CONSTRUCTION DU POLE ET DE LA POLAIRE. PROPRIÉTÉS DIVERSES

Le pôle U est le point de concours :

I ® De tout rayon harmoniquement séparé de la droite u par les deux tangentes issues d'un même point de cette droite;

2** Des diagonales de tout quadrilatère formé par les quatre tangentes issues de deux points de la droite u;

3** De toute droite joignant les points de contact des deux tangentes issues d'un même point de u.

La droite RU est harmoniquement séparée de u par les tangentes a et c, puisque le point U de cette droite est harmoniquement séparé du point V de u par les points de contact A et C des deux tangentes. De même, la droite SU est harmoniquement séparée de u par les tangentes b et d, La première partie de la proposition est ainsi démontrée.

La deuxième partie est une conséquence immédiate de la première. En efiet, dans le quadrilatère formé par les quatre tangentes issues de deux points de la droite u, les diagonales se coupent au point d^intersection U des droites harmoniquement séparées de u par chaque couple de tangentes (32).

La troisième partie résulte du rapprochement de la deuxième et d'une propriété précédemment démontrée (80). On peut aussi la déduire directement de la deuxième.

Supposons, en effet, que le point S se déplace d'une manière continue sur la droite u et s'approche infiniment du point R. La diagonale qui joint les sommets ab et cd du quadrilatère pivotera en même temps autour du point U et s'approchera infiniment de la corde de contact AC des tangentes issues du point R. Cette corde, position limite de la diagonale, passe donc par le point U.

Si la polaire u d'un point U coupe la courbe du second ordre, les deux droites qui joignent le point U aux points d'intersection sont tangentes à la courbe.

En effet, si l'une de ces droites avait un second point commun avec la courbe, ce second point devrait être harmoniquement séparé du premier par U et m; le premier ne pourrait donc pas se trouver sur u. La droite u, qui joint, dans ce cas, les points de contact des deux tangentes menées du point U à la courbe, est dite droite de contact du point U.

105. Nous pouvons exprimer tous ces résultats par la double proposition suivante :

Si par un point U, situé dans le plan d'une courbe /• du second ordre, mais non sur la courbe, on mène à volonté des rayons, sur chacun desquels se trouvent deux points de A; et si l'on détermine :

i^ Dans tout quadrangle simple inscrit à la courbe, et dont les sommets sont deux couples de points situés sur deux rayons de U, les points d'intersection des côtés opposés;

2® Sur chaque rayon de U, le point qui est harmoniquement séparé de U par les deux points de la courbe;

3* Les points d* intersection des couples de tangentes qui touchent la courbe en ses points de rencontre avec chaque rayon de U;

4^ Les points de contact des deux tangentes menées par le point J] à la courbe, si ce point est extérieur;

Tous ces points sont situés sur une droite u, qui prend le nom de polaire du point U par rapport à la courbe du second ordre.

Si sur une droite u, située dans le plan et une courbe k du second ordre, mais non tangente à la courbe, on prend à 7H>lonté des points^ en chacun desquels concourent deux tan^ gentes à k, et si l'on détermine :

I® Dans tout quadrilatère simple circonscrit à la courbe, et dont les côtés sont deux couples de tangentes concourant en deux points de u, les diagonales ;

2° Pour chaque point de u, la droite qui est harmoniquement séparée de u par les deux tangentes à la courbe;

3® Les droites de Jonction des couples de points où la courbe est touchée par les tangentes issues de chaque point de u ;

4^ Les tangentes aux deux points d'intersection de la droite u avec la courbe, si cette droite est sécante;

Toutes ces droites passent par un point U, qui prend le nom de pôle de la droite u par rapport à la courbe du second ordre.

106. Si Ton fait pivoter une transversale autour d'un point A, pris comme pôle sur la courbe du second ordre, l'un des points d'intersection se confond toujours avec ce pôle ; par suite, l'une des deux tangentes dont le point de concours doit engendrer la polaire est toujours la tangente au pôle. Donc :

Un point A de la courbe a pour polaire sa propre tangente a et, réciproquement, la tangente a a pour pôle son point de contact A.

Il résulte de là et de ce qui a été dit plusbaut que,^ar rapport