CONSTRUCTION DU POLE ET DE LA POLAIRE. PROPRIÉTÉS DIVERSES. I

de concours des côtés opposés et les points R, S de concours des tangentes aux sommets opposés sont situés sur une même droite u.

lions, dûDs les œuvres de Desargces {Œuvres réunies et publiées par M, Poudra. Paris, 1864, t. I, p. 164 y 186, 190 et suiv.) et dans celles de La Hirk {Seceiones conicœ, Parisiis, i685, I, 3i-a8; II, a3-3o.)* H convient de rappeler toutefois, en remontant aux origines, qu'on doit à Apollonius le célèbre théorème que La Hirb a pris pour fondement de sa théorie des coniques et qui s'énonce ainsi : « Si, par le point de concours de deux tangentes à une section conique, on mène une transversale qui rencontre la courbe en deux pointa et la corde qui joint les points de contact des deux tangentes en un troisième point, ce troisième point et le point de concours des deux tangentes seront conjugués harmoniques par rapport aux deux premiers. » (Liv. III, Prop. 37). Ainsi que nous l'avons déjà remarqué, on ne doit pas considérer comme dépourvue de fondement l'opinion suivant laquelle le Traité complet des coniques de Pascal aurait contenu une théorie complète des pôles et des polaires. (Voir Chaslrs, Aperçu historique, etc. Bruxelles, 1887, p. 19» 71, i23. — Des- BOVCS, Étude sur Pascal et les géomètres contemporains, Paris, 1878, p. 47*)

MoïiGE {Géométrie descriptive, Paris, 1796, n" 40) avait démontré que, quand le sommet d'un cône circonscrit à une surface du second ordre parcourt un plan, le plan de la courbe de contact passe toujours par un même point; et que, quand le sommet du cône parcourt une droite, le plan de contact passe toujours par une seconde droite. Livet et Briahcbo?! ont démontré ensuite que, quand le sommet du cône parcourt une surface du second ordre, le plan de contact enveloppe une autre surface du second ordre (Xlil* Cahier du Journal de l* École Poljr technique, 1806). Dans le même Mémoire, Brianchox a fait usage de cette théorie pour déduire du théorème de Pascal son théorème non moins élégant et non moins fécond. C'est la première application qui ait été faite des polaires, et la dualité des ligures planes s'y présente sous une forme remarquable. Encontre et de Stanville se sont servis plus tard de la même théorie pour opérer une véritable transformation des figures. U s'agissait de circonscrire à une conique un polygone dont les sommets fussent situés sur des droites. Ces géomètres ont observé qu'en vertu de la théorie des polaires le problème pouvait être ramené à cet autre, qu'on savait déjà résoudre : inscrire dans une conique un polygone dont les côtés passent par des points donnés. (Voir Annales de Mathématiques, t. 1, p. 122 et 190. — Chaslbs, Aperçu historique, etc. Bruxelles, 1837, Note XI.)

On trouve pour la première fois, dans les Annales de Mathématiques, les dénominations de pôles, plans polaires et droites polaires, qui ont facilité l'usage de cette théorie.

Servois appela pôle d'une droite le point par lequel passent toutes les droites de contact des angles qui sont circonscrits à une conique et qui ont leurs sommets sur la droite. Gergonne appela ensuite cette droite la polaire du point et étendit aux cas de l'espace ces dénominations, qui furent bientôt adoptées par tous les géomètres (voir Annales de Mathématiques, t. I, p. 337; t. III, p. 297).

Ajoutons enfin que Puncblbt a tiré de la théorie des pôles et des polaires la théorie des figures polaires réciproques, qui est, en substance, la loi de dualité, appelée par lui principe de réciprocité polaire. Tous les écrits de Poncelet sur cette question ont été réunis dans les deux volumes du Traité des propriétés projectives des figures, Paris, 1 865- 1866.

Si l'on désigne par V et W les points d'intersection de la droite u respectivement avec AC et BD, on reconnaît facilement que V est harmoniquement séparé de U par les points A et C. En effet, dans le quadrangle PBQD, les côtés opposés se coupent deux à deux respectivement en A et C, la diagonale BD passe au point U et la diagonale PQ au point V. De même, U et W sont harmoniquement séparés par B et D.

On déterminera encore la droite u en faisant passer par U une sécante AC, en cherchant sur cette sécante le point V harmoniquement séparé de U par les points A, C de la courbe et en joignant le point V au point R d'intersection des tangentes en A et C. Et comme la seconde sécante passe aussi par U, on aura toujours les points suivants sur la droite u, déjà déterminée par la première sécante :

i*^ Les points d'intersection P et Q des côtés opposés du quadrangle ABCD ;

a^ Le point d'intersection S des deux tangentes en B et D ;

3® Le point W, harmoniquement séparé de U par les points BetD.

Le point U prend le nom de pôle de la droite u ainsi déterminée, et, vice versd, la droite u est appelée polaire du point U.

Nous conclurons donc, d'une manière générale, que la polaire d'un point donné U, par rapport à une courbe du second ordre y est en même temps le lieu :

I® Des points de concours des couples de côtés opposés de tout quadrangle inscrit dont les diagonales passent par le pôle.

2® Des points de concours des couples de tangentes dont les points de contact sont en ligne droite avec le pôle.

3° Des points séparés harmoniquement du pôle par deux points de la courbe.

Nous avons vu qu'on peut déterminer la polaire d'un point donné de plusieurs manières et par de simples constructions linéaires. On trouvera avec la même facilité le pôle U d'une droite donnée «, en menant de deux points quelconques, R et S, de la droite, deux couples de tangentes, a eic, b et rf, à la courbe du second ordre.