales de Mathématiques, les dénominations de pâles, plans polaires et droites polaires, qui ont facilité l'usage de cette théorie.

Servois appela pule d'une droite le point par lequel passent toutes les droites de contact des angles qui sont circonscrits à une conique et qui ont leurs sommets sulla droite. Gergonne appela ensuite cette droite la polaire du point et étendit aux cas de l'espace ces dénominations, qui furent bientôt adoptées par tous les géomètres 'voir Annales de Mathématiques, t. I, p. 337; l- x"> P* 297)-

Ajoutons enfin que Poncelet a tiré de la théorie des pôles et des polaires la théorie des figures polaires réciproques, qui est, en substance, la loi de dualité, appelée par lui principe de réciprocité polaire. Tous les écrits de Poncelet sur cette question ont été reunis dans les deux volumes du Traité des propriétés projectives des figures. Paris, 1 865-1 80b.

Si l'on désigne par V et W les points d'intersection de la droite u respectivement avec AC et BD, on reconnaît facilement que V.est harmoniquement séparé de U par les points À et C. En effet, dans le quadranti e PBQD, les côtés opposés se coupent deux à deux respectivement en A et C, la diagonale BD passe au point U et la diagonale PQ au point V. De même, U et W sont harmoniquement séparés par B et D.

On déterminera encore la droite u en faisant passer par U une sécante AC, en cherchant sur cette sécante le point V harmoniquement séparé de U par les points A, C de la courbe et en joignant le point V au point R d'intersection des tangentes en A et C. Et comme la seconde sécante passe aussi par U, on aura toujours les points suivants sur la droite u, déjà déterminée par la première sécante :

i° Les points d'intersection P et Q des côtés opposés du quadrangle ABCD ;

2° Le point d'intersection S des deux tangentes en B et D;

3° Le point W, harmoniquement séparé de U par les points BetD.

Le point U prend le nom de pôle de la droite u ainsi déterminée, et, vice versa, la droite u est appelée polaire du point U.

Nous conclurons donc, d'une manière générale, que la polaire d'un point donné U, par rapport à une courbe du second ordre, est en même temps le lieu :

i° Des points de concours des couples de côtés opposés de tout quadrangle inscrit dont les diagonales passent par le pôle.

2° Des points de concours des couples de tangentes dont les points de contact sont en ligne droite avec le pôle.

3° Des points séparés harmonie/ uement du pôle par deux points de la courbe.

Nous avons vu qu'on peut déterminer la polaire d'un point donné de plusieurs manières et par de simples constructions linéaires. On trouvera avec la même facilité le pôle U d'une droite donnée u, en menant de deux points quelconques, R et S, de la droite, deux couples de tangentes, a et c, b et d, à la courbe du second ordre.